3人の数学者が、12面のプラトンソリッドの直線経路に関する基本的な質問に対する回答を得ました。
数学者は2000歳以上であるという事実にもかかわらず[そして、おそらく、さらに多く/約。 transl。 ] 5つの通常の多面体（プラトン固体）の構造を分析します-四面体、六面体（立方体）、八面体、十二面体、およびイコサヘドロン-私たちはまだそれらについてあまり知りません。
そして、3人の数学者が12面体についての最も基本的な質問の1つに答えました。
通常の多面体の頂点の1つに立っているとしましょう。他の頂点を経由せずに出発点に戻ることができる直接の道はありますか？正方形または等辺三角形で構成される他の4つの通常の多面体（四面体、立方体、八面体、およびイコサヘドロン）について、数学者は最近与えましたこの質問に対する否定的な答え。頂点の1つから始まる直線のパスは、別の頂点にぶつかるか、フィギュアの表面に沿って永久に曲がり、開始点に戻ることはありません。しかし、数学者は、12個の五角形で構成された12面体に何を期待するかを知りませんでした。
現在、Jadev Atreya、David Olicino、およびPatrick Hooperは、12面体にはそのようなパスが無数にあることを示しています。5月にジャーナルExperimentalMathematicsに掲載された彼らの論文は、これらの道が自然に31の家族に分けられることを示しています。
解決策を見つけるには、最新のテクノロジーを使用し、コンピューターアルゴリズムをコンパイルする必要がありました。 「約20年前、この質問は手の届かないものでした。 10年前は、必要なすべてのプログラムを作成するのに信じられないほどの努力が必要でした。そして今日だけ、すべての要素が一緒になりました」と、パリのJassi MathematicalInstituteのAntonZorichがメールで書いています。
このプロジェクトは、ワシントン大学のAtreyaとブルックリンカレッジのOlicinoが、通常の多面体に折りたたまれた一連の平らな形状で遊び始めた2016年に始まりました。多面体の組み立て中に、Olicinoは、平面形状に最近蓄積された材料が、12面体の直線経路を理解するのに役立つ可能性があることに気づきました。 「私たちは文字通り、散らばった断片からこれらの断片を組み立てました」とAtreyaは言いました。 「研究者たちの単純な好奇心は、新しい機会と一致しました。」
研究者たちは、ニューヨークのシティカレッジのフーパーと一緒に、他のコーナーを迂回して、1つのコーナーから出てそこに入るすべての直線パスを分類する方法を考え出しました。ハワード・マズール
が述べたように、彼らの分析は「エレガントな解決策」です。シカゴ大学から。「これは私がためらうことなく言うことができるそれらのケースの1つです：うわー、なぜ私はしなかったのですか！」
隠された対称性
数学者は1世紀以上にわたって十二面体の直線経路について話してきましたが、このトピックへの関心は、「転写面」の分野で得られた新しい知識のおかげで近年復活しました。このような表面は、多面体の平行な側面を接着することによって形成されます。それらは、ビリヤードボールの軌道から、単一の光線が鏡張りの壁で部屋全体を照らすことができるかどうかについての質問まで、角度のある形状をたどる直線経路に関連する幅広いトピックを探索するのに非常に役立つことが証明されています。
これらすべてのタスクの基本的な考え方は、形状を展開して、それに続くパスを調査しやすくすることです。通常の多面体に沿った直線経路を理解するには、数学者が言うように、ネットワークを形成して、平面上で拡張できるように十分なエッジをカットすることから始めることができます。たとえば、キューブのネットワークの1つは、6つの正方形で構成される「T」字型です。
2018年にDavidOlicinaとJadevAtreyaによって作成された紙の十二面体。他の頂点と交差することなく1つの頂点からその頂点に戻るパスを導く能力を示しています。
十二面体を一掃したと想像してみてください。今、私たちはそれに沿って特定の選択された方向に歩いています。遅かれ早かれ、私たちはネットの端につまずき、その後、私たちの道は隣接する五角形（十二面体を切る前に現在のものに接着されていたもの）にジャンプします。ジャンプすると、パスは同時に角度を変え、その値は36度で割り切れます。
これらすべてのジャンプとターンを回避するために、エッジに出会ったときに、ネットの新しい回転コピーをその上に接着して、まっすぐ歩き続けることができます。次に、冗長性を追加します。元の12面体の五角形を示す、2つの異なる五角形があります。私たちは世界を複雑にしましたが、道を単純化しました。世界の境界を越える必要があるたびに、新しいネットワークを追加し続けることができます。
パスが10個のネットを通過するまでに、元のメッシュを36で割り切れるすべての可能な角度で回転させ、次に追加するメッシュの方向は最初のメッシュと同じになります。 11番目のネットワークは、数学者が言うように、転送によって、単純なシフトによって元のネットワークから取得されることがわかります。 11番目のメッシュを接着する代わりに、10番目のメッシュのエッジを元のメッシュの対応する平行なエッジに接着するだけです。私たちの図はもはや平らではありませんが、数学者はそれが以前の化身の平らな形状を「覚えている」と信じています。たとえば、まだ接着されていない図にまっすぐだった場合、パスはまっすぐであると見なされます。対応する平行エッジの可能なすべての接着を行った後、いわゆるを取得します。転写面。
Atreiaは、右手にお気に入りの転写面である二重五角形のタトゥーを入れました。
結果として得られる面は、各五角形の10個のコピーが含まれる12面体の非常に冗長な表現です。そして、それははるかに複雑であることが判明しました-それは81の穴を持つドーナツの形で一緒に接着されています。しかし、この複雑な形により、3人の研究者は転写面の豊富な理論を理解することができました。
そのような巨大な表面に直面して、数学者は比喩的にも文字通りにも袖をまくり上げました。彼女と数か月間一緒に仕事をした後、彼らは、81穴のドーナツ表面が、12面体だけでなく、最も一般的に研究されている転写表面の1つを過剰に表現していることに気付きました。これはダブルペンタゴンで、エッジの1つに沿って2つのペンタゴンを接着し、次にすべての平行な側面を接着して、2つの穴と大きな対称性のあるドーナツを作成します。
また、このフィギュアはアトレヤの腕に刺青されています。 「私はすでにこの二重五角形を知っていて、愛していました」と、彼とオリチーノが十二面体について考え始める1年前に入れ墨をしたアトレヤは言いました。
二重五角形と十二面体は幾何学的ないとこであるため、前者の高度な対称性は後者の構造を理解するのに役立ちます。 「これは素晴らしい潜在的な対称性です」とシカゴ大学のアレックス・エスキンは言いました（15年前に彼の博士論文についてアトレヤに助言しました）。 「十二面体がそのような潜在的な対称性グループを持っていることは非常に注目に値します。」
Jadevアトレヤ株式どのように彼と彼の同僚は、十二面体にストレートパスを見つけることの長年の問題を解決した。
これらの表面との間の関係は、研究者は、によって開発された対称性の高い転送表面解析アルゴリズムを利用することができましたミリアムFinsterカールスルーエ工科大学の。そのアルゴリズムを適応させることにより、研究者は、出て行って1つの頂点に戻る十二面体上のすべての直接経路を見つけ、十二面体の隠れた対称性に基づいてそれらを分類することができました。
Atreyaは、この分析を「私のキャリア全体で最も興味深いプロジェクトの1つ」と説明しています。 Jadevは、常にさまざまなことで遊ぶことが非常に重要であると言います。
新しい結果は、人々が何千年もの間研究してきたそれらのオブジェクトでさえ、隠れている秘密があるかもしれないことを示唆している、とエスキンは言いました。「この3人の数学者でさえ、十二面体について何か新しいことを言うことができたのは驚きだったと思います。」