関係。パートI

モデリングの正式な理論では、代数的関係を使用します。これには、実際の物理的、技術的、および情報的なオブジェクト、それらの機能のプロセスを記述する代数的構造のモデルの署名に含まれます。後者の中には、例えば、データベース（リレーショナルデータベース（RDB））が含まれます。私は意思決定の分野がそれほど重要ではないと考えています。それは完全に関係の理論に基づいた、2つの主要な統計的および代数的で構成されています。この理論の専門家の教育レベルはゼロに近いです。



専門分野に関する教科書を開くと、せいぜい、著者によって非常に独特な方法で解釈されている同等性について見ることができます。すでに擁護されているDTNに質問します。関係のキャリアも特定の関係も示さない同等の関係を考慮しますか。それはあなたの記録でどのように見えますか。回答：それはどのように見えるか-通常。彼はこれらすべてについて非常に漠然とした考えを持っていることが判明しました。



外国の記事を除いて、ReDBのデザインに関する出版物に名前を付けるのは難しいと思います。 90年代に、彼は反対者であり、階層的、ネットワーク化された、リレーショナルデータベースを考慮した論文のレビューを書きました。しかし、年に一度、1年半前に再び作業がレビューに来ました。著者はすでにDBについて、DB関係の正規化についてのみ書いていますが、理論的な新規性は示していません。多くの大学は、データベースに関するコースを教えていますが、データベースの作成方法やDBMSの作成方法ではなく、原則として、既製の（外国の）データベースの操作方法について教えています。



牧師スタッフは、LSI、VLSI、カスタムLSIはもちろん、国内のDBMS、OS、プログラミング言語を作成するようにITスペシャリストに教える準備ができていません。ここでは、どうやら、列車は長い間、そして長い間出発しました。だから無駄にいくつかの頬はプライドで膨らんでいます（スノバリーを読んでください）、これは他の人の出版物へのコメントから見ることができ、あなたができることを自分自身に示し、プライドのために他の誰かの無駄な翻訳や再歌にふけることはありません-「評価」と「カルマ」創造性の欠如だけでなく、単純な教育と育成にも影響を及ぼします。



関係と密接に関連している2番目のドメインは意思決定です。私たち一人一人は常にこれで忙しいです。意識的か無意識かを判断せずに指を離すことはありません。解決策について理解している人はほとんどいません。意思決定者（意思決定者）の決定は、代替案の好みに基づいています。そして、選好モデルはまさにこのタイプの関係であり、「選好関係の空間」と呼ばれます。しかし、誰がそれらを研究します。それぞれのタイプの関係の数についての質問で「スペシャリスト」に来たとき、彼は答えを知らず、反対の質問で「殺された」のですが、なぜそれが必要なのですか？

関係の概念

態度という用語はすべての読者によく知られていると思いますが、定義を求めることは最も混乱します。これには多くの理由があります。彼らはほとんどの場合、教育プロセスで関係を使用した場合、この用語に焦点を当てなかった教師であり、明らかに記憶に残る例を引用していませんでした。



私の記憶には、一生に一度の思い出に残る例がいくつかあります。マッピングと関係について。最初にマッピングについて説明します。ペイントのバケツが2つあります。一方は白、もう一方は黒。そして、立方体の箱があります（たくさん）。顔にはエンボス加工された数字があります。キューブの面を2色で着色する方法はいくつありますか？答えは予想外です-6ビットのバイナリ数、または2 ⁶= 64. f：2→6 2個のオブジェクトが6に表示されます。表の各行は、fiの個別の表示です。



6列のテーブルを作成してみましょう。色は白（0、黒）の数と一致し、立方体の面は列になります。 6つの面すべてが白いという事実から始めます-これは6次元のゼロベクトルです。 2行目は、ファセットが1つ黒です。つまり、最下位ビットは1で埋められ、6ビットの2進数がなくなるまで続きます。キューブを共通の長い列に配置します。それぞれに0から63までの数字があるようです。



これで表示が反転します。紙のパック（多く）と6つの塗料（フェルトチップペン）。

紙の両面に異なる色のフェルトチップペンで印を付けます。何枚必要です。回答f：6→2または6 ² = 36。これらは任意のマッピングです。



関係に移りましょう。抽象セットから始めましょう-関係

= {a1、a2、a3、...、an}のキャリア。

あなたはそれについてここで読むことができます。理解を深めるために、セットを3つの要素に減らします。 A = {a1、a2、a3}。今、我々は、デカルト乗算×=行う²、

×= {（A1、A1）、（A1、A2）、（A1、A3）、（A2、A1）、（A2、A2）、（A2、A3 ）、（a3、a1）、（a3、a2）、（a3、a3）}。



A×Aから9つの順序付けられた要素のペアを取得しました。ペアでは、最初の要素は最初の要素から、2番目の要素は2番目の要素からのものです。それでは、A×Aカルテシアンスクエアからすべてのサブセットを取得してみましょう。まず、簡単な例です。



例1..。 4つの要素のセットA = {a、b、c、d}が与えられます。そのすべてのサブセットを書き出します。 B（A）= {Ø}; {a}; {b}; {c}; {d}; {ab}; {ac}; {ad}; {bc}; {bd}; {cd}; { abc}; {abd}; {acd}; {bcd}; {abcd}; 2 ⁴ = 16サブセット。これはセットAのブールB（A）であり、空のサブセットが含まれています。



サブセットには、A×Aから異なる数の要素（ペア）が含まれます。1、2、3など、9ペアすべてまで、このリストには空のセット（Ø）も含まれます。サブセットはいくつありますか？多く、つまり2 ⁹ = 512要素。



定義。セットのカルテシアン積のサブセット（正方形があります）は、リレーションと呼ばれます。作品は同じセットを使用していることに注意してください。セットが異なる場合、関係はありませんが、対応があります..。



それが2つの要因のカルテシアン積である場合、関係はバイナリであり、3の場合は内部であり、4の場合はテトラであり、nの場合はn-aryです。 Arityは、関係にある場所の数です。関係には大文字のR、H、P、Sの名前が付けられています...関係の理論で非常に重要な役割を果たすため、バイナリ関係（BO）について詳しく見ていきましょう。実際、他のすべてはバイナリ関係に還元できます。



関係記号は、要素R（x、y）の左側、または要素間のx Ryに配置されます。 x、yєA。

定義セットAのすべてのサブセットのセットは、ブールと呼ばれます。私たちのブールは2 ^{| A×A |で}構成されています要素、ここ| A×A |セットのカーディナリティです。



関係は、A = {a1、a2、a3、a4}でさまざまな表現で設定できます。

• 要素の列挙; R1 = {（a1、a2）、（a1、a3）、（a2、a3）（a2、a4）（a3、a2）（a3、a4}
• バイナリn = 16ビットベクトル。<0110001101010000>;
• マトリックス;

図1.2。a）バイナリ関係の4×4マトリックスb）マトリックスのセルの番号付け



ここでは、セル番号が使用され、図のセル番号で埋められています。1b）

-ベクトル表現。バイナリ関係を表すためのバイナリベクトルは、次のように要素{0,1}から形成されます。



ベクトル形式で関係を設定するために検討した例は、次のようになります。





-グラフ表現。セット

A = {x1、x2、z3、...、xn}の要素を平面上の点、つまり、グラフの頂点G = [Q、R]。



ペア（xi、xj）єR（i = jの場合、円弧（xi、xi）が頂点（xi）でループに変わる場合にのみ、グラフに（xi）から（xj）まで円弧を描きます。例（図。 1a）二元関係A [4×4]のグラフによる表現を図2.2に示します。



図2.2。有向グラフによる関係の表現



バイナリ関係のカタログ（n = 3）



遠くに大きなものが見られます。関係とその多様性を理解するために、すべて（500を超える関係）の関係を含む3つの要素のセットに対してバイナリ関係のカタログを手動で作成する必要がありました。その後、関係が起こったり、起こったりしました。



明らかに、カタログが2含まれます^3×3 = 2 ⁹関係、およびそれらのそれぞれは、固有のプロパティのセットを備えています。以下（表3）は、セットA、| A |の512の関係すべての完全なリストです。 = 3、3つの要素のうち。キャリアセット（n = 3）のカーディナリティのさまざまな値に対するさまざまなサブクラスのカルテシアンスクエア3×3のセル数の組み合わせで表される比率の数（表2）を計算した結果も示されています。関係ごとに、その基本的なプロパティとタイプに属するものが示されています（表3）。カタログで使用されている略語を表2

表2に示します。さまざまなnのカタログの定量的特性





リレーションを使用した操作の本質とその手法を、バイナリリレーションで特に単純で理解しやすい例を使用して説明すると便利です。操作には、2つ以上の関係が含まれる場合があります。個々の関係に対して実行される操作は、単一の操作です。たとえば、関係を反転（逆に取得）し、補数を取り、関係を狭める（制限する）操作。例では、カタログの使用方法を説明します。



例2。カタログテーブルの行Npr = 14について考えてみます。それは形をしています



行の最初の9文字（等式の右側）は、9から2の組み合わせに対応するバイナリベクトルです。つまり、最初のセルの数（左から右に数える）は、バイナリ関係の行列の5番目のセルの番号です。要素a1a1 = a2a2 = 1。この組み合わせは、すべての関係のリストで、序数Ncc = 4およびスルー数Npr = 14を持ちます。この行の残りの部分には、0または1が含まれています。ゼロは、ゼロ列の名前に対応するプロパティが存在しないことを示し、1は、考慮される関係にそのようなプロパティが存在することを示します。

関係の特性と定量的特性

リレーションの最も重要なプロパティについて考えてみましょう。これにより、選択理論や意思決定、その他のアプリケーションでリレーショナルデータベースで使用されるリレーションのタイプ（クラス）をさらに強調することができます。以下では、関係を記号[R、Ω]で示します。Rはリレーションの名前、Ωはリレーションのキャリアセットです。



1.反射性。セットの各要素がそれ自体と関係Rにある場合、関係[R、Ω]は反射的と呼ばれます（図2.3）。反射BOのグラフには、すべての頂点にループ（円弧）があり、関係行列には（E）単位の主対角線が含まれています。





図2.3。反射姿勢



2.反射防止。セットの要素がそれ自体との関係Rにない場合、関係[R、Ω]は反反射と呼ばれます（図2.4）。反射防止関係は厳密と呼ばれます。





図2.4。



反射防止姿勢3.部分反射。

セットの1つ以上の要素がそれ自体との関係Rにない場合、関係[R、Ω]は部分反射と呼ばれます（図2.5）。





4.対称性。関係[R、Ω]は、順序付きペア（x、y）とともに、関係に順序付きペア（y、x）も含まれている場合、対称と呼ばれます（図2.6）。





5.非対称性。関係[R、Ω]は、順序付けられたペア（x、y

）єRに対して、順序付けられたペア（y、x）єRの場合、x = yの場合にのみ、非対称と呼ばれます。このような比率の場合、R∩R ^- 1⊆E （図2.7）。





6.非対称性。関係[R、Ω]は、反反射的であり、任意の順序付きペア（x、y）єRの順序付きペア（y、x）∉Rの場合、関係R∩R ^-1 =Øの場合、非対称と呼ばれます（図2.8）。





7.遷移性。関係[R、Ω]は、順序付けられたペア（x、y）、（y、z）єRに対して、関係Rに順序付けられたペア（x、z）єRがある場合、またはR×R⊆Rの場合、遷移と呼ばれます（図。 。2.9）。





8.周期性。関係[R、Ω]は、その要素{x1、x2、z3、...、xn}に要素のサブセット{xi、xi + 1、... xr、...、xj、xi}がある場合、循環と呼ばれます。シーケンスxiRxi + 1R ... RxjRxiを書き出すことができます。このようなシーケンスは、サイクルまたはループと呼ばれます（図2.10）。





9.非周期性。輪郭がない関係は非周期的と呼ばれます。非環式の関係のために、関係Rの^k個の∩R= Oが任意のk> 1（図2.11）が満たされます。







10.完全性（接続性）。関係[R、Ω]は、任意の2つの要素（y、z）єΩに対して一方が他方に関連している場合、完全（接続）と呼ばれます（図2.12）。直線性。線形関係は、最小限の完全な関係です。





図2.12。線形関係



したがって、関係は数学オブジェクトとして特定のプロパティを持っていることを確立しました。その定義は前に示しました。次の段落では、いくつかのプロパティの本質と表現について検討します。

1. 反射率xєA（xRx）。
2. 反反射性xєA¬（xRx）。
3. 対称性x、yєA（xRy→yRx）。
4. 非対称性（xRy＆yRx→x = y）。
5. 過渡性; x、y、zєA（xRy＆yRz→xRz）。
6. 周期性; x、yєA; ..。
7. 完全性x、yє（xRy、yRx）;
8. 接続性（x≠y→xRy、yRx）。
9. 直線性x、yє（xRy、yRx）。

関係の空間の分析は理論の複雑なタスクであり、注意する必要がありますが、完全にはほど遠いです。主な結果には、その後のすべての結果を伴う完全な関係空間を形成する関係のサブセットの選択が含まれる必要があります。



このような離散空間の定量的関係は、

理論的にも実際的にも非常に重要です。さまざまなタイプの関係のプロパティに関連する定量的特性のいくつかの側面を以下で検討します。

関係の操作

リレーションを持つほとんどの数値システムと同様に、次の操作が実行されます。

• 単項;
• バイナリ;
• n-ary。

以下は、ブール⊕加算と乗算、および2つの変数x1とx2、mod2加算とバイナリ加算の表です。





上記では、セットのカルテシアン積の順序付けられたペアのサブセットとして、バイナリ関係の概念が導入され、関係のプロパティも考慮されました。さらに、バイナリ関係と関係のマトリックス表現が言及されました。ここで、リレーションの概念をより詳細に検討し、さらに、リレーションのセットの中で最も重要なバイナリリレーションの基本的な操作について検討します。



それらの場合、次の条件を満たす必要があります。

• 操作のオペランドのarityは一致する必要があります。
• 操作の結果は、同じarityの関係である必要があります。

バイナリおよびn-ary関係の場合、次の条件を満たす必要があります：第1オペランドの到着領域は、第2オペランドの起点領域と一致する必要があります。



関係の単一操作関係の



反転。関係Rの逆は、条件xR ^-1 y <=> yRxによって定義される比率R ^-1です。より正確には、p・p ^-1 ≠E =Δであるため、この操作は疑似反転と呼ばれる必要があります。 関係は、それに含まれる順序付けられたペアをリストする形式で記述されます。各ペアでコンポーネントが交換されると、新しいペアは比率P ^-1を形成します。これは、Pの逆数と呼ばれます。







関係Pの逆の関係は、（aj ai）єP ^-1であるペア（ai aj）によって形成される関係です。マトリクス状に関係するため、逆の関係は行列Pの転置して得られる



9デュアル関係（Pの^dは：関係Pには）、ユニバーサル関係に属し、逆の関係（逆に加えて）に属していないすべてのこれらの対によって形成された関係である



Pの^次元= {（ai aj）| （（AI、AJ）єA×A）＆（AI、AJ）∉ P ^-1）} =（A×A）\ P ^-1。



集合体の二重関係と逆関係には、カルテシアン積A×Aのすべてのペアが含まれ、関係PとPのように、共通のペアはありません。 パーティションを形成するA×A





どの関係でも、Pは満たされないことに注意してください。PP= ^d。



ナローイング（PA1）。関係[R1、A1]は、Ω1⊆ΩおよびR1 =R∩Ω1×Ω1の場合、関係[R、A]のセットΩ1への制限と呼ばれます。セットA1⊆Aの比率PA1は、関係Pに属し、同時にカルテシアン積A1×A1の一部であるすべてのペアによって形成されるセットA1の比率PA1です。言い換えると、PA1は関係PとA1×A1の交点です。 A1 = {a1、a3、a4}とすると、行列形式の関係PとQの場合、狭小化関係は次の形式になります。





バイナリ操作



少なくとも2つの関係を必要とする操作はn-ary（n-ary）です。同じ同盟関係の関係者のみがそのような作戦に参加することができます。そのような操作の例：交差、結合、差異、関係の対称的な差異、およびその他。操作で3つ以上のリレーションを使用する場合は、最初の2つに対して順番に実行され、次に最後のリレーションと3番目のリレーションに対して順番に実行されます。



つまり、これらの操作は2つの関係に対して定義されます。リレーションの操作では、リレーションを指定するためのドメイン（オペランドと結果）が一致し、リレーションのアリティが一致し、操作の結果が同じアリティのリレーションであると想定されます。例として、離散セットで定義されたバイナリ関係PおよびQの操作を検討します。

= {a1、a2、a3、a4}ブール行列による（原則として、ゼロは行列に適合しません）：





1.交差点（P∩Q）は、両方の関係に含まれるAの要素のすべてのペアによって形成される関係です。PとQに共通、

P∩Q= {（ai aj）| （（ai aj）єP）＆（（ai aj）єQ）}。



比率行列P∩Qは、行列PとQのブール交差として取得されます。





そのような共通のペアがない場合、関係の交差は空であると言われます。それはヌル関係です。関係R1とR2の交点（R1∩R2）は、A×Aからの対応するサブセットの交点によって決定される関係です。



2.ユニオン（PUQ）。関係R1とR2の和集合（R1UR2）は、A×Aからの対応するサブセットの和集合によって定義される関係です。比率Pまたは比率Qのいずれかを構成するすべてのペアによって形成される比率。少なくとも1つの関係（接続

∨-または統合関係）に属するペアによってPUQ = {（ai aj）| （（ai aj）єP）∨（（ai aj）єQ）}。



セットA×Aに、リレーションPUQに含まれていない他のペアがなく、それらの交点がゼロの場合、リレーションPとQは、結合すると完全なリレーションA×Aを形成すると言われ、それらのシステムはこの完全なリレーションのパーティションです。関係行列の和集合は、関係行列のブール和として形成されます。





3.差（P \ Q）は、関係Q

P \ Q = {（ai aj）|に含まれないPからのペアによって形成される比率です。（（ai aj）єP）＆（（ai aj）∉Q）}。



マトリックス表現の関係の違いは次のとおりです。





4.関係を増やす。関係を形成する順序付けられたペアには、同じ要素が含まれる場合と含まれない場合があります。構成に同一の要素があるペアの中から、隣接（隣接）と呼ばれ、2番目のペアに1番目の要素があり、最初のペアの2番目の要素が同じであるような順序付けられたペアを選び出します。隣接するペアの積を順序付けられたペアとして定義しましょう：

（ai ak）∙（ak aj）=>（ai aj）。



グラフ理論の観点から、これは、隣接するペアが、2つの隣接する円弧で構成されるポイント（ak）を通過する際に、ポイント（ai）からポイント（aj）へのルートを形成することを意味します。これらのアークの積は、ポイント（ai）からポイント（aj）への3番目のアークであり、中間ポイント（ak）をバイパスして、同じ方向のルートの極値ポイント間の遷移を実装します。アーク（ai aj）は、これらのポイントを直接閉じると言われています。



5.対称差（PΔQ）-ユニオンPUQに含まれているが、交差点P∩Qには含まれていないペアによって形成される比率。別の定義形式は、操作の名前を説明します。PΔQは、差P \ QとQ \ Pの和集合である順序付けられたペアによって形成されます。したがって、対称差の式は、次の2つの異なる方法で記述できます

。PΔQ=（PU Q）\（P∩Q）=（P \ Q）U（Q \ P）。



対称差分行列は次のとおりです。





最後のレコードから、対称差分の操作により、オペランドの並べ替えが可能になります。つまり、可換です。



5.構成または製品（P∙Q）-次のすべてのペアによって形成される関係：

P∙Q = {（ai aj）|（（ai ak）єP）＆（（ak aj）єQ）}。



言い換えると、結果の関係の各順序付きペアは、隣接するペアの乗算の結果であり、その1番目のペアは最初の因子関係に属し、2番目のペアは2番目の因子関係に属します。合成操作は可換ではありません。



セットMの構成（◦Q）は、（x、z）єPおよび（z、y）のようなZєMが存在する場合に、ペア（x、y）を含む同じセットMで定義された関係Rです。 єQ。



関係の行列表現では、関係の構成行列は、元の関係の行列のブール積に等しくなります。





関係の構成の特殊なケースは、関係の2乗です。



関連のn番目の程度は、次式により再帰的に定義されている誘導を用いて示すことができる：P ^N = P ^N-1 ◦、この手段は、ペア（x、y）はPєこと^N場合におけるマトリックスチェーンを含む場合要素：（xi、xi + 1）єP、1 <i <n –1など。



合成操作には、（行列の積のように）連想性の特性があります。



セットMの関係の構成は、括弧の任意の配置に対する関係のペアワイズ構成の結果です。合成結果を設定する領域は変わりません。



関係のブール行列の構成は、これらの関係の行列のブール積の結果として形成されます。



表3.バイナリ関係のカタログ（n = 3）。クリック可能