物理学者は、粒子衝突の複雑な数学の根底にある代数構造を発見しました。それが私たちをよりエレガントな物理世界の理論に導くことを望む人もいます。
粒子物理学者が実験をモデル化しようとすると、現代の数学の範囲を超えた無限に大きな方程式のために、不可能な計算に直面します。
幸いなことに、彼らはこの不可解な数学を最後までやり通さなくても、一般的に正確な予測を行うことができます。計算を短くすると、ヨーロッパのCERNにあるLarge Hadron Colliderの科学者は、26kmのトラックに沿って途方もない速度で掃引する亜原子粒子の衝突で観察されるイベントと一致する予測を行います。
残念ながら、予測と観察の合意の時代は終わりに近づいているかもしれません。測定が正確になるほど、理論家が使用する近似計算スキームを維持することが難しくなります。
「私たちは近い私たちが持っている資金を排出するすでに、」言ったクロード・ダル、CERNでの粒子物理学者。
しかし、イタリアのパドヴァ大学のピエルパオロ・マストロリアとセバスチャン・ミゼラによる最近の3つ の 作品ニュージャージーのプリンストン高等研究所から、これらの方程式の根底にある数学的構造を発見しました。これは、無限の数のメンバーを12個の必要なコンポーネントに折りたたむ新しい方法を提供します。彼らの方法は、理論家が粒子物理学の主要であるが不完全なモデルを超える必要がある次のレベルに予測精度を上げるのに役立ちます。
「彼らはこの有望な技術の実行可能性を証明する多くの結果を示しました」とDarは言いました。
ただし、単に予測を改善するよりもはるかに大きなメリットがあります。新しい方法は、「交差点の数」を直接計算することにより、従来の退屈な数学をバイパスします。これにより、最終的には、素因の世界をよりエレガントに説明できると考えられています。
「それは数学だけではありません」と、マストロリウスとミゼラの仕事の意味を研究している量子理論家であるマギル大学のサイモン・キャロン・ヒューオットは言いました。「それはすべて、量子場理論と非常に深く絡み合っています。」
無限ループ
粒子の衝突をモデル化するとき、物理学者はファインマン図を使用します。これは、1940年代にリチャードファインマンによって発明された単純な表記法です。
この記録がどのように機能するかを理解するために、単純なイベントを考えてみましょう。2つのクォークが互いに接近し、「衝突」の過程で1つのグルオンを交換し、異なる軌道に沿って互いに跳ね返ります。
ファインマン図では、クォークの経路は「脚」で示され、粒子の相互作用中に接合部で「上部」を形成します。ファインマンは、そのような絵をこの出来事が起こる確率を計算する方程式に変えるための規則を開発しました。脚と頂点ごとに特定の関数（通常は粒子の質量と運動量を使用した分数）を記述し、それをすべて乗算します。私たちのような単純なオプションの場合、計算はナプキンに収まる可能性があります。
この図では、2つのクォーク（矢印が内側を向いているまっすぐな脚で示されています）が1つのループに近づいています。それらは相互作用し、グルオンを交換します。グルオンは短期間、クォークとアンチクォークのペアに分割され、その後離れて飛んでいきます。医師はこれらのパターンを、このイベントが発生する確率を計算する方程式に変換します。
ただし、量子論の黄金律はすべての可能性を考慮することであり、単純なグルオンの交換は、2つのクォークが衝突したときに展開する可能性のある多種多様なシナリオの1つにすぎません。粒子が交換するグルオンは、短時間でクォークとアンチクォークのペアに分割され、その後、グルオンに戻ることができます。 2つのクォークが出会い、2つのクォークが分岐しますが、その間に多くのことが起こる可能性があります。何が起こっているのかを完全に説明し、理想的な予測を行うには、無限の数の図を描く必要があります。完璧な結果を期待する人は誰もいませんが、計算の精度を向上させるための鍵は、イベントの無限の連鎖に沿って可能な限り進むことです。
そして、これは物理学者が立ち往生するところです。
この隠れた中心をより詳細に研究するには、仮想粒子、つまり各相互作用の結果に徐々に影響を与える量子変動に目を向ける必要があります。上記のクォークのペアの短期間の存在は、多くの仮想イベントと同様に、閉ループによってファインマン図に示されています。ループは物理学者を困惑させます—それらは無限のシナリオに余分な層を追加するブラックボックスです。ループによって暗示される可能性をどうにかして計算するために、理論家は積分を取る必要があります。これらの積分は、ファインマンダイアグラムで巨大な比率に達し、研究者がイベントのチェーンに沿ってさらに移動し、ますます複雑になる仮想相互作用を説明するときに現れる多くのループがあります。
物理学者は、ループなしまたは1つのループがあるシナリオの確率を計算するためのアルゴリズムを持っていますが、すでに2つのループとの衝突により、コンピューターは屈服します。これは、予測精度の上限であり、物理学者が量子論の意味を理解するための上限です。
ただし、これには1つのプラス面があります。物理学者は、複雑なファインマン図のすべての積分を完全に計算する必要はありません。それらのほとんどを1つにまとめることができるからです。
数千の積分を数十の「基本的な」積分に減らすことができ、それを重み付けして追加することができます。しかし、どの積分を別々の基本的な積分に収集できるかは、計算上の難しい問題です。研究者は、本質的に何百万もの相互作用に基づいて推測を行い、積分の意味のある組み合わせを導き出すのが難しいコンピューターを使用しています。
しかし、交差点の数のおかげで、物理学者はファインマン積分の広大な計算から重要な情報をエレガントに選択する方法を見つけたかもしれません。
幾何学的な指紋
MastroliaとMizeraの仕事は、形と空間を分類する代数的トポロジーなどの数学の派生物から生まれました。この「コホモロジー」の理論を支援して、複雑な幾何学的空間から代数的な「指紋」を計算できるようにします。
フランスのモンペリエ大学の数学者であるクレメント・デュポン氏は、「これは、あらすじのようなもので、探索している空間の本質を捉えた代数的装置です」と述べています。
ファインマン図は幾何学的空間に変換でき、コホモロジーを使用して分析できます。このような空間の各ポイントは、粒子が衝突したときに展開する多くのシナリオの1つを表すことができます。
この空間のコホモロジーをとることによって（その代数的構造を見つけること）、基本的な積分の重みを計算できることを期待するかもしれません。ただし、ほとんどのファインマンダイアグラムを特徴付ける幾何学的空間は非常に湾曲しているため、多くのコホモロジー計算に抵抗します。
2017年、ミゼラは、1970年代と1980年代にイスラエルゲルファンドと青本勝彦がツイストコホモロジーと呼ばれるコホモロジーに取り組んでいたときに最初に発明したツールに出くわしたときに、ストリング理論でオブジェクトの衝突を分析しようとしていました。その同じ年の後半、ミゼラはマストロリアに会いました。マストロリアは、これらのテクニックがファインマン図でも機能することに気づきました。昨年、彼らはコホモロジー理論を使用して単純な粒子衝突の計算を高速化する3つの論文を発表しました。
彼らの方法は、相互接続された物理シナリオのファミリーを取り、それを幾何学的空間として提示し、そのねじれたコホモロジーを計算します。 「そして、このねじれたコホモロジーは、私たちが関心を持っている積分についてすべてを語っています」とミゼラは言いました。
特に、ツイストコホモロジーは、必要な基本積分の数とその重みを示します。これらの重みは、「交差点番号」と呼ばれる値として表示されます。その結果、数千の積分が数十の基本的な積分の加重和にまで乾きます。
これらの交差数を生成するコホモロジー理論は、計算を容易にするだけでなく、計算で最も重要な量の物理的重要性を示すことができる可能性があります。
たとえば、仮想グルオンが2つの仮想クォークに崩壊する場合、それらの寿命は異なる可能性があります。それらに関連付けられた幾何学的空間では、各ポイントは異なるクォークの寿命を示すことができます。重みを計算するとき、研究者は、最も寿命の長い仮想粒子を使用するシナリオ（つまり、粒子がほぼ現実になる場合）が他のシナリオよりも結果に影響を与えることを確認します。
「それがこの方法の素晴らしいところです」とKaron-Hewot氏は述べています。 「彼はこれらの珍しい特別なイベントからすべてを再現します。」
先週、ミゼラ、マストロリアとその同僚は別のプレプリントを発表しました、この手法は、2つのループを持つ実際の図を処理するのに十分に進化したことが示されています。次の作業では、Karon-Hewotがこの方法をさらに発展させ、3ループ図でさえも使いこなす可能性があります。
成功した場合、この手法は新世代の理論的予測を開くのに役立つ可能性があります。そして、一部の研究者が疑うように、それは私たちに現実についての新しい見方を示すかもしれません。