一般的な相対性。シュヴァルツシルトソリューションの追加次元としてのエネルギー

Habritants！この記事では、特別な場合としてフリードマンとシュヴァルツシルトのメトリックを含む一般的なメトリックを取得する方法について説明します。



資料を理解するには、派生物の概念が必要です。



空間に4番目の次元があると想像してみましょう。その中の動きがオブジェクトからの動きの一部をとったように、またはその逆のように。まるで重力が、エネルギーを持ったオブジェクトの周りにサブ次元の渦を作り出す純粋に幾何学的な効果であるかのように。



質問に興味がある場合は、おそらく同様の重力の視覚化に出くわしたことでしょう。







そのような漏斗の深さとオブジェクトの相互作用のメカニズムを推定するために、署名間隔（1〜4）の式を作成します。

3-球形座標

4次元空間を想像してみてください $$$\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$、そしてその中に球形座標を定義する$$$(r, \theta, \phi, \eta)$：

$$

$$] \, {w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta; \\ x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta; \\ y = r\sin\theta\cos\phi; \\ z = r\cos\theta } \\$$

これを行うには、遷移マトリックスを書き留めます。

$$

$$\vec{r} = \left( \matrix{w \\ x \\ y \\ z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\ r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\ r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta } \right)$$

換算係数を計算してみましょう。

$$

$$g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = \sqrt{ \left( \frac{\partial w}{\partial r} \hat{h} + \frac{\partial x}{\partial r} \hat{i} + \frac{\partial y}{\partial r} \hat{j} + \frac{\partial z}{\partial r} \hat{k} \right)^2 } = \\ = \sqrt{sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta + \sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta + sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta} = 1 \\ g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| = \sqrt{r^2cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2sin^2\theta} = \\ = \sqrt{r^2(sin^2\theta + \cos^2\theta (cos^2\phi + sin^2\phi (cos^2\eta+sin^2\eta)))} = r \\ g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{r^2sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\eta + r^2sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\eta + r^2sin^2\theta\sin^2\phi + 0} = \\ = \sqrt{r^2sin^2\theta} = r\sin\theta \\ g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = \sqrt{r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta} = r\sin\theta\sin\phi$$

そして、対応する $$$\psi$ 間隔：

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + (dw^2 + \color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + 1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \\ ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$$

赤-時間コンポーネント。FLRWメトリックと同様に表示されます。

緑-FLRWメトリックと同様に表され、3球の表面を表す空間コンポーネント。



マゼンタは、時間と空間の間に中断されたリンク、つまり空間部分の乗数変化の差であることが判明しました。

間隔の概観

前回の記事で 概説したアイデアの開発を継続し、オブジェクトの相対的なエネルギー量に関連する尺度として4次元の変更を配置するため、コンポーネントのメトリックを補足します。$$$\color{orange}{-dr^2}$エネルギー的に閉じたシステムを検討することにより、宇宙全体（フリードマンの解決策）と球対称の塊状体（シュヴァルツシルトの解決策）の両方に当てはまると想定されます。この解釈に同意しない読者は、単にそれを数学的なトリックと見なすかもしれません。

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right)}$$

時間的部分のマゼンタは明らかです：

$$

$$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$$

バグに取り組みます。残念ながら、現在$$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$フラットスルー座標変換はできません。あなたがそれを思い起こせば$$$r^2 \cdot (dx^2 + dy^2 + dz^2)$基底ベクトルはもはや互いに直交していません。

さらなる考慮事項は、近似の場合にのみ有効です。$$$\sin^2 \theta = \rho^2$ 大きな値でも許容可能 $$$r$..。

緑のものを改造して、スペースが $$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ 角度座標で表すことができます $$$(x_1, y_1, z_1)$ FLRWメトリックのように：

$$

$$\color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = \\ = r^2 \cdot dx_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot dy_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dz_1^2 - \color{orange}{dr^2} =} \quad \rightarrow (1)$$

この場合、遷移係数は等しくなります。

$$

$$dx_1^2 = d\theta^2; \\ dy_1^2 = \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 = \sin^2 \theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 = \sin^2 \theta \cdot \left( \frac{d\phi}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\theta} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \\ = \sin^2\theta \cdot \left( \frac{g_\theta}{g_\phi} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} \cdot d\theta^2 = d\theta^2; \\ \frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\eta^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$$

したがって、基本ベクトルを考慮に入れます。

$$

$$(1) \rightarrow \quad \color{green}{= r^2 \cdot dx_1^2 \cdot \vec{e_{\theta}}^2 + r^2 \cdot dy_1^2 \cdot \vec{e_{\phi}}^2 + r^2 \cdot dz_1^2 \cdot \vec{e_{\eta}}^2 - \color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2} = } \quad \rightarrow \ (2)$$

3スペースとは $$$\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ 線形で $$$d\theta$ 基底ベクトル、スケール係数 $$$r$ 瞬間的な長さ $$$dl^2 = dx_1^2 + dy_1^2 + dz_1^2$、この場合、値だけまとめて削減されます $$$dr^2/r^2$：

$$

$$(2) \rightarrow \quad \color{green}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \right) = } \quad \rightarrow \ (3)$$

オレンジ色の成分がない場合、空間スケール係数が低下する可能性のある「フラット」空間の標準宇宙モデルの間隔の空間部分が取得されます。 $$$r$FLRWのように時間内に。



「パック」エクストラ$$$dr^2$ 球形で再びより実用的になりますが、今では3次元球では通常のことです $$$(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$..。3球システムと2球システムの座標を区別するために、後者を示します。$$$(\rho, \varphi, \zeta)$：

$$

$$(3) \rightarrow \quad \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = \\ = r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) }$$

ここで、量の比率の順序 $$$dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^\rho$、および $$$\varphi, \zeta$ 接線定理による：

$$

$${ d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\ d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta. }$$

その場合、完全な間隔は次のようになります。

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)} \qquad (A)$$

結果は、FLRWメトリックとSchwarzschildメトリックの間隔の形式から「一緒に石畳にされた」かのように結合された間隔であり、それぞれが物理的な相互作用の特定のケースを表します。それでは、$$$(A)$ 対応する解が得られます。

フリードマンメトリックの間隔ビュー

純粋に数学的に、フォームの間隔 $$$(A)$ エネルギー成分を単純に除外することにより、標準的な宇宙モデルのFLRWメトリックになります $$$dr = 0$：

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)}$$

上に示したように、これは次のように書き直すこともできます。

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)}$$

そのような間隔の一般的な相対性の方程式の解は、依存性を与えます $$$r \propto t^{2/3}$..。



ただし、オブジェクトの経験的なQCSデータ$$$z>0.3$この関係からの統合された偏差を示します。



おそらく次のような間隔の解決策$$$(A)$ より正確な関係が得られますが、私はまだそれを見つけていません。

Schwarzschildメトリックに関する一般的な相対性ソリューション

結果の間隔をSchwarzschildメトリックと比較してみましょう。

$$

$$ds^2 = -\color{red}{(1-\frac{\rho_s}{\rho})} \cdot dt^2 + \color{orange}{\frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$$

低エネルギースケールで相互作用するオブジェクトのシステムを想像すると $$$(dr/r \rightarrow \infty)$その後 $$$r$ 数学的な接続性を失うことなく1に等しいと見なすことができ、スペースは疑似ユークリッドになり、間隔は $$$(A)$ 次のように書き直すことができます。

$$

$$ds^2 = (-1)\cdot \color{red}{ \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) } \cdot dt^2 + \color{orange}{ \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) } \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$$

数学的には、これはトリックを実行した場合とまったく同じです $$$\pm dr^2$ 球座標の空の3スペースの場合 $$$(\rho, \varphi, \zeta)$..。



つまり、フラット真空の場合、間隔$$$(A)$赤とオレンジで強調表示されている要素が同等であるという条件で、シュヴァルツシルトメトリックのソリューションと同様のソリューションが得られます。システムを取得します。

$$

$$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; \\ \frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$$

どこ $$$t, r, \rho$-順番：空間のゼロ全曲率に沿った球対称重力場の時間、曲率（エネルギー）、半径（距離）。

単純な数学的変換を使用すると、非常に簡潔な解決策が得られます。

$$

$$-dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0,$$

これはそれを確認します：

1. 4番目の座標は、半径方向の座標に対して線形です。
2. 4番目の座標は虚軸座標です。

最初のものは、私の意見では、追加の軸として提示されたエネルギーが観測可能なものに対してほぼ等方性であることを示しているため、非常に重要です。第二に、それはあなたが彼女が異なって現れる理由を理解することを可能にします。そして「観察不能」。



さらに、空間に対して負の符号、時間に対して正の符号を持つエネルギー間隔の設定によって、次のようにそれらの関係を定式化できることに注意してください。空間はエネルギー時間であり、エネルギー時間で克服されます。

概要

物理学の幾何学化に関するコースの継続は、それ自体が非常に有望な方向性であることを示しているように私には思えます。宇宙学におけるエネルギー軸の架空性は、マクスウェルの方程式への出発点として役立つ可能性があります。

マージナルノート。将来的には、電荷と質量のメカニズムを整理するための1つの架空の測定では十分ではないと思います。加えて、少なくとも2つの次元を支持する議論としての電磁二元論。そして、次の形式の対称性：時間次元+2つのエネルギー= 3つの空間。

マイクロスケールに行くとき、私は「分割」の方向に移動しようとします$$$r$：

$$

$$ds^2 = - dt^2 - dv^2 - dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

備考2020年8月23日：

架空の追加軸 $$$r$ もともとは $$$\pm dr^2$時間的および空間的要素に分けられました。つまり、重力場を漏斗ではなく丘として想像すると、4番目の次元は宇宙に向けられていることがわかります。

$$

$$dt^2 + dr^2 + d\rho^2 = 0$$

（1,3）に示されている特性の5番目の軸の方向からのこのような無関心は、明らかに、その閉じた形の兆候です。