🦆 〽️ 🖕🏼 統計関数の単純で高速な近似 📋 🏰 🤙🏼

仕事。計算機はありますが、手元に統計表はありません。たとえば、信頼区間を計算するには、学生の分布の重要なポイントのテーブルが必要です。Excelを搭載したコンピューターを入手しますか？アスレチックではありません。

高い精度は必要ありません。近似式を使用できます。以下の式の考え方は、引数を変換することにより、すべての分布を何らかの形で通常に減らすことができるということです。近似は、累積分布関数の計算とその逆関数の計算の両方を提供する必要があります。

正規分布から始めましょう。

Φ (z) = P = \frac{1}{2} [1 + e r f (\frac{z}{\sqrt{2}})]

$\Phi(z)=P=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$

z = Φ^{- 1} (P) = \sqrt{2} \cdot {e r f}^{- 1} (2 P - 1)

$z=\Phi^{-1}(P)=\sqrt{2}\cdot\mathrm{erf}^{-1}(2P-1)$

関数を計算する必要があります $\mathrm{erf}(x)$ そしてその逆です。私は近似を使用しました[1]：

e r f (x) = s i g n (x) \cdot \sqrt{1 - \exp (- x^{2} \cdot \frac{\frac{4}{π} + a x^{2}}{1 + a x^{2}})}

$\mathrm{erf}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{1-\exp\left(-x^{2}\cdot\frac{\frac{4}{\pi}+ax^{2}}{1+ax^{2}}\right)}$

{e r f}^{- 1} (x) = s i g n (x) \cdot \sqrt{- t_{2} + \sqrt{t_{2}^{2} - \frac{1}{a} \cdot \ln t_{1}}}

$\mathrm{erf}^{-1}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{-t_2 + \sqrt{t_2^{2}-\frac{1}{a}\cdot \ln t_1}}$

どこ $t_1$ そして $t_2$ -補助変数：

t_{1} = 1 - x^{2}, t_{2} = \frac{2}{π a} + \frac{\ln t_{1}}{2}

$t_1=1-x^{2},\:t_2=\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln t_1}{2}$

と定数 $a=0.147$ ..。以下はオクターブ言語のコードです。

function y = erfa(x)
  a  = 0.147;
  x2 = x**2; t = x2*(4/pi + a*x2)/(1 + a*x2);
  y  = sign(x)*sqrt(1 - exp(-t));
endfunction

function y = erfinva(x)
  a  = 0.147; 
  t1 = 1 - x**2; t2 = 2/pi/a + log(t1)/2;
  y  = sign(x)*sqrt(-t2 + sqrt(t2**2 - log(t1)/a));
endfunction

function y = normcdfa(x)
  y = 1/2*(1 + erfa(x/sqrt(2)));
endfunction

function y = norminva(x)
  y = sqrt(2)*erfinva(2*x - 1);
endfunction

正規分布関数ができたので、引数を与えて、学生のt分布を計算します[2]。

F_{t} (x, n) = Φ (\sqrt{\frac{1}{t_{1}} \cdot \ln (1 + \frac{x^{2}}{n})})

$F_t(x,n)=\Phi\left(\sqrt{\frac{1}{t_1}\cdot\ln(1+\frac{x^{2}}{n})}\right)$

t = F_{t}^{- 1} (P, n) = \sqrt{n \cdot \exp (Φ^{- 1} (P)^{2} \cdot t_{1}) - n}

$t=F_t^{-1}(P,n)=\sqrt{n\cdot\exp\left(\Phi^{-1}(P)^{2}\cdot t_1\right)-n}$

ここで補助変数 $t_1$ 有る

t_{1} = \frac{n - 1.5}{(n - 1)^{2}}

$t_1=\frac{n-1.5}{(n-1)^{2}}$

function y = tcdfa(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
 y = normcdfa(sqrt(1/t1*log(1 + x**2/n)));
endfunction

function y = tinva(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
  y  = sqrt(n*exp(t1*norminva(x)**2) - n);
endfunction

分布を大まかに計算するという考え $\chi^{2}$ 式[3]で明確に表されます。

σ^{2} = \frac{2}{9 n}, μ = 1 - σ^{2}

$\sigma^{2}=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^{2}$

F_{χ^{2}} (x, n) = Φ (\frac{{(\frac{x}{n})}^{1 / 3} - μ}{σ})

$F_{\chi^{2}}(x,n)=\Phi\left(\frac{\left(\frac{x}{n}\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$

χ^{2} = F_{χ^{2}}^{- 1} (P, n) = n \cdot {(Φ^{- 1} (P) \cdot σ + μ)}^{3}

$\chi^2=F_{\chi^2}^{-1}(P,n)=n\cdot\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma + \mu\right)^3$

function y = chi2cdfa(x,n)
  s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y  = normcdfa(((x/n)**(1/3) - mu)/sqrt(s2));
endfunction

function y = chi2inva(x,n)
 s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y = n*(norminva(x)*sqrt(s2) + mu)**3;
endfunction

フィッシャー分布（ $n/k\geq3$ そして $n\geq3$ ) . $\chi^2$ [4], , .

σ^{2} = \frac{2}{9 n}, μ = 1 - σ^{2}

$\sigma^2=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^2$

λ = \frac{2 n + k \cdot x / 3 + (k - 2)}{2 n + 4 k \cdot x / 3}

$\lambda=\frac{2n+k\cdot x/3+(k-2)}{2n+4k\cdot x/3}$

F_{f} (x; k, n) = Φ (\frac{{(λ \cdot x)}^{1 / 3} - μ}{σ})

$F_f(x;k,n)=\Phi\left(\frac{\left(\lambda\cdot x\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$

, .

q = {(Φ^{- 1} (P) \cdot σ + μ)}^{3}

$q=\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma+\mu\right)^3$

b = 2 n + k - 2 - 4 / 3 \cdot k q

$b=2n+k-2-4/3\cdot kq$

D = b^{2} + 8 / 3 \cdot k n q

$D=b^2+8/3\cdot knq$

x = F_{f}^{- 1} (P; k, n) = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 k / 3}

$x=F_f^{-1}(P;k,n)=\frac{-b+\sqrt{D}}{2k/3}$

function y = fcdfa(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  lambda = (2*n + k*x/3 + k-2)/(2*n + 4*k*x/3);
  normcdfa(((lambda*x)**(1/3)-mu)/s)
endfunction

function y = finva(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  q = (norminva(x)*s + mu)**3;
  b = 2*n + k-2 -4/3*k*q;
  d = b**2 + 8/3*k*n*q;
  y = (sqrt(d) - b)/(2*k/3);
endfunction

Sergei Winitzki. A handy approximation for the error function and its inverse. February 6, 2008.
Gleason J.R. A note on a proposed Student t approximation // Computational statistics & data analysis. – 2000. – Vol. 34. – №. 1. – Pp. 63-66.
Wilson E.B., Hilferty M.M. The distribution of chi-square // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 1931. – Vol. 17. – №. 12. – Pp. 684-688.
Li B. and Martin E.B. An approximation to the F-distribution using the chi-square distribution. Computational statistics & data analysis. – 2002. Vol. 40. – №. 1. pp. 21-26.

統計関数の単純で高速な近似

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