2人の数学者が、一連の数字のパターンに関するErdsのお気に入りの推測の最初の段階を証明します
数人の数学者が、整数の相加特性に関する最も有名な仮説の1つの最初の部分を証明しました。それは60年以上前に伝説的なハンガリーの数学者パルエルドスによって提案されました。次のように聞こえます。無限の整数リストのどの時点で、互いに同じ距離に配置された少なくとも3つの数値のパターンが保証されます。たとえば、
26、29、32です。エルドスはキャリアの中で何千もの問題を定式化しましたが、問題は、どの番号のリストに互いに等距離にある番号が含まれているか（数学者が算術進行と呼ぶもの）は、彼のお気に入りの1つでした。 「私は多くの人がErdsの主要な関心事としてこれを見たと思う」と述べたウィリアム・ティモシー・ガワーズケンブリッジ大学のは。受け取ったGowers1998年のフィールズ賞は、この問題の解決に何時間も費やしました。 「事実上すべてのかなり野心的な加法組み合わせがそれを解決しようとしました」と彼はこの仮説が属する数学の分野に言及して言いました。
数字の密度の高いリストは、一般に、まばらなリストよりも算術的進行を含む可能性が高くなります。したがって、Erdosはリストの密度の簡単なチェックを提案しました：リスト内の値の逆の値を追加します。この合計を無限にするのに十分な数がある場合、Erdosの仮定によれば、リストには、任意の有限の長さ（3、4など）の無限の数の算術進行が含まれている必要があります。行の番号。ケンブリッジのトーマス・ブルームとオラフ・シサスクが7月7日にオンラインで公開し
た論文の中でストックホルム大学の研究者は、5、7、9などの等間隔の数字のトリプレットの場合にこの仮説を証明しました。このペアは、リスト内の数字の逆数の合計が無限大の場合、等間隔の数字のトリプルが無限に多くなければならないことを示しました。
ケンブリッジのトーマス・ブルーム
「これは長年で最も注目すべき結果です」とカリフォルニア工科大学のネッツ・カッツは述べています。 「これは重要なイベントです。」
セットの1つである、無限大になりがちな相互数の合計は、素数です。つまり、1とそれ自体でのみ割り切れる数です。 1930年代にヨハネスファンデルコーププライムの特別な構造を使用して、それらの中に等間隔のトリプレットが無数にあることを示しました（たとえば、17、23、29）。
しかし、ブルームとシサスクの新しい発見は、それらの中に無限の数のトリプルがあることを証明するために、プライムのユニークな構造を深く理解する必要がないことを意味します。それらの相互値の合計が無限になるのに十分な素数があることだけを知るだけで十分です-これは何世紀にもわたって数学者に知られています。 「トーマスとオラフの結果は、それらの構造が実際のものとは完全に異なっていたとしても、それらが多数あるという事実だけで、算術進行の無限大が保証されることを示しています」とトム・サンダースは私たちに書いています。オックスフォード大学から。
新作は77ページあり、数学者が徹底的にチェックするのには少し時間がかかります。しかし、多くの人はそれについて楽観的です。「この主張の証拠は次のように見えるはずです」と、初期の研究がこれの基礎を形成したカッツは言いました。
ブルームとシサスクの定理は、数字のリストが十分に密集している場合、特定のパターンがそこに現れるはずであると述べています。この発見は、オックスフォードのサラ・ピルスがセオドア・モツキンによって最初に策定された「絶対的な無秩序はない」と呼んでいるように、数学の基本的なモットーと一致しています。
偽装密度
十分にまばらにすれば、算術的な進行なしで無限のリストを作成するのは非常に簡単です。たとえば、シーケンス1、10、100、1,000、10,000、...を考えてみます。逆数の合計は1.111（1）になります。これらの数値間の距離は非常に急速に大きくなるため、互いに等しい距離にある数値のトリプレットは1つも見つかりません。
ただし、まだ算術的進行がない、より密度の高い数値のリストがあるかどうか疑問に思われるかもしれません。たとえば、数字の線に沿って歩き、算術進行に含まれていないすべての数字を残すことができます。シーケンス1、2、4、5、10、11、13、14、...を取得します。これは、一見するとかなり密に見えます。ただし、時間の経過とともに、それはますますまばらになります。たとえば、20桁の数字に到達すると、数字の行からすべての整数の0.000009％しか取得されません。 1946年に、Felix Berendはより密度の高い例を考え出しましたが、それらは非常に急速にまばらになります-20桁の数字に達するBerendセットには、すべての整数の0.001％しか含まれていません。
一方、セットにほぼすべての整数が含まれている場合は、間違いなく算術シーケンスが含まれます。しかし、これら2つの極端な状況の間には、広大でほとんどマークのない中間領域があります。数学者が推測しているように、セットがどれほどまばらである可能性があるので、そこでは算術的進行が保証されますか？
ストックホルム大学のOlafSisask
Erdos（彼らが言うように、おそらくハンガリーの数学者Pal Turanと協力して）は1つの可能な答えを与えました。逆数の合計の条件は、マスクされた密度です。これは、数字Nまでのリストの密度が1をNの桁数で割った値以上であると言っているのと同じであることがわかります。つまり、数字の線に沿って移動すると、リストがますますまばらになる可能性があります。それは非常にゆっくりと起こります。 5桁の数字の場合、リストの密度は少なくとも1/5である必要があります。 20桁の場合-少なくとも1/20など。そして、この条件が満たされた場合、Erdosが示唆したように、リストには任意の長さの無数の算術進行が含まれているはずです。
1953年、クラウス・ロスは数学者をエルドの推測の証拠に導く道に導きました。その年にフィールズ賞を受賞した論文で、彼は等距離のトリプレット数を保証する密度関数を定義しました。密度はErdsほど低くはありませんでしたが、それでも、数字の線に沿って移動すると、密度はゼロに近づきました。 Rothの定理は、密度が最終的に1％を下回り、次に0.1％を下回り、次に0.01％を下回るなどの数値のリストで、密度だけが十分に下がる場合は、算術的な進行が必要であることを意味しました。スロー。
1991年6月にケンブリッジ大学でPalErdの講演「60YearsinMathematics」。
まず第一に、ロスのアプローチは、彼が選択した密度のリストのほとんどが算術的進行を「望んでいる」という事実に基づいていました-それらは十分に異なる数のペアを持っているので、これらのペアの中間点のいくつかもこのリストに表示されます。等間隔のトリプレットの出現につながります。トリックは、構造全体が算術的進行を回避するように特別に設計されている場合でも、「ほぼすべて」の番号のリストから「すべて」の番号のリストに移動する方法です。
そのようなリストを受け取ったロスは、フーリエ変換を使用して「周波数スペクトル」をマークアップすることにより、その構造を「蒸留」する方法を考え出しました。..。これは、新しいパターンのどれが最も顕著であるかを示しています。同じ数学が、X線結晶学や放射線分光法などの技術の根底にあります。
一部の周波数は他の周波数よりも強く表示され、これらのバリエーションは既存のパターンを強調します。たとえば、周波数は、リストに偶数よりも奇数が多いことを示している場合があります。もしそうなら、あなたは奇数だけに集中することができ、奇数だけのリストと比較してより密度の高いリストを得ることができます。 Rothは、このような蒸留を数回行った後、リストが非常に密集しているため、リストに算術プログレッションが存在する必要があることを示すことができました。
スタンフォード大学のジェイコブ・フォックス 氏は、ロスのアプローチは過去50年間、分析数理論の多くの研究に影響を与えてきたと述べています。「彼のアイデアは非常に影響力がありました。」
ゲーム、セット、マッチ
ただし、ロスの方法は、最初からすでにかなり密集していた数字のセットに対してのみ機能しました。そうでない場合、一定の蒸留ではすべての数字が蒸発するだけです。他の数学者は、この方法をますます効果的に使用する方法を絶えず見つけましたが、Erdsの仮説で説明されている密度に近づくことはできませんでした。「この障害は非常に困難に見えました」とフォックスは言いました。
その後、2011年に、KatzとMichael Batemanは、この障害をより簡単な言葉で克服する方法を考え出しました。カードゲームセットで、プレーヤーは異なるシンボルでマークされた3枚のカードのセットを検索します。セットゲームの3つは算術プログレッションとして定義でき、整数のリストの場合と同様に、少なくとも1つの3つを確実に見つけるために、テーブルに置く必要のあるすべてのカードの量を尋ねることができます。
ゲーム「セット」
ゲームの目的は、81枚のカードのデッキでカードの特別なトリプレットまたは「セット」を見つけることです。各カードには、色（赤、紫、緑）、形状（楕円、菱形、波）、陰影（輪郭、縞模様、完全に塗りつぶされた）、形状の数（1、2、または3）の4つのプロパティを持つ独自の描画があります。通常のプレイでは、12枚のカードが表向きにテーブルに配られ、プレーヤーは4つの属性のそれぞれがすべてのカードで同じかすべてのカードで異なる3枚のカードのセットを探します。12枚のカードの中にそのようなセットがない場合は、さらにカードが追加されます。
デッキ全体
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トリプレットなしで十分な数のカードのセットを収集する簡単な方法は、各属性に対して2つまたは3つの選択肢しかないカードのみを取得することです。このコレクションのサイズは、デッキ全体の（2/3）nになります。ここで、nは属性の数です。
この質問（標準のゲームセットだけでなく、そのより大きなバリアントにも関連する）は、整数に関する対応する質問を研究するための自然なモデルです。したがって、数学者は、ベイトマンとカッツの突破口が、特に他の最近の突破口と組み合わされたときに、エルドの推測を証明する道を開くことができることを望んでいました。ベイトマンとカッツの作品がリリースされた直後、ガワーズは「ポリマスプロジェクト」を立ち上げました。「 -大規模な共同開発を試みを作るために設計されていた。
しかし、すぐに失速プロジェクト」それでは技術的な引数の膨大な量を集め、 -彼はGowersを言った- 。このプロジェクトは、長い時間のために、1人または2人のために、より適しており、ゆっくりとそれに取り組ん「。。
により、幸いなことに、数人の数学者がこれに備えていました。ブルームとシサスクは、最初は別々に、使用されている技術の美しさに魅了されて、すでにエルドの仮説について考え始めました。「これは私が直面した最初の研究問題の1つでした」とシサスクは言いました。 、ブルームのように、現在約35歳です。
ブルームとシサスクは2014年に力を合わせ、2016年までに解決に近づいていると判断しました。ブルームは講演でこれを発表しましたが、その後、彼らが見つけた回避策のいくつかが間違っていることが判明しました。夫婦は仕事を続け、ベイトマンとカッツの方法に飛び込み、最終的に、この方法をセスの世界から整数の世界に移すことができる新しいアイデアに気づきました。
カッツ氏によると、新作はあらゆる角度から正しいようだという。 「私は彼らの以前の発言を信じていませんでしたが、私はこれを信じています。」
ブルームとシサスクの仕事は「途方もない成果」だとフォックス氏は語った。彼らや他の数学者は、新しい仕事の技術が他の問題に適用できるかどうかを知りたがっています。 「これらの方法は数学に大きな影響を与えると思います」とフォックス氏は語った。
エルドスの仮説全体に関しては、それに関する作業はまだ完全にはほど遠い。 BloomとSisaskは、等間隔のトリプレットの数についてのみこの仮説を証明しましたが、より長い算術進行については証明しませんでした。このタスクはまだ手の届かないところにあります。
そして、多くの数学者の意見では、ブルームとシサスクがすでに閉じているスリーに関する質問でさえ、特に役に立ちません。 Erdsの密度が等距離のトリプレットの数を保証することを証明するのは難しいですが、数学者は、この保証が機能しなくなる実際の密度ははるかに低く、おそらくBerendが設計したセットの密度よりもわずかに高いと考えています。
「これは、私たちがこの問題を完全に解決したということではありません」とブルームは言いました。 「私たちは彼女にもう少し光を当てました。」
ブルームとシサスクはおそらく現在の方法から最良のものを絞り出したとフォックス氏は語った。「さらに進んで劇的に良い結果を得ることができる、まったく新しいツールがいくつかあるはずです」と彼は言いました。しかし、「これで話は終わりではないだろう」。