シンプレクティックジオメトリは比較的新しい研究分野であり、現代の数学の多くに影響を与えています。そしてそれがそれです。
19世紀初頭、ウィリアムローワンハミルトンは、ほとんど魔法のような特性を持つ新しい幾何学的空間を発見しました。モーションと数学を1つの美しい幾何学的オブジェクトにエンコードしました。
この現象から、シンプレクティックジオメトリと呼ばれる知識の分野が成長しました。過去数十年で、それは、ハミルトンが想像もできなかった数学と物理学のより多くのトピックとの深いつながりを持つ、いくつかのアイデアのコレクションからダイナミックな研究分野へと成長しました。
シンプレクティックジオメトリは、実際には、シンプレクティック構造の幾何学的空間の研究です。ただし、特定の構造は言うまでもなく、空間が構造を持っていることの意味を明確にする必要があります。
幾何学的な空間は、防水シートのように柔軟にすることも、テントのように硬くすることもできます。 「ターポリンは順応性がありますが、棒の束を取り、そのためのフレームを配置すると、より安定した構造が得られます」とノースウエスタン大学のエイミーマーフィーは述べています。
構造化されていないスペースは、（タープのように）接続されたドットの集まりです。直線は、この種の一次元空間の一例です。ボールの表面は2次元の例です。これらの空間には構造がないため、基本的なレベルで変更せずに簡単に変形できます。直線を曲げます。ボールを膨らませ、しわくちゃにし、ねじります-トポロジーの観点から、構造化されていないスペースを研究しても、それらは変化しません。
ケンブリッジ大学のIsaKeating氏は 、「トポロジー学者の観点からは、ボールの表面から始めて、ボールを好きなように伸ばすことができ、壊すまでそのスペースは変わりません」と述べています。 「彼らは図の一般的な特徴に興味を持っています。」
当然、数学者が空間の変形について話すとき、それらはそれを手動で変更することを意味しません。関数を使用してスペースを変更します。関数にはポイントの座標が含まれ、新しいポイントの座標が出力されます。このような変換は、空間内の任意のポイントを新しいポイントに変換します。これは、タープを振るのと数学的に同等です。
スペースに構造を追加できます。この構造は、その変形の可能性を制限しながら、空間に含まれる情報を強化します。
非構造化空間：ボールの表面は2次元空間です。構造がないため、トポロジー特性を変更せずに変形する機会が十分にあります。
構造の追加：空間にメトリック構造を追加することで（たとえば、地球上の緯度と経度の線のように）、ポイント間の距離を測定できます。ただし、これらの距離に違反しないオブジェクト変形のオプションはごくわずかです。
たとえば、地球上の緯度と経度の線のように、球の表面にメトリック構造を追加できます。このような構造により、ポイント間の距離を測定できます。しかし、その適用後、元の構造を壊さずにボールを膨らませたり押しつぶしたりすることはできなくなります-結局のところ、ポイント間の距離を変更します。バルーンを膨らませると、たとえばニューヨークとロンドンの間の距離が長くなります。
別の種類の構造、つまりシンプレクティックを追加できます。これにより、空間内の領域を測定できるようになり、これらの領域が変化しないように空間の形状を変更できるようになります。
そのような空間の最初の例は、物理システムを研究しているときにハミルトンによって発見されました-たとえば、惑星の動き。惑星が宇宙を移動するとき、その位置は、x、y、z軸に沿った位置を決定する3つの座標によって決定されます。考えられるすべての惑星の位置を表す点は、3次元空間を形成します。
ハミルトンは、この3次元空間の各ポイントに、3つの軸に沿った惑星の運動量の大きさを示す、3つの追加の座標を割り当てることができることを発見しました。レッツ・コールは、それらは、X M、Y Mおよびzメートルを。現在、6つの座標があります。3つは位置用、3つは運動量用です。これらの6つの座標は、新しい6次元空間内のポイントを定義します。
6つの座標があります。3つは位置用、3つは運動量用です。これらの6つの座標は、新しい6次元空間内のポイントを定義します。
この6次元空間は、面積を測定する機能を備えているため、シンプレクティック構造の空間の一例です。そして、これがその仕組みです。
空間の各ポイントで、ベクトルが指す次元に沿った惑星の運動または運動の方向に対応する6つのベクトル（方向矢印）を描くことができます。 2つのベクトルが平行四辺形（ゼロ以外の面積を持つ2次元空間）を形成するため、2つのベクトルを取り、その面積を測定できます。
値がゼロ以外であることを確認するには、特定のベクトルのペアを取得する必要があります。これは、同じ軸に沿った運動の方向と運動量を示します。不一致のベクトル、たとえば、z軸の方向ベクトルとy軸の運動量ベクトルは、面積がゼロの平行四辺形を示します。
このようなベクトルのペアは、シンプレクティック空間のもう1つの重要な特性である複素数との関係も反映しています。これらの数値は、-1の平方根であるiを持ち、a + biの形式です。ここで、aは実数、bは虚数です。 6次元のシンプレクティック空間を定義する1つの方法は、3つの複素数を定義することです。それぞれの2つの部分が1つの座標を与えます。これらの2つの部分は、面積を測定するために組み合わせる2つのベクトルにも対応しています。
したがって、たとえば、各ポイントについて、x軸に沿ってプロットされた運動方向と運動量のベクトルは、面積を測定する方法を提供するだけでなく、空間を定義する3つの複素数値の1つを構成します。 「シンプレクティック」はギリシャ語のsumplektikósに由来するため、この関係は名前に反映されています。これは、ラテン語の複合体と同じ意味で、「絡み合っている」という意味です。この名前は、シンプレクティック構造と複雑な数の絡み合いを反映しています。
シンプレクティックスペースが数学者の想像力を捉える主な理由の1つでもあります。 「数学者はすでに複雑な数と惑星の動きに興味を持っていました」とマーフィーは言いました。 「それで、数学者に幾何学の存在について話すならば、それはこれら二つのものが同じ基本構造の異なる現れである理由を示します、彼は確かにこの問題に興味があるでしょう。」
シンプレクティックジオメトリは、シンプレクティック構造を保持し、領域のサイズを変更しない空間の変換を研究します。この制限は、許可された変換にあまり余裕を与えません。その結果、シンプレクティックジオメトリは、柔軟なターポリントポロジとリジッドテントジオメトリの中間の位置を占めます。シンプレクティック構造を保持する変換は、発見者にちなんで、ハミルトニアンディフェオモルフィズムと呼ばれます。
しかし、ハミルトンはシンプレクティック空間の最初の例しか発見しておらず、これにこだわる理由はありませんでした。すぐに、数学者は、物理的な世界とは関係のない幾何学的な空間でシンプレクティックな現象がどのように見えるかについて考え始めました。
「数学者は常に一般化に努めています。私たちが3次元ではなく、8次元の空間に住んでいたとしたら、古典的な力学はどのように見えるでしょうか？」マーフィーは言った。
ウラジミール・イゴレビッチ・アーノルドは、シンプレクティック・ジオメトリーの分野でいくつかの基本的な仮説を提唱しまし
た。1960年代、ウラジミール・イゴレビッチ・アーノルドはシンプレクティック空間の特定の特性を説明するいくつかの影響力のある仮説を提唱し、通常のトポロジカル空間よりも剛性を高めます。それらの1つ、シンプレクトモルフィズムの固定点に関するアーノルドの推測は、ハミルトニアンのディフェオモルフィズムには、変換中に位置を変更しない予想外に多数の「固定」点があると予測しています。それらを研究することで、シンプレクティック空間を他のタイプの幾何学的空間と区別するものは確かに言えます。
1980年代後半、ドイツの数学者Andreas Floer数学者がシンプレクティック現象を研究するために今日使用する強力なプラットフォームであるFloerホモロジーを開発しました。彼女はいわゆるを使用します。数学者が固定点の数を間接的に数え、シンプレクティック空間が持つべき特定の最小数を決定することを可能にする疑似ホロモルフィック曲線。
「床の相同性は、固定点を落とすだけではいけないことを示している」とキーティング氏は語った。 「それはあなたがこれらのポイントがそこになければならないことを証明することを可能にします。」
シンプレクティックジオメトリの理論が発展するにつれて、ストリング理論から低次元トポロジ、ミラー対称性と呼ばれる紛らわしい数学的二重性の研究まで、数学と物理学のトピックの増え続けるスペクトルへの接続が見つかりました。シンプレクティックジオメトリの適用の最近の例の1つは、正方形のペグのトポロジー問題の解決です。
しかし、多くの数学者にとって、シンプレクティックジオメトリの魅力は、物理学やその他の数学分野との交差点とはほとんど関係がありません。彼らは彼女の存在そのものを奇跡と考えています。「他のものとのつながりに関係なく、構造自体に美しさを見出し始めます」とマーフィーは言いました。