なぜ数学者は同じ結果を異なる方法で証明したいのですか？
正の整数のこの六角形のらせん上の黄色の点で示される素数の濃度は、数字の線の始点からの距離とともに減少します。この何度も証明された規則性は、素数の分布に関する定理によって説明されます。
「あなたは神を信じることはできませんが、あなたは本を信じる必要があります」-かつてハンガリーの数学者パル・エルドスは言った..。理論上のみ存在する本には、最も重要な定理の最もエレガントな証拠が含まれています。 Erdsの主張は、すでに証明された定理の新しい証拠を探し続ける数学者の動機を示唆しています。彼らのお気に入りの1つは、素数の分布に関する定理であり、素数は自分自身と1でしか割り切れません。数学者は証明が本に含まれるかどうかはわかりませんが、2人のライバルが最初に競い合い、同時に独立して証明します。 1896年にJacquesHadamardとCharlesJeandeLaVallée-Poussinによって発見されました。
では、この定理は正確に何を述べているのでしょうか？
素数定理により、与えられた数nを超えない素数の数を概算することができます。この値はπ（n）と呼ばれます。ここで、πは素数の分布関数です[数π/約とは関係ありません。 transl。]。たとえば、10までの4つの素数（2、3、5、および7）があるため、π（10）= 4です。同様に、最初の100個の数値の中に25個の素数があるため、π（100）= 25です。最初の1000個の数値の中には168個の素数があるため、π（1000）= 168というようになります。最初の10、100、および1000の整数を見ると、それらの素数の割合がそれぞれ40％から25％および16.8％に低下していることに注意してください。これらの例はヒントであり、素数の定理は、特定の数を超えない素数の密度が、その数が増えるにつれて減少することを確認しています。
しかし、たとえば1兆までの整数の順序付きリストがあったとしても、誰が手動でπ（1,000,000,000,000）を計算したいと思うでしょうか。素数の定理は、エネルギーを節約する機会を提供します。
π（n）はn / ln（n）に「漸近的に等しい」と書かれています。ここで、lnは自然対数です。漸近的平等は大まかな平等と考えることができますが、これは完全に真実ではありません。たとえば、1兆を超えない素数を推定してみましょう。個々の素数を数えてπ（1,000,000,000,000）を計算する代わりに、この定理を使用して、約1,000,000,000,000 / ln（1,000,000,000,000）があることを確認できます。これは、36,191,206に相当します。最も近い整数に丸められた場合は825。そして、実際の数である37,607,912,018とは、この見積もりの違いはわずか4％です。
漸近的等式では、式に代入される数値が増えると精度が向上します。実際、無限大に近づくと（それ自体は数値ではなく、単に任意の数値よりも大きいものになります）、漸近的平等は真の平等に近づきます。また、素数の実数は常に整数で表されますが、漸近的等式の反対側の値、つまり自然対数が現れる割合は、実線上で任意の値を取ることができます。実数と整数の間のこの接続は、控えめに言っても直感に反します。
これはすべて、数学者にとってさえ、少し心を打たれます。そして最も不快なのは、素数の分布に関する定理の記述は、なぜそのような関係が成り立つのかについては何も述べていません。
「この定理は、それ自体では決して価値がありませんでした。オーストラリアのクイーンズランド工科大学の数学教授であるマイケル・ボーデは、次のように述べています。
HadamardとLaVallée-Poussinの元の証明はエレガントでしたが、定理自体の主張は複雑な数とは関係がないため、複雑な分析（複雑な数の関数の研究）に基づいていました。しかし、1921年にゴッドフリーハロルドハーディは非分析的証拠の出現を予告しました-いわゆる。基本的な証明-素数の分布に関する定理は「非常にありそうもない」であり、誰かがそれを見つけた場合、「理論を書き直さなければならない」と述べた。
Atle Selbergそしてエルドス自身が挑戦し、1948年にそれぞれが対数の性質を使用した素数定理の新しい独立した基本的な証明を発表しました。この証拠により、他の数学者は、以前はそのような複雑なステートメントには単純すぎると考えられていた数理論の仮説に対する同様のアプローチを検討するようになりました。その結果、プライムの分布における予期しない不均一性に関する1985年のHelmut Meierの基本的な証明を含む、多くの興味深い結果が得られました。
「プライムナンバーの定理には未解決の問題がたくさんあります」と、最近新しい基本的な証拠を発表したノースウエスタン大学の数学者、フロリアン・リヒターは言いました。この有名な声明。リヒターは、素数定理の広範囲にわたる結果を証明しようとしたときにそれを見つけました。
時が経つにつれて、数の理論家は、数学者が主張をテストするだけでなく、彼らの定理を証明するスキルと使用される数学の理解を向上させるために定理を証明および再証明する文化の確立を支援してきました。
これは素数定理の範囲外です。 Paulo Ribenboimは、素数の無限大の少なくとも7つの証明を収集しました。 StephenKifovitとTerraStampsは、ハーモニックシリーズ1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ...が有限数に収束しないことを示す、20個の証拠を特定しました。それらにさらに28を追加しました..。ブルース・ラトナーは、ユークリッド、レオナルド・ダ・ヴィンチ、そして当時オハイオ州の議員だった第20代米国大統領ジェームズ・アブラム・ガーフィールドによる素晴らしい例を含む、ピタゴリアン定理の371以上の証拠を挙げています。
重複した証拠を探す習慣はコミュニティに深く根付いているため、数学者は実際にそれを信頼することができます。トム・エドガーとYajunアンはと指摘互恵の二次法則は、1796年からガウスの元の証明に加えて、持っている246の以上の証拠を。彼らは証拠の量を時間に対してプロットし、この法律の300の証拠が2050年までに期待できると推定しました。
カンザス大学の大学院生であるソフィア・レスタッドは、次のように 述べています。「私は、知っている場所につながる新しい道路や迂回路が好きなのと同じ理由で、古い定理の新しい証明が好きです。これらの新しい道は、数学者に彼らの知的追求が行われる場所の空間的感覚を与えます。
数学者は、素数定理と他のお気に入りの定理の両方を証明するための新しい、より明確な方法を探すことを決してやめないかもしれません。運が良ければ、それらのいくつかは「本」に含まれることを光栄に思うでしょう。