関係。パートII

モデリングの正式な理論では、代数的関係を使用します。これには、実際の物理的、技術的オブジェクト、およびそれらの機能のプロセスを説明する代数的構造のモデルの署名に含まれます。この出版物は前の出版物の続きであり、ここで使用される多くの概念と用語がそこで説明されているので、読むことが望ましい。



プレゼンテーションは、従来の（矢印）スタイルではなく、教科書/マニュアルと雑誌記事の両方からこのキッチン全体を想像して習得しなければならなかった方法で提供されます。私が作成したカタログは特に便利だと思います。ほとんどすべてのスペースを選択して、その要素を便利な形式（マトリックス、グラフなど）で表示できます。処理内容をすぐに確認でき、プロパティ（既に書き出されている）をチェックする必要がないことがよくあります。

関係の概念

態度という用語はすべての読者によく知られていると思いますが、定義を求めることは最も混乱します。これには多くの理由があります。彼らはほとんどの場合、教育プロセスで関係を使用した場合、この用語に焦点を当てなかった場合、記憶に残る例を示さなかった教師にいます。記事の一部のコメンテーターは、コメントを自分のアカウントに帰し、マイナスを追加しました。しかし、あなたは袋の中に縫い目を隠すことはできません。深刻な出版物はありませんでした。自問してみてください、あなたは何か関係空間で働いたことがありますか？そして正直に答えなさい。このスペースについて世界に何を伝えることができますか？まず、少なくともその要素をリストし、プロパティを指定します。作成者の目を通してDBMSを見ることさえできますが、作成者もすべてを見るわけではありません。また、たとえばマイクロサーキットのように、すべてを表示するわけでもありません。



ここで少し繰り返します。抽象セットA = {a1、a2、a3、...、an}から始める必要があります。あなたはそれについてここで読むことができます。理解を深めるために、セットを3つの要素に減らします。 A = {a1、a2、a3}。今、我々は、デカルト乗算×=行う²及び明示的デカルト正方形の全ての要素を列挙

×を= {（A1、A1）、（A1、A2）、（A1、A3）、（A2、A1）、（A2、A2を）、（a2、a3）、（a3、a1）、（a3、a2）、（a3、a3）}。

A×Aから9つの順序付けられた要素のペアを取得しました。ペアでは、最初の要素は最初の要素から、2番目の要素は2番目の要素からのものです。それでは、A×Aカルテシアンスクエアからすべてのサブセットを取得してみましょう。サブセットには、異なる数のペアが含まれます。1、2、3など、最大9ペアまで、このリストには空のセット∅も含まれます。サブセットはいくつありますか？多く、すなわち2 ⁹= 512要素。



定義。カルテシアンスクエアセットのサブセットは、バイナリリレーションと呼ばれます。2つの要素のカルテシアン二乗の場合、比率は2値であり、3の場合は内部、4の場合は4値、nの場合はn値です。Arityは、関係要素内の場所の数です。

定義。セットAのすべてのサブセットのセットはブールと呼ばれます。ブール値は2 ^{| A |で}構成されます 要素、ここ| A | セットのカーディナリティです。



関係はさまざまな方法で定義できます。

• 要素の列挙; R1 = {（a2、a2）、（a2、a3）、（a3、a1）}; R2 = {（a3、a3）}
• バイナリベクトル; <000011100>; <000000001>
• マトリックス;
• グラフやその他の方法。

次に、関係の空間の考察に目を向けます。関係の概念、関係の特性、およびそれらとの操作は、少なくともリンクでの公開の範囲で読者によく知られていると仮定します。

バイナリ関係スペース

関係が厳密（これらはすべて反反射関係）または非厳密（その他すべて）である可能性があることを事前に明確にしましょう。無関心と好みの関係に焦点を当てます。後者は、弱い好みと厳密な好み（何らかの理由で強くない）に細分されます。一般に、科学には用語のある秩序はなく、おそらく存在しないでしょう。たとえば、暗号化では、キーが存在する場合にクリプトグラムから暗号を削除することは復号化であり、キーがない場合は復号化です。デコーダーがデコードしているように見えますが、そうではありません。



キャリアセットとのバイナリリレーションのスペースは、で指定されたバイナリリレーションのセットの任意のサブセットです。優先関係のメインスペースを検討してください（図2.15）。



R-弱い好みのすべての関係の空間は、反射性と完全性の条件を満たす。

QT-準遷移性条件を満たす弱い優先度。

QOは線形準次数の空間、つまり、過渡的なQTからの関係です。

TOは、すべての完全な順序、つまり、非対称であるQOからの関係のスペースです。

SPは、厳密な優先順位のすべての関係の空間であり、反射防止と非対称性の特性を満たします。

RO-厳密な部分的順序、または一時的な厳密な優先順位の関係。厳密な部分順序の関係は遷移的であるため、それらを使用して縮小グラフ、つまり遷移アークが省略されたグラフで表すのが自然です。このような簡略化されたグラフは、ハッセ図と呼ばれます。

QSは準系列の空間です。つまり、関係I =¬（PUP ^-1）が同等である厳密な部分次数です。

TSOは、厳密な線形次数、つまり完全性プロパティが満たされる部分次数のスペースです。

このような関係は全部でn個あることに注意してください！..たとえば、n = 3の場合、完全な関係の数は6であり、それらはすべて図1に示されています。 2.13。

T-許容範囲（無関心）のすべての関係の空間、それらは対称性と反射性の特性を持っています。

TOTは、遷移指向の許容関係の空間です。つまり、Iの補数が、相互に逆の遷移関係の和集合として表されるような関係です。つまり、

¬I=R∩R ^-1です。

私はすべての等価関係、つまり対称、反射、遷移の関係の空間です。

E-等しい関係の空間。対角行列で表される1つの関係で構成されます。優先関係のマッピングによって決定される、スペースR、P、およびIの間には1対1の関係があります。









図2.15バイナリ関係



のスペースのスキーム明らかにされたスペース間の接続は、意思決定問題（DM）をあるスペースから別のスペースに転送するために使用され、簡単な方法で解決できます。その後、得られたソリューションは、DPが定式化された元のスペースに戻されます。

これらの関係を図に図式的に示します。2.14。二元関係の空間（関係の種類）を図1に示します。2.15。

等価関係

定義。反射性、対称性、遷移性の3つの特性を持つバイナリ関係σ⊆A×Aは、バイナリ等価関係（BOE）と呼ばれます。等価関係σ（x、y）、（x、y）∊σ、xσy、x≈yで表されます。関係のマトリックス（表形式）表現を使用すると便利です。以下の図2.24は、単なるマトリックス表現です。 4つの要素のセットの上に15のBOEがあり、それらはすべて描かれています。



等価関係の構造の表現と分析（n = 4）

バイナリ関係からの同等性は、おそらく最も一般的なBOです。科学がこの概念なしで管理することはめったにありませんが、同等性を使用して質問を述べたとしても、著者の意味を理解するのは難しい場合があります。このバイナリ関係に固有のプロパティの正しい定義と列挙があっても、知覚の難しさは残ります。



等価性の例から始めましょう。これは、それらの数の制限を示しています。



例1。 3つのキューブがあるとします。キューブに与えられているプロパティのリストを作成し、実際に使用すると（キューブのプロパティ）、いわば互換性があります。キューブに番号を割り当て、それらのプロパティを表1に示します。





プロパティごとに、BOEクラスと同等クラスが発生します。プロパティのリストを継続すると、新しい等価関係は取得されません。すでに構築されたものの繰り返しのみがありますが、他の兆候があります。 BOEとセットの関係を示しましょう。



3つの要素A = {1,2,3}のセットを検討し、すべての部分へのすべての可能なパーティションを取得します。 ①1| 2 | 3; ②12| 3; ③13| 2; ④1| 23; ⑤123。最後は1つの部分に分割されました。パーティション番号とBOを円で囲みます。



定義。セットAのパーティションは、からの空でないペアワイズディスジョイントサブセットのファミリーi、i = 1（1）Iであり、その和集合は元のセット全体を形成します=Ui、i∩j=∅、∀i≠j。サブセットiは、元のセットのパーティションの等価クラスと呼ばれます。



これらはすべてセットのパーティションです（5個）。 BO分析は、5つの異なる等価関係しかないことも示しています。この偶然は偶然ですか？各パーティションを9つのセル（3×3 = 9）のマトリックスに関連付けることができます。各セルには、セットAの要素の順序付けられたペアが含まれるか、対応するペアのオブジェクトがない場合はセルが空のままになります。マトリックスの行と列はセットAの要素でマークされ、行と列の交点は順序付けられたペア（i、j）に対応します。マトリックスセルに収まるペアではなく、単に1またはゼロですが、ゼロはまったく書き込まれないことがよくあります。



いいえ、偶然ではありません。セットの各パーティションはBOEと1対1で対応しており、セットのカーディナリティは任意の| A |であることがわかります。 = n。



この関係は、科学的流通での使用に関しておそらく最も頻繁ですが、この点で実現された特性の組み合わせは、その普及を大幅に制限します。

したがって、3つの要素のセット（合計で2 ⁹ = 512の関係があります）にわたるすべての抽象的なバイナリ関係の中で、5つだけが同等です-必要なプロパティのキャリア、1パーセント未満。



| A | = 4つの関係が存在します²¹⁶= 65536ですが、同等のものは15個しかありません。これは非常にまれなタイプの関係です。一方、等価関係は応用問題に広く行き渡っています。非常に異なるオブジェクトのセットおよびそのようなセット（数値ではない）のパーツへの異なるパーティションが存在し、それらと見なされる場合は常に、同等の関係が発生します。それらは、そのようなパーティションの数学（代数）モデルと呼ぶことができ、さまざまな基準に従ってオブジェクトのセットを分類します。



1要素のサブセットA = U {a}から形成されるセットAの最小パーティションと、セット{A}自体で構成されるパーティションAは、些細な（不適切な）パーティションと呼ばれます。



ラティス（4）：セットのすべてのパーティション= {a1、a2、a3、a4} = {1,2,3,4}





最小分割は、等式または単位関係と呼ばれる等価関係P15に対応します。各等価クラスには、単一の要素が含まれています。セットA自体のみを含むセットAのパーティションには、デカルト二乗A×Aのすべての要素を含む等価関係が対応します。





等価関係に最も近いタイプは許容関係です。許容関係のセットには、すべての等価関係が含まれています。キャリアAには、許容誤差8の3つの要素があります。それらはすべて、反射性と対称性の特性を備えています。



遷移特性が満たされると、8つの許容値のうち5つが同等に変換されます（図2.24および2.25）。



定義。セットAの要素の等価クラス[a]σのセットは、等価σによってセットAの商セット（A /σで示される）と呼ばれます。



定義。自然な（標準的な）マッピングf：A→A /σは、f（a）= [a]σとなるようなマッピングfです。

許容関係とその分析

これらのBOについてはすでに説明しましたが、ここではさらに詳しく検討します。誰もがオブジェクトの類似性、類似性、類似性、区別不能性、互換性の概念を知っています。内容は似ているようですが、同じではありません。オブジェクトの類似性のみが示されている場合、それらを明確なクラスに分類して、クラス内でオブジェクトが類似し、異なるクラスのオブジェクト間に類似性がないようにすることはできません。類似性の場合、明確な境界なしに漠然とした状況が発生します。一方、類似したオブジェクトにわずかな違いが蓄積すると、完全に異なるオブジェクトにつながる可能性があります。



前のパートでは、オブジェクトの類似性（同等性）の関係の意味のある意味について説明しました。同様に重要なのは、オブジェクトの類似性を確立する必要がある状況です。



幾何学的な物体の形状を調べてみましょう。オブジェクトの形状の類似性、たとえばキューブが特定の学習状況での完全な互換性を意味する場合、類似性は部分的な互換性です（キューブ間に非常に類似した並列パイプがある場合）、つまり一部との互換性の可能性（この状況では許容されます） 損失。



類似性の最大の尺度は、一見するとまったく同じではなく、区別がつかないことです。アイデンティティは質的に異なるプロパティです。アイデンティティは、区別がつかない類似性の特別な場合としてのみ見ることができます。



重要なのは、区別できないオブジェクト（および類似した類似のオブジェクト）をクラスに分割できないため、各クラスの要素が異ならないこと、および異なるクラスの要素が明らかに異なることです。



実際、平面上の点のセット（x、y）を検討します。値dの値が目の分解可能性のしきい値よりも小さいとします。つまり、dは、この距離にある2つのポイントが1つにマージされる距離です。視覚的に区別できません（観測者から飛行機の選択された距離で）。ここで、n個の点が1つの直線上にあり、距離dで（それぞれ隣接するものから）間隔を置いているとします。

隣接するポイントの各ペアは区別できませんが、nが十分に大きい場合、最初と最後のポイントは互いに遠く離れており、確実に区別できます。



類似性または区別がつかないことを研究するための従来のアプローチは、最初に類似性の程度を決定し、次に類似したオブジェクトの相対的な位置を調べることです。視覚装置のモデルを研究している英国の数学者Ziemanは、類似性の公理的定義を提案しました。したがって、特定の状況でどの程度正確に指定されているかに関係なく、類似性の特性を研究することが可能になりました。オブジェクト間の距離、いくつかの特徴の一致、または観察者の主観的な意見です。

類似性または区別不能性の概念の説明を紹介しましょう。



定義。セットMの関係Tは、反射的で対称的である場合、許容値または許容値の関係と呼ばれます。



この定義の正しさは、オブジェクトが明らかにそれ自体と区別がつかず、もちろんそれ自体のように見えるという事実から明らかです（これは関係の反射性を与えます）。 2つのオブジェクトが考慮される順序は、それらの類似性または非類似性（対称性）に関する最終的な結論には影響しません。

平面上の点が視覚的に区別できない例から、すべてのオブジェクトのペアで許容誤差の遷移性が満たされているわけではないことがわかります。



類似性は類似性の特殊なケースであるため、同等性は許容範囲の特殊なケースでなければならないことも明らかです。同等性と許容度の定義を比較すると、これが当てはまると確信しています。 「特定のものは一般的なものよりも豊かである」という哲学的原則が明確に確認されています。追加のプロパティ-遷移性により、許容関係の一部が同等になります。 2人の双子は非常に似ているため、リスクなしにお互いの試験を受けることができます。ただし、2人の学生が似ているだけの場合、そのようなトリックは実行可能ですが、危険です。



セットの各要素には、それに類似した要素に関する特定の情報が含まれています。しかし、同一の要素の場合のように、すべての情報ではありません。ここでは、ある要素が別の要素に関連して含むさまざまな程度の情報が可能です。



許容誤差がさまざまな方法で設定されている例を考えてみましょう。



例2。セットMは、4文字のロシア語で構成されています-名目上の場合の一般的な名詞。そのような単語の違いが1文字以下の場合、そのような単語を類似と呼びます。よく知られている問題「ハエを象に変える」は、正確に言うと次のように定式化されます。 「fly」という単語で始まり「elephant」という単語で終わる一連の単語を見つけます。これらの隣接する2つの単語は、上記の定義の意味で類似しています。この問題の解決策：



フライ-ムラ-トゥーラ-タラ-カラ-カレ-カフェ-カフル-マッシャー-スキフ-フック-クロク-時間-ストック-うめき声-象。



例3..。 pを自然数とします。セットM = {1、2、...、p}のすべての空でないサブセットのコレクションをSpで表します。セットSpの「少なくとも1つの共通要素を持つ」関係は、許容関係です。次に、そのような2つのサブセットは、少なくとも1つの共通要素がある場合、トレラントと呼ばれます。関係の反射性と対称性が満たされていることは容易に理解できます。



セットSpは、（p –1）次元シンプレックスと呼ばれます。この概念は、セグメント、三角形、および四面体の概念を多次元の場合に一般化します。番号1、2、3、...、pは、シンプレックスの頂点として解釈されます。 2要素サブセット-エッジとして、3要素-フラット（2次元）面として、他のk要素サブセット-（k –1）次元面として。 Spのすべての要素（サブセット）の数は^2p -1に等しくなります。



サブセット（面）の許容度は、それらが共通の頂点を持っていることを意味します。



定義。公差関係τが与えられた集合Mは、公差空間と呼ばれます。したがって、許容範囲はペア（M、τ）です。



例4。許容誤差Spの空間は、無限の場合に一般化できます。 Hを任意のセットとします。 SHがセットHのすべての空でないサブセットのコレクションである場合、SHの許容関係Tは、次の条件で与えられます。X∩Y≠∅の場合、X TY。この関係の対称性と反射性は明らかです。 SH空間は<H、T>と呼ばれ、「普遍的な」許容空間と呼ばれます。



例5..。 pを自然数とします。座標が0または1に等しいp次元空間のすべての点のセットをBpで表します。Bpの許容誤差は、xとyに少なくとも1つの一致する成分（座標）が含まれる場合はxτyという規則で指定されます。 Bpの要素の総数は^2rです。セットBpの各要素x =（a1、a2、...、ap）に対して、許容されない要素y =（1 − a1、1 − a2、...、1 − ap）は1つだけです。

明らかに、Bpはp次元キューブのすべての頂点で構成されています。



例6。許容範囲のスペースを検討してください。そのコンポーネントは実際の値を取ります。



特に、これはカルテシアン平面内のすべての点x =（a1、a2）のセットです。2点の許容範囲は、少なくとも1つの座標があることを意味します。これは、2つの許容点が共通の垂直または共通の水平上にあることを意味します。



pの他の値の場合、スペースはp次元スペース内のポイントのセットとして解釈できます。特に、各要素xは、自然数{1、2、3、...}のセットで定義された数値関数と見なすことができます。これにより、各自然数i：1≤i≤pに実数ai（有限数シーケンス）が割り当てられます。次に、2つの関数xとyの許容誤差は、それらが少なくとも1つのポイントで等しいことを意味します。

部分的な順序関係とその分析

順序付きセットは、順序関係が導入されたセットです。定義。セットAとその上のバイナリ順序関係R（≤）は、関係が（BOEのように）3つの条件（1つの条件が異なる）を保持する場合、部分的に順序付けられたと呼ばれます。

• 反射率∀x∊A（xRx）; （反反射性∀x∊A¬（xRx））;
• 非対称性∀、y∊（RyyRx→x = y）;
• 遷移性∀x、y、z∊A（xRy＆yRz→xRz）。

反射防止の姿勢で、厳密な部分秩序が生じます。セットAのすべてのサブセットのセットB（A）は、要素を含めることによって順序付けられており、部分的に順序付けられたセット（PN）です。部分的に順序付けられたセット（B（A）、⊆）は、ブールと呼ばれることがよくあります。



要素x∊A POZA Aは、x> yであり、x> z> yのようなz∊Aがない場合、要素y∊Aをカバーします。 x≥yまたはx≤yの場合、要素x、y∊Aのペアは比較可能と呼ばれます。



PLA Aでその要素のすべてのペアが比較可能である場合、Aは線形に順序付けられたセットまたはチェーンと呼ばれます。



一部のペストBが互いに比較できない要素のみで構成されている場合、セットBはアンチチェーンと呼ばれます。..。 PLAG Aのチェーンは、それ自体以外のチェーンにネストできない場合、飽和と呼ばれます。



飽和アンチチェーンも同様に定義されます。最大チェーン（アンチチェーン）は、最大数の要素を含むチェーン（アンチチェーン）です。



PLM Aの要素mは、にm以外の要素∊がなく、≤mである場合、最小と呼ばれます。ペストの元素M Aが呼び出された最大の要素がない場合は、M以外Mよりも「大きい」をxとなるようにxが≥M.



ペストAのアン要素yεAが呼び出され、最大∀XεA X≤yの場合。要素y∊APLAGAは最小と呼ばれます∀x∊Ax≥yの場合。最大要素と最小要素には、それぞれ指定1と0を使用するのが通例です。それらは普遍的な境界と呼ばれます。疫病Aには、最大で1つ、最大で1つの要素があります。

PLA Aでは、いくつかの最小要素といくつかの最大要素が許容されます。最終的なPLA Aを、有向グラフであるハッセ図で描くと便利です。その頂点は図のレベルに分散され、Aの要素に対応します。各円弧は下向きであり、次の場合にのみ描画されます。 x∊Aは要素y∊Aをカバーします。



トランジティブアークは描画されません。ハッセチャートレベルには、同じランクの要素が含まれています。 （アークの数に応じて）等しい長さのパスによってPCMの最小要素に接続されます。

BをPLAAの空でないサブセットとすると、要素x∊Aは、すべてのy∊Bに対してx≥yであり、すべてのy∊Bに対してz≥yの関係の真理に基づく場合、セットBの正確な上限（sup _A Bで示される）と呼ばれます。そのz≥x。セットB



の正確な下限（inf _A Bで示される）は、すべてのy∊Bに対してx≤yであり、すべてのy∊Bに対して条件z≤yがz≤xを意味する場合、要素x∊Aです。



例7。 2つの有限数値セット

A = {0,1,2、...、21}およびB = {6,7,10,11}が与えられます。



CHUM（A、≤）を図に示します。 2.26。



コレクションB^のΔ のためのすべての上限が呼び出され、上部コーン組B.ザコレクションため^∇Bのすべての下面のうち、Bの下面コーンと呼ばれます。







PLAのサブセットは、継承された順序に関してもPLPです。セットに最大および/または最小の要素が含まれている場合、それらは最大（それぞれ最小）です。逆は真実ではありません。ブール値には、単一の最小（Ø）要素と単一の最大要素があります。



与えられたセットでは、最小の要素はゼロ（0）であり、最小の要素のみと一致し、最大の要素は存在しません。最大要素は{19、20、21}です。 B = {6,7,10,11}の正確な上限は要素21です（これは上部コーンの最小要素です）。



概況。カーディナリティが*******であるセットを与えましょう。このセットで可能なすべてのバイナリ関係の中で、バイナリ優先関係と関連する厳密な部分順序関係を選び出します。



部分的な順序は、追加の要素（行列表現-対角線）（i、ai）= 1、i = 1（1）n、および関係の完全なセット内のそれらと他の順序の数を含むという点でのみ、厳密な部分的な順序とは異なります。同じ。これまで、任意のnの部分次数の数を計算および列挙できる依存関係（式、アルゴリズム）は見つかりませんでした。



さまざまな著者が直接計算によって以下の結果を決定し、公開しています（表2.12）。



著者の計算実験により、数だけでなく、関係の乗数-キャリアの異なる累乗での部分次数の形式（表現）も取得することが可能になりました。プリンターはそのような巨大なリストを印刷することに窒息しましたが、美しさは犠牲を必要とするだけでなく、科学もそれらを拒否しません。





表2.12に示すもの：n = | A | -セットキャリアのカーディナリティ。 2行目は、セットAのすべてのバイナリリレーションの数です。およびさらに



| In（n）| -非同形関係のクラスの数。

|（n）| -部分的な順序の関係の数。

| Gn（n）| -非同形の部分順序関係のクラスの数。

| Gl（n）| = n！ -線形順序関係の数。



ご覧のとおり、たとえばG（n = 4）などの小さいnの表には、219個のデータしかありません。その値は、nの増加とともに非常に急速に増加するため、コンピューターを使用した場合でも、定量的（および定性的）な直接分析が大幅に複雑になります。



次の表は、各線形部分次数との交点からすべての部分次数のΓ（n = 4）を生成する可能性を示しています。しかし、この状況では、冗長な（反復的な）ものが発生します。これは、小さいnの場合、手動で切り取る（再計算する）ことができます。300の行列になりますが、その中には219のPLしかなく、一般的な公式は得られていません。世界レベルでも状況は似ていますが、欧米の著者によるPLM転送に関する出版物は見たことがありません。私たちのアルゴリズムは完全に独創的で先駆的です。



部分次数（n = 4）の空間の要素を列挙する問題を解決するための可能なスキームを示します。





線形順序（n = 4）の字句順序付けにおける厳密な部分順序のセットは、それらの相互交差によって生成されます。







テキストによく見られる概念のための、数学のいくつかの重要な定義。



定義。閉じた間隔は、{x：a≤x≤b}の形式のセットです。オープン間隔は閉じておらず、ハーフオープン間隔、つまり{x：a <x≤b}の形式のセット（a <b）または{x：a≤x<b}の形式は開いていても閉じていません。



定義。実数の通常のトポロジにおける実線の任意の間隔の境界は、この間隔が開いているか、閉じているか、または半分開いているかに関係なく、この間隔の終わりのみで構成されます。合理的な数値のセットの境界、およびすべての非合理的な数値のセットの境界は、実数のセット全体です。



定義..。最小の要素が存在する空でないサブセット内のすべての線形に順序付けられたセットは、適切に順序付けられたと呼ばれます。



定義。ファミリーRは、その要素AおよびBのいずれかについて、A⊂BまたはB⊂Aのいずれかである場合にのみ、チェーン（タワー、ネストの場合もあります）と呼ばれます。この条件は、ファミリーRが包含によって、または受け入れられている用語で線形に順序付けられているという主張と同等です。 -家族Rと包含関係は連鎖である。



Prとncとpm a tosとmal n about stとHa u s d o r fa。セットAのファミリーとファミリーAの要素によって形成されるネストRの場合、Rを含むAに最大のネストMがあります。



セットとそのファミリーに関する重要な定理（J.L.ケリー「一般的なトポロジー」p.55）。

定理。 （a）ELEMENTに関するPRINTSIpMakSIMALN。セットのファミリーAの最大要素は、Aの各ネストについて、このネストの任意の要素を含む要素がAにある場合に存在します。



（b）PRINTSIpMINIMALNO要素。ファミリAの最小要素は、Aの各ネストについて、このネストの各要素に含まれる要素がAにある場合に存在します。



（c）Lemma Tyukおよび。有限文字のセットの各ファミリには、最大の要素があります。



（d）LEMMAKURATOVSKOGO。 （部分的に）順序付けられたセット内のすべてのチェーンは、いくつかの最大チェーンに含まれています。



（e）Tsonの補題。部分的に順序付けられたセットの各チェーンが上からバインドされている場合、このセットには最大の要素があります。



（f）Aからsおよびomと選択肢。XαをインデックスAのセットのすべての要素aの空でないセットとします。次に、Aには、Aの各aのc（a）∊Xαとなる関数cが存在します。



（g）Tsermを仮定します。エロ。ばらばらの空でないセットのファミリーAの場合、Aからの各AのAUCが正確に1つのポイントで構成されるようなセットCがあります。



（h）PRINTSおよびPの完全な納品順。各セットは完全に注文できます。