👩🏽‍💼 😺 👈🏿 ベクトル空間 🍈 👂🏻 🥤

科学的および応用的研究を行う場合、特定の空間の点および/またはベクトルが考慮されるモデルが作成されることがよくあります。たとえば、楕円曲線暗号モデルは、アフィンスペースと射影スペースを使用します。射影空間の枠内で導出された楕円曲線の点を操作する式では、座標による除算の操作がなく、アフィン空間の場合は回避できないため、計算を高速化する必要がある場合は射影のものに頼ります。

分割操作は、最も「高価な」操作の1つにすぎません。事実、代数フィールドでは、したがってグループでは、除算演算はまったくなく、除算演算は乗算に置き換えられますが、座標自体ではなく、その逆の値で乗算されます。 ..。このことから、最初に拡張ユークリッドGCDアルゴリズムなどを使用する必要があります。要するに、ECCに関するほとんどの出版物の著者が描いているほどすべてが単純なわけではありません。インターネットだけでなく、このトピックに関して公開されているほとんどすべてのものは私にはよく知られています。著者は有能でなく、冒涜に従事しているだけでなく、これらの出版物の評価者はコメントに著者を追加します。つまり、ギャップや明らかなエラーは見られません。通常の記事については、すでに100500番目であり、効果はゼロであると書かれています。これまでのところ、すべてがハブレに配置されており、出版物の分析は膨大ですが、コンテンツの品質は高くありません。ここで異議を唱えるものは何もありません-広告はビジネスの原動力です。

線形ベクトル空間

周囲の世界の現象の研究と説明は、必然的に、点、数、空間、直線、平面、座標系、ベクトル、セットなどの多くの概念の導入と使用につながります

。r _<3>= 3次元空間の<r1、r2、r3>ベクトルは、原点に対する1つの粒子（点）の位置を指定します。 N個の要素を考慮する場合、それらの位置の記述には3∙N座標を指定する必要があります。これは、3N次元空間内のあるベクトルの座標と見なすことができます。連続関数とそのコレクションを検討すると、次元が無限大に等しいスペースになります。実際には、それらは、有限数の次元を持つそのような無限次元の座標関数空間の部分空間のみを使用することに制限されることがよくあります。

例1。フーリエ系列は、関数空間の使用例です。フーリエ系列の任意の関数の展開を検討してください

これは、「ベクトル」f（x）を無限の「直交」基底ベクトルsinnxに拡張したものと解釈できます。

これは、ベクトルの概念を無限の次元に抽象化および拡張した例です。確かに、-π≤x≤πの場合、

抽象ベクトル空間の次元から抽象化しても、さらに検討する必要はありません。3、3N、または無限大ですが、実際のアプリケーションでは、有限次元のフィールドとベクトル空間の方が重要です。

ベクトルr1、r2、…のセットは、その要素の任意の2つの合計もこのセットに含まれ、要素に数値Cを乗算した結果もこのセットに含まれる場合、線形ベクトル空間Lと呼ばれます。数値Cの値が、明確に定義された数値セットF（Lに付加されていると見なされる素数pを法とする残基のフィールド）から選択できることをすぐに予約しましょう。

例2。 n = 5ビットのバイナリ番号で構成される8つのベクトルのセット

r0 = 00000、r1 = 10101、r2 = 01111、r3 = 11010、r4 = 00101、r5 = 10110、r6 = 01001、r7 = 11100は、数値Cє{0,1}の場合、ベクトル空間Lを形成します。この小さな例では、その定義に含まれるベクトル空間のプロパティの発現を検証できます。

これらのベクトルの合計は、2を法としてビット単位で実行されます。つまり、最上位ビットに1を転送することはありません。すべてのCが実数である場合（一般的な場合、Cは複素数のフィールドに属します）、ベクトル空間は実数と呼ばれることに注意してください。

正式には、ベクトル空間の公理は次のように記述されます

。r1+ r2 = r2 + r1 = r3; r1、r2、r3єL-追加の可換性と閉鎖性。

（r1 + r2）+ r3 = r1 +（r2 + r3）= r1 + r2 + r3-追加の関連性;

ri + r0 = r0 + ri = ri; ∀i、ri、r0єL-中性要素の存在。

ri +（-ri）= r0、∀iには反対のベクトル（-ri）єLがあります。

1∙ri = ri∙1 = ri乗算用のユニットの存在。

α（β∙ri）=（α∙β）∙ri; α、β、1、0は、数値フィールドF、riєLの要素です。スカラーによる乗算は連想的です。乗算の結果はLに属します。

（α+β）ri =α∙ri +β∙ri; ∀iの場合、riєL、α、βはスカラーです。

a（ri + rj）= ari + arj for all a、ri、rjєL;

a∙0 = 0、0∙ri = 0; （-1）∙ri = -ri。

ベクトル空間の次元と基礎

ベクトル空間を研究するとき、空間全体を形成するベクトルの数などの質問を明確にすることは興味深いことです。空間の大きさは何ですか。空間のすべてのベクトルを形成することを可能にする、数による加算と乗算の操作をそれに適用することによって、ベクトルの最小のセットは何ですか？これらの質問は基本的なものであり、無視することはできません。答えがないと、ベクトル空間の理論を構成する他のすべての認識の明確さが失われるためです。

空間の次元は、ベクトルの線形依存性、および調査中の空間でさまざまな方法で選択できる線形的に独立したベクトルの数と密接に関連していることが判明しました。

ベクトルの線形独立性

Lからのベクトルr1、r2、r3 ...rのセットは、それらの関係が線形独立である場合、線形独立と呼ばれます。

同時平等の条件の下でのみ満たされる

с_{1} = с_{2} = \dots = с_{р} = 0

$_1=_2=…=_=0$ 。

すべて

с_{k}

$_k$ 、K = 1（1）pは、数値残基フィールドモジュロ2つに属する

F = {0、1}。

あるベクトル空間Lで、関係が存在するp個のベクトルのセットを選択できる場合

c_{1} r_{1} + c_{2} r_{2} + . . . + c_{p} r_{p} = 0

$c_1 r_1+c_2 r_2+...+c_p r_p=0$ が満たされますが、すべてではありません

с_{k} = 0

$_k = 0$ 同時に、すなわちセットを選択できることが判明しました

с_{k}

$_k$ 、K = 1（1）、その中でゼロでないものは、そのようなベクターがあります

r_{i}

$r_i$ 線形従属と呼ばれています。

例3。平面上に2つのベクトルがあります

е_{1}

$_1$ = <0、1>^Tおよび

е_{2}

$_2$ = <1、0>^Tは、関係（T-transposition）にあるため、線形的に独立しています。

数字のペアを拾うことは不可能です

с_{1}, с_{2}

$_1, _2$ 係数比が満たされるように、同時にゼロに等しくありません。

3つのベクトル

е_{1}

$_1$ = <0、1>^T、

е_{2}

$_2$ = <1、0>^T、

е_{3}

$_3$ = <1、1>^Tは、線形に依存するベクトルのシステムを形成します。

係数を選択することで同等性を確保できます

с_{1} = с_{2} = 1, с_{3} = - 1

$_1 = _2 = 1, _3 = –1$ 同時にゼロに等しくない。さらに、ベクトル

e_{3} = е_{1} + е_{2}

$e_3 = _1 + _2$ 機能です

е_{1}

$_1$ そして

е_{2}

$_2$ （それらの合計）、これは依存関係を示します

e_{3}

$e_3$ から

е_{1}

$_1$ そして

е_{2}

$_2$ ..。一般的なケースの証明は次のとおりです。

値の少なくとも1つをしましょう

с_{k}

$_k$ 、k = 1（1）p、たとえば、

с_{р} \neq 0

$_ ≠ 0$ 、および関係が満たされます。これは、ベクトルが

r_{k}

$r_k$ 、k = 1（1）、線形依存

ベクトル_rを明示的に分離しましょう

ベクトルr _pはれる線形であると言わベクトルの組み合わせ

r_{1}, r_{2} \dots r_{р} - 1

$r_1, r_2… r_-1$ または、残りのベクトルを介したr _pは、線形に表されます。r _pは、他の要素に直線的に依存します。彼は彼らの役目です。

2次元平面では、3つのベクトルは線形に依存しますが、2つの非同一直線上のベクトルは独立しています。3D空間では、3つの非同一平面上のベクトルは線形に独立していますが、4つのベクトルは常に線形に依存しています。

人口の依存/独立{

e_{1}, e_{2}, e_{3}, . . ., e_{n}

${e_1, e_2, e_3, ..., e_n}$ }ベクトルは、多くの場合、グラム行列の決定要因を計算することによって決定されます（その行はベクトルのドット積です）。決定要因がゼロの場合、ベクトル間に従属ベクトルがあります。決定要因がゼロ以外の場合、マトリックス内のベクトルは独立しています。

ベクトルシステムのグラム決定基（グラミアン）

e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n} e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

ユークリッド空間におけるこのシステムのグラム行列の決定要因は

| \begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{1}, e_{n} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{2}, e_{n} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ e_{n}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{n}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{n}, e_{n} ⟩ \end{matrix} |, | \begin{matrix} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{1}, e_{n} ⟩ \\ ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{2}, e_{n} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ ⟨ e_{n}, e_{1} ⟩ & ⟨ e_{n}, e_{2} ⟩ & \dots & ⟨ e_{n}, e_{n} ⟩ \end{matrix} |,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\langle e_{1},\;e_{1}\rangle &\langle e_{1},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{1},\;e_{n}\rangle \\\langle e_{2},\;e_{1}\rangle &\langle e_{2},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{2},\;e_{n}\rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle e_{n},\;e_{1}\rangle &\langle e_{n},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{n},\;e_{n}\rangle \\\end{vmatrix}},}\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},$

どこ

⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩

${\displaystyle \langle e_{i},\;e_{j}\rangle }\langle e_i,\;e_j\rangle{\displaystyle \langle e_{i},\;e_{j}\rangle }\langle e_i,\;e_j\rangle$ -ベクトルのドット積

e_{i} e_{i}

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}\mathbf{e}_i$ そして

e_{j} e_{j}

${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}\mathbf{e}_j$ ..。

ベクトル空間

の次元と基礎空間Lの次元s = d（L）は、線形に独立したセットを形成するL内のベクトルの最大数として定義されます。次元はLのベクトルの数ではなく、無限である可能性があり、ベクトルコンポーネントの数でもありません。

有限次元s≠∞の空間は、

s =∞、無限次元の場合、有限次元と呼ばれます。

線形ベクトル空間ですべてのベクトルを確実に生成するためのベクトルの最小数と構成に関する質問への回答は、次のステートメントです。

空間L内の線形に独立したベクトルのsのコレクションは、そのベースとcを形成します。これは、任意のベクトルが

r_{k}

$r_k$ 線形s次元ベクトル空間Lは、基底ベクトルの線形組み合わせとして独自の方法で表すことができます。

固定して記号で示します

е_{i}

$_i$ 、i = 1（1）sは、空間Lの基礎を形成するタプルの1つです。

数_rki、i = 1（1）sは、ベクトルの座標と呼ばれます。

r_{k}

$r_k$ に基づいて

е_{i}

$_i$ 、i = 1（1）s、およびr _ki =（

е_{i}

$_i$ 、

r_{k}

$r_k$ ）。

表現の独自性を示しましょう

r_{k}

$r_k$ ..。明らかに、セット

e_{1}, e_{2}, . . ., e_{s}

$e_1,e_2,...,e_s$ 、

r_{k}

$r_k$ 依存しているので

е_{i}

$_i$ 、i = 1（1）sが基準です。言い換えれば、そのようなものがあります

с_{1}, с_{2} . . . с_{s}, c_{k}

$_1, _2... _s, c_k$ 同時にゼロに等しくない、それ

c_{1} \cdot e_{1} + c_{2} \cdot e_{2} + . . . + c_{s} \cdot e_{s} + c_{k} \cdot r_{k} = 0

$c_1·e_1 + c_2·e_2 + ...+ c_s·e_s + c_k·r_k = 0$ ..。

また、

c_{k} \neq 0

$c_k ≠ 0$ なぜなら

c_{k} = 0

$c_k = 0$ 、次に少なくとも1つ

с_{1}, с_{2}, . . ., с_{s}

$_1, _2 , ... , _s$ 、それは非ゼロになり、次にベクトルになります

e_{i}

$e_i$ 、i = 1（1）sは線形に依存しますが、これは基礎であるため不可能です。その結果、

仮定

、

「矛盾による」証明の方法を使用して、書面による表現を仮定します

r_{k}

$r_k$ これに基づいて唯一のものではなく、他の何かがあります。

次に、表現の違いを書き留めます。これは、もちろん、

右側と左側は等しいが、左側はそれ自体とのベクトルの違いを表します。つまり、ゼロに等しくなります。したがって、右側もゼロになります。ベクトル

е_{i}

$_i$ 、i = 1（1）sは線形に独立しているため、それらのすべての係数はゼロにすることしかできません。これから私たちはそれを取得し

、これは

基礎の選択。正統性

それぞれの長さが1に等しい場合、ベクトルは正規化されたと呼ばれます。これは、正規化手順を任意のベクトルに適用することで実現できます。

ベクトルが互いに垂直である場合、それらは直交と呼ばれます。このようなベクトルは、それらのそれぞれに直交化手順を適用することによって取得できます。ベクトルのセットに対して両方のプロパティが満たされている場合、そのベクトルはオルソノーマルと呼ばれます。

オルソノーマルベースを考慮する必要があるのは、1次元関数と多次元関数の両方の高速変換を使用する必要があるためです。このような処理のタスクは、さまざまな目的の通信ネットワークで情報メッセージをエンコードするコードの研究、取得された画像の研究で発生します。

情報のデジタル表現を使用する他の多くの分野で、自動および自動化されたデバイスを介して。

定義。 n次元ベクトル

空間Vのn個の線形に独立したベクトルの集合はその基底と呼ばれます。

定理。さらに、線形n次元ベクトル空間Vの各ベクトルxは、基本ベクトルの線形組み合わせの形式で、独自の方法で表すことができます。フィールドF上のベクトル空間Vには、次のプロパティがあります。0x

= 0（等式の左側の0は、フィールドFの加法グループの中立要素です。等式の右側の0は、空間Vの要素です。これは、ゼロベクトルと呼ばれる加法グループVの中立単位要素です。）;

（-1）・x = –x; –1єF; xєV; –xєV;

αx=0єVの場合、x≠0の場合は常にα= 0です。Vn

（F）を、フィールドFのコンポーネントを含む長さnのすべてのシーケンス（x1、x2、...、xn）のセットとします。 Vn（F）= {x、x =（x1、x2、...、xn）、xiєF;

i = 1（1）n}。

スカラーによる加算と乗算は次のように定義されます

。x+ y =（x1 + y1、x2 + y2、…、xn + yn）;

αx=（αx1、αx2、…、αxn）、ここでy =（y1、y2、…、yn）の場合

、Vn（F）はフィールドF上のベクトル空間です。

例4。ベクトル空間r®= 00000、r1 = 10101、r2 = 11010、r3 = 10101で、フィールドF2 = {0,1}でその寸法と基準を決定します。

決定。線形ベクトル空間のベクトルの加算のテーブルを作成しましょう

このベクトル空間V = {ro、r1、r2、r3}では、各ベクトルはその反対としてそれ自体を持っています。r®を除く任意の2つのベクトルは線形に独立しているため、

c1・r1 + c2・r2 = 0を簡単に確認できます。c1 r1 + c3 r3 = 0; c2 r2 + c3 r3 = 0;

3つの関係のそれぞれは、係数ci、cjє{0,1}のペアの同時ゼロ値に対してのみ有効です。

3つの非ゼロベクトルが同時に考慮される場合、それらの1つは常に他の2つの合計であるか、それ自体に等しく、r1 + r2 + r3 =r®です。

したがって、考慮される線形ベクトル空間の次元は2 s = 2、d（L）= s = 2に等しくなりますが、各ベクトルには5つの成分があります。スペースの基本はコレクション（r1、r2）です。ペア（r1、r3）をベースとして使用できます。

理論的および実際的には、ベクトル空間を記述する問題が重要です。基底ベクトルの任意のセットは、ベクトル空間の生成行列と呼ばれる行列Gの行と見なすことができます。この空間の任意のベクトルは、行列Gの行の線形の組み合わせとして表すことができます（たとえば、ここで）。

ベクトル空間の次元がkであり、行列Gの行数、行列Gのランクに等しい場合、明らかに、行列の行のすべての可能な線形の組み合わせを生成するためのq個の異なる値を持つk個の係数があります。さらに、ベクトル空間Lにはqk^個のベクトルが含まれています。

ベクトルの加算とℤpからのスカラーによるベクトルの乗算の操作を伴うℤpnからのすべてのベクトルのセットは線形ベクトル空間です。

定義。条件を満たすベクトル空間VのサブセットW：

w1、w2єW、w1 +

w2єWの場合、任意のαєFおよびwєWの場合、要素αwєWは

それ自体がフィールドF上のベクトル空間であり、ベクトル空間Vの部分空間と呼ばれます。

VをフィールドFとセットW⊆V上のベクトル空間とします。Vで定義された線形演算に関するWが線形ベクトル空間である場合、セットWは空間Vの部分空間です。

テーブル。ベクトル空間の特徴

ベクトル空間の行列表現のコンパクトさは明らかです。たとえば、30個のベクトルがベクトル空間の基礎を形成する50ビットのバイナリ数のL個のベクトルを指定するには、行列G [30,50]を作成する必要があり、記述されたベクトルの数は10 ⁹を超えます。これは、要素ごとの表記では不合理に思えます。

任意の空間Lのすべての塩基は、det G> 0の非縮退行列のサブグループPによって2つのクラスに分割されます。それらの1つ（任意）は、正の方向のベース（右のベース）を持つクラスと呼ばれ、もう1つのクラスには左のベースが含まれます。

この場合、彼らは方向が空間で与えられると言います。その後、任意の基底はベクトルの順序付けられたセットです。

2つのベクトルの番号を右ベースで変更すると、ベースは左になります。これは、行列Gで2つの行が交換されるため、決定子detGの符号が変わります。

ベクトルのノルムとドットの積

線形ベクトル空間の基礎を見つけること、この空間のすべての要素の生成、および基底ベクトルを介した任意の要素とベクトル空間自体の表現についての質問を解決した後、この空間で要素間の距離、ベクトル間の角度、ベクトルコンポーネントの値を測定する問題を提起することができます、ベクトル自体の長さ。

実数または複素数のベクトル空間Lは、その中の各ベクトルrを実数に関連付けることができる場合、正規化されたベクトル空間と呼ばれます|| r || -ベクトル係数、ノルム。単位ベクトルは、ノルムが1のベクトルです。ゼロベクトルにはゼロ成分があります。

定義..。 Lからのベクトルの各ペアri、rjにスカラーを割り当てるバイナリ操作が定義されている場合、ベクトル空間はユニタリと呼ばれます。括弧（ri、rj）には、riとrjのスカラーまたは内部積が記述（表示）され、

1。（ri、rj）= ri∙rj;

2.（ri、rj）=（ri∙rj）*、ここで*は複雑な共役またはエルミート対称性を示します。

3.（ri、rj）=（ri∙rj）-連想法則;

4.（ri + rj、rk）=（ri∙rk）+（rj∙rk）-分配法;

5.（ri、rk）≥0であり、（ri、rj）= 0から、ri = 0に従います。

定義。平方根の正の値は、ベクトルri

のノルム（または長さ、係数）と呼ばれます。

= 1の場合、ベクトルriは正規化されたと呼ばれます..。

単一ベクトル空間Lの2つのベクトルri、rjは、それらのスカラー積がゼロに等しい場合、つまり相互に直交しています。（ri、rj）= 0。

線形ベクトル空間のs = 3の場合、3つの相互に垂直なベクトルを基準として選択すると便利です。この選択により、多くの依存関係と計算が大幅に簡素化されます。空間および他の次元s> 3で基底を選択する場合、直交性の同じ原理が使用されます。ベクトルのスカラー積の導入された操作の使用は、そのような選択の可能性を提供します。

直交正規化ベクトルのベクトル空間の基底として選択すると、さらに大きな利点が得られます-直交正規基底..。特に明記されていない限り、基底ei、i = 1（1）sがこのように選択されていると常に想定します。

、ここでijはクローネッカーシンボル（1823〜1891）です。

ユニタリベクトル空間では、この選択は常に実現可能です。そのような選択の実現可能性を示しましょう。

定義。S = {v1、v2、…、vn}をフィールドF上のベクトル空間Vの有限サブセットと

します。Sからのベクトルの線形組み合わせは、a1∙v1 + a2∙v2 +…+ a∙vnの形式の式です。ここで、各ai∊Fです。

セットSのエンベロープ（表記{S}）は、Sからのベクトルのすべての線形組み合わせのセットです。SのエンベロープはVの部分空間です

。UがVの空間である場合、{S} =の場合、UはSにまたがります（SはUを縮小します）。 U。

ベクトルa1、a2、...、aがFにあり、a1∙v1 + a2∙v2 +…+ a∙vn = 0であるすべてのゼロではない場合、ベクトルSのセットはFに線形に依存します。そのようなスカラーが存在しない場合、セットベクターの直線独立F.オーバーS

ベクトル空間Vが、システムSは、V.ための基礎と呼ばれ、ベクトルS（またはSが空間Vを収縮システム）の線形独立なシステムで張られている場合

任意の基底のオルソノーマル形式への縮小

ë空間Vが非正規直交基底を持ってみましょう_私は、私は、S 1〜（1）=。各基底ベクトルのノルムを記号で表します

次のステートメントは既知です[11]。 ē場合_iは、 E、Iは1（1）S =ユニタリベクトル空間内の任意の有限または線形独立なベクトルの可算システムであり、その後、正規直交システムが存在する_iは、iが同じ線形空間（マニホールド）を生成する、1（1）S =。

正規直交化フォームに基礎を低減するための手順を順番に再発式により実現されるグラム・シュミット直交化プロセスに基づいており、

拡張形態において、基準直交化と正規化アルゴリズムは、以下の条件が含まれています

Eベクターを分割₁のノルムによって、我々は、正規化ベクトルē得る_I = E ₁ /（|| e ₁ ||）。

私たちは、形成V2 = E ₂ - （E ₁、E、₂）E ₁と正規化、それは、我々が得るE ₂。その場合、

（e1、e2）〜（e1、e2）-（e1、e ₂）（e1、e1）= 0であることは明らかです。

V3 = E構築₃（e1は、E、 - ₃）E1 - （E2、E、₃）E2およびそれを正規化し、我々はE3得ます。

そのため、我々はすぐに持っ（E1、E3）=（E2、E3）0は=

このプロセスを続けるE、我々は正規直交セットを取得_iは、iは1（1）S =。このセットには、すべて相互に直交しているため、線形に独立したベクトルが含まれています。

これを確認しましょう。関係をしましょう

ē設定した場合_iは、iは1（1）=≠0、次いで少なくとも一つCJ係数がゼロCJに等しくない、依存はS

乗算EJ比の両側が、我々が得た

（EJ、C1∙E1）+（EJ、C2∙E2） + ... +（ej、cj∙ej）+…+（ej、cs∙rs）= 0。

合計の各被加数は、直交ベクトルのスカラー積としてゼロに等しくなります。ただし、（ej、cj∙ej）はゼロに等しくなります。状態。ただし、この項

（ej、ej）= 1≠0では、したがって、cjのみをゼロにすることができます。

したがって、cj≠0であるという仮定は真ではなく、コレクションは線形的に独立しています。

例5。 3次元ベクトル空間の基礎が与えられます：

{<-1、2、3、0>、<0、1、2、1>、<2、-1、-1,1>}。

ドット積は、次の関係によって定義されます。

（<x1、x2、x3、x4>、<y1、y2、y3、y4>）= x1∙y1 + x2∙y2 + x3∙y3 + x4∙y4。

Gram-Schmidt直交化手順を使用して、ベクトルのシステムを取得します

。a1= <-1、2、3、0>; a2 = <0、1、2、1> -4 <-1、2、3.0> / 7 = <4、-1、2、7> / 7;

a3 = <2、-1、-1、1> +½<-1、2、3、0>-<4、-1、2、7> / 5 = <7、2、1、-4> /十。

（a1、a2）=（1 + 4 + 9 + 0）= 14;

a1 ^E = a1 /√14;

a2-（a1 ^E、a2）∙a1 ^E = a2-（8 /√14）（a1 /√14）= a2-4∙a1 / 7;

読者は、3番目のベクトルを個別に処理するように招待されています。

正規化されたベクターは、形をとる：

A1 ^E = A1 /√14。

a2 ^E = <4、-1、2、7> /√70;

a3 ^E = < 7、2、1 、-4>/√70;

以下に、例6で、単純なもの（ランダムに取得）からオルソノーマル基底を取得するための詳細な詳細な計算プロセスを示します。

例6。線形ベクトル空間の与えられた基底を正正規形に縮小します。

与えられた：基底ベクトル

ベクトル空間の部分空間

ベクトル空間構造

多次元空間でのオブジェクト（ボディ）の表現は非常に難しい作業です。そのため、4次元キューブは通常の3次元キューブを面として持ち、4次元キューブの展開を3次元空間に構築することができます。ある程度、オブジェクトまたはそのパーツの「イメージ」と明瞭さは、より成功した研究に貢献します。

前述のことにより、ベクトル空間を何らかの方法で分解して、部分空間と呼ばれるそれらの部分を選び出すことができると仮定することができます。明らかに、多次元、特に無限次元の空間とその中のオブジェクトを考慮すると、表現の明確さが失われ、そのようなオブジェクトを研究することは非常に困難になります。

スペース。これらの空間における多面体の要素の量的特性（頂点、エッジ、面などの数）のような一見単純な質問でさえ、完全には解決されていません。

そのようなオブジェクトを研究するための建設的な方法は、それらの要素（たとえば、エッジ、面）を選択し、それらを低次元の空間に記述することです。したがって、4次元キューブは、通常の3次元キューブを面として持ち、4次元キューブの展開を3次元空間に構築できます。ある程度、

オブジェクトまたはその部分の「イメージ」と明快さは、彼らのより成功した研究に貢献します。

LがフィールドKの拡張である場合、LはK上のベクトル（または線形）空間と見なすことができます。フィールドLの要素（つまり、ベクトル）は、加算によってアベリアグループを形成します。さらに、各「ベクトル」aєLに「スカラー」rєKを掛けることができ、積raは再びLに属します（ここで、raは、このフィールドの要素rおよびaのフィールドL操作の意味での積です）。法則は、

r∙（a + b）= r∙a + r∙b、（r + s）∙a = r∙a + r∙s、（r∙s）∙a = r∙（s∙a）も保持します。および1∙a = a、ここでr、sєK、a、bєL。

前述のことにより、ベクトル空間を何らかの方法で分解して、部分空間と呼ばれるそれらの部分を選び出すことができると仮定することができます。明らかに、このアプローチの主な結果は、割り当てられたサブスペースの次元を減らすことです。部分空間L1とL2をベクトル線形空間Lで区別します。 L1の基底として、元のLよりも小さいセットei、i = 1（1）s1、s1 <sが選択され

ます。残りの基底ベクトルは、部分空間L1の「直交補数」と呼ばれる別の部分空間L2を生成します。 L = L1 + L2という表記を使用します。空間LのすべてのベクトルがL1またはL2のいずれかに属することを意味するのではなく、Lからの任意のベクトルは、L1からのベクトルとL2からの直交ベクトルの合計として表すことができます。

分割されるのは、ベクトル空間Lのベクトルのセットではなく、次元d（L）と基本ベクトルのセットです。したがって、ベクトル空間Ｌの部分空間Ｌ１は、その要素（より低い次元の）の集合Ｌ１であり、それ自体は、Ｌに導入された数による加算および乗算の操作に関するベクトル空間である。

各線形ベクトル部分空間Li-にはゼロベクトルが含まれ、そのベクトルのいずれかとともに、すべての線形の組み合わせが含まれます。線形部分空間の寸法は、元の空間自体の寸法を超えることはありません。

例7。通常の3次元空間では、部分空間はすべて直線（次元s = 1）の線、原点を通る平面（次元s = 2）です。最大n次の多項式の空間nでは、部分空間は、たとえば、k <nの場合、すべてkです。最大k次の数の多項式を加算および乗算すると、同じ多項式が再び得られます。

ただし、各空間Pnは、実係数を持つすべての多項式の空間Pに部分空間として含まれており、後者は連続関数の空間Cの部分空間です。

実数のフィールド上の同じタイプのマトリックスも、ベクトル空間のすべての公理を満たすため、線形ベクトル空間を形成します。長さnのセットのベクトル空間L2は、それぞれ長さnのセットの部分空間L1に直交しており、L1のゼロ空間と呼ばれる部分空間L2を形成します。言い換えると、L2からの各ベクトルはL1からの各ベクトルに直交し、その逆も同様です。

サブスペースL1とL2は両方とも、長さnのセットのベクトルスペースLのサブスペースです。コーディング理論[4]では、サブスペースL1とL2のそれぞれは、他のサブスペースによって生成されたコードと二重の線形コードを生成します。 L1が（n、k）コードの場合、L2は（n、n-k）コードです。コードがある行列の行のベクトル空間である場合、そのデュアルコードはこの行列のゼロ空間であり、その逆も同様です。

ベクトル空間Vnの研究における重要な問題は、それらの構造（構造）を確立することです。言い換えると、対象となるのは、要素、それらのコレクション（次元1 <k <nのサブスペース）、およびそれらの関係（順序付け、ネストなど）です。 q = p r要素によって形成される有限フィールドGF（q）上の特定のベクトル空間Vnを想定します。ここで、pは素数、rは整数です。

以下の結果が知られています。

ベクトル空間の部分空間の数

次の理由を挙げましょう。各ベクトルV1≠kの線形独立（V1、V2、...、VK）ベクターのシステムから0をqで選択することができる^N - 1つの方法を。次のベクトルv2≠0は、v1に関して線形に表現することはできません。 Qで選択することができる^N - Qの方法、等

最後のベクトルvk≠0も、以前に選択されたベクトルv1、v2、…、vkに関して線形に表現されないため、q ⁿ --q ^k -1の方法で選択できます。したがって、ベクトルv1、v2、...、vkのセットを選択する方法の総数は、個々のベクトルの選択数の積として定義され、式（1）が得られます。 k = nの場合、w= wn、nとなり、式（I）から式（2）が得られます。

サブスペースの次元に関する重要な一般化の結果。

長さnのタプルの部分空間V1に直交する長さnのすべてのタプルの集合は、長さnのタプルの部分空間V2を形成します。この部分空間V2は、V1のヌル空間と呼ばれます。

ベクトルが部分空間V1を生成する各ベクトルに直交している場合、このベクトルはV1のゼロ空間に属します。

例（V1）は、（7,4）ハミングコードの生成マトリックスの7ビットベクトルのセットであり、このコードのパリティチェックマトリックスを形成する7ビットベクトルのゼロ部分空間（V2）があります。

長さnのセットの部分空間（V1）の次元がkに等しい場合、ゼロ部分空間（V2）の次元はn-kに等しくなります。

V2が長さnのタプルのサブスペースであり、V1がV2のゼロスペースである場合、（V2）はV1のゼロスペースです。

U∩VがUとVの両方に属するベクトルのコレクションを表すとすると、U∩Vは部分空間です。

U⊕Vフォームのすべての線形組み合わせの集合からなる部分空間表すとU + BのV、UはU、є V єV、ABは数字であるが。

部分空間U∩VとU⊕Vの次元の合計は、部分空間UとVの次元の合計に等しくなります。U2

をU1のゼロ部分空間、V2をV1のゼロ空間とします。その場合、U2∩V2はU1⊕V1のゼロスペースです。

結論

このペーパーでは、暗号化、コーディング、およびステガノグラフィックシステム、それらで発生するプロセスの分析のためのモデルの構築によく使用されるベクトル空間の基本概念について考察します。そのため、新しいアメリカの暗号化標準では、アフィンスペースが使用され、楕円曲線上のデジタル署名では、アフィンスペースと

投影スペースの両方が使用されます（曲線ポイントの処理を高速化するため）。

作品の中でこれらのスペースについて話しているわけではありませんが（すべてを1つのヒープにまとめることはできず、公開の量も制限しています）、これについての言及は無駄ではありません。保護手段や暗号アルゴリズムについて書いている著者は、記述された現象の詳細を理解していると素朴に信じていますが、ユークリッド空間とその特性の理解は、異なる特性と法則を持つ他の空間に予約なしで転送されます。読書の聴衆は、資料のシンプルさとアクセスしやすさについて誤解されています。

情報セキュリティと特殊機器（技術と数学）の分野では、現実の誤った絵が作成されます。

一般的に、私が主導権を握り、読者がどれほど幸運であるかを判断しました。

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ベクトル空間