リード-ソロモンコード

通信システムとコンピュータのチャネルでエンコードされたメッセージの情報ストリームを処理する際のコドロジーの重要なタスクは、ストリームの分離と、特定の機能に応じたストリームの選択です。専用ストリームは個別のメッセージに分割され、それぞれについて詳細な分析が実行されてコードとその特性が確立され、続いてデコードされてメッセージのセマンティクスにアクセスされます。



したがって、たとえば、特定のReed-Solomonコード（PCコード）の場合、次のように設定する必要があります。

• コードワード（ブロック）の長さn。
• k個の情報とNk個のチェックシンボルの数。
• 有限フィールドGF（2 ^r）を定義する還元不可能な多項式p（x ）。
• 有限フィールドのプリミティブ要素α。
• 多項式g（x）を生成します。
• コードのパラメータj;
• インターリーブを使用。
• チャネルおよび他のいくつかへのコードワードまたはシンボルの送信のシーケンス。

ここでは、わずかに異なる特定の問題が作業で考慮されています-上記のコード分析問題の中心的な主要部分であるPCコード自体のモデリング。

PCコードとその特性の説明

利便性とPCコードデバイスの本質とコーディングプロセスの理解を深めるために、最初にコードの基本的な概念と用語（要素）を示します。



リード-ソロモンコード（RSコード）は、非バイナリBCHコード（Bose-Chowdhury-Hawkingham）として解釈でき、そのコードシンボルの値はGF（2 ^r）フィールドから取得されます。つまり、r情報シンボルはフィールドの個別の要素として表示されます。 Reed-Solomonコードは、シンボルがrビットシーケンスである線形非バイナリ体系的循環コードです。ここで、rは1より大きい正の整数です



。Reed-Solomonコード（n、k）は、すべてのnおよびすべてのrビットシンボルで定義されます。 k、ここで：

0 <k <n <2 ^r + 2、ここで

kはエンコードされる情報シンボルの数、

nはコード化されたブロック内のコードシンボルの数です。



ほとんどの（n、k）リード-ソロモンコード。 （n、k）=（2 ^r –1、2 ^r –1–2∙t）、ここで、

tはコードが修正できるエラー記号の数、

n – k = 2tはチェック記号の数です。



Reed-Solomonコードは、線形コードで可能な最大の最小距離（シーケンスを区別する文字数）を持っています。 Reed-Solomonコードの場合、最小距離は次のように定義されます：dmin = n – k + 1。



定義。 PCフィールドGF上のコード（Q = ^M）、ブロック長のn = Q ^M-1、tエラーの修正は、GF（q）上のすべてのコードワードu _（n）のセットであり、2tの連続するスペクトル成分と$$$m_0,m_0 +1,...,m_0+2t-1$0に等しい



αの2トンの連続電力が生成多項式G（X）の根であること、またはスペクトルが2Tの連続するゼロの成分を含むという事実は、Tエラーが修正されることを可能にするコードの重要な特性です。



情報多項式Q.メッセージのテキストを指定します。これは、一定の長さのブロック（単語）に分割され、デジタル化されます。これが通信システムで送信されるものです。PCコードの

多項式g（x）の生成は、GF（q）にQ・g（x）== u _（n）を掛けることにより、情報多項式（メッセージ）をコードワードに変換する多項式です。



チェック多項式h（x）を使用すると、単語内の歪んだ文字の存在を確認できます。

症候群多項式S（z）。誤った位置に対応する成分を含む多項式。デコーダーが受信したワードごとに計算されます。

エラー多項式E.コードワードと等しい長さで、コードワードシンボルの歪みを含むものを除くすべての位置で値がゼロの多項式。



エラーロケーター多項式Λ（z）は、通信チャネル（デコーダー）の受信側が受信したワード内のエラーの位置を示すルートを提供します。そのルーツは、試行錯誤によって見つけることができます。 Λ（z）がゼロに等しくなるまで、フィールドのすべての要素を順番に代入します。

エラー値の多項式Ω（Z）≡Λ（Z）S（Z）（modz ^2トンは）同等であるモジュロZ ^2トンエラーロケーター多項式とシンドローム多項式の積を使用します。



フィールドp（x）の還元不可能な多項式。有限フィールドは、要素の数に存在しませんが、要素の数が素数pまたは素数の累乗q = pm^である場合に限ります。最初のケースでは、フィールドはプライムと呼ばれ（その要素はプライムpを法とする数の残差です）、2番目のケースでは、対応するプライムフィールドの拡張です（m-1以下のq個の多項式要素は多項式pを法とする多項式の残差です（x）次数m）



プリミティブ多項式。フィールドの還元不可能な多項式のルートがプリミティブ要素αである場合、p（x）は還元不可能なプリミティブ多項式と呼ばれます。



PCコードを使用してアクションを説明する過程で、Galoisフィールドを繰り返し参照する必要があるため、ここですぐに、要素のさまざまな表現（10進数、バイナリベクトル、多項式、プリミティブ要素の次数）を含むこのフィールドの要素を含むワークシートを配置します。



表II-拡張GF（2 ⁴）の有限フィールドの要素の特性、還元不可能な多項式p（x）= x ⁴ + x + 1、プリミティブ要素α= 0010 = 2 ₁₀





例1。有限フィールドGF（2 ⁴）上で、還元不可能なフィールド多項式p（x）= x ⁴ + x + 1が与えられ、プリミティブ要素α= 2が与えられ、（n、k）-リード-ソロモンコード（PCコード）が与えられます。このコードのコード距離はd = n --k + 1 = 7です。このコードは、メッセージのブロック（コードワード）内の最大3つのエラーを修正できます。



コードの生成多項式g（z）の次数はm = nk = 15-9 = 6（そのルートは、10進表記のフィールドGF（2 ⁴）の6つの要素、つまり要素2、3、4、5、6、7）であり、比率によって決定されます。i = 1（1）6の10進表現のGF（2 ⁴）からの係数（要素）を持つzの多項式。考えPC-コードにおける2 ⁹ = 512コードワード。

PCメッセージエンコーディング

表IIでは、これらのルートにもパワー表現があります $$$α^1=2, α^2=3,...,α^6=7$..。





ここで、zは抽象変数であり、αはフィールドのプリミティブ要素であり、その累乗によってフィールドのすべての（16）要素が表現されます。フィールド要素の多項式表現はx変数を使用します。

PCコードの生成多項式g（x）= A Bの計算は、部分的に実行されます（それぞれ3つの括弧）。





生成する多項式のベクトル表現（10進表現のフィールドの要素による係数g（z）の観点から）は、



g（z）= G _<7> =（1、11、15、5、7、10、7）です。



エラーの検出と修正を目的としたPCコードの生成多項式の生成後、メッセージが設定されます。メッセージはデジタル形式（ASCIIコードなど）で表示され、そこから多項式またはベクトル表現に移行します。



情報ベクトル（メッセージワード）には、（n、k）からのk個のコンポーネントがあります。 k = 9の例では、ベクトルは9成分であり、すべての成分は10進表現のGFフィールド（2 ⁴）の要素ですQ _<9> =（11、13、9、6、7、15、14、12、10） ..。



このベクトルから、コードワードuが形成されます_<15>は15成分のベクトルです。コードワードは、コード自体と同様に、体系的で非体系的です。非体系的なコードワードは、情報ベクトルQに、生成する多項式に対応するベクトルを乗算することによって取得されます。



変換後、

Q・g = <11、15、3、9、6、14、7、5、12、15、14、3、3、7、1>の形式で非体系的なコードワード（ベクトル）を取得します。



体系的なコーディングでは、メッセージ（情報ベクトル）は、Q（z）= q（z）g（z）+ R（z）の形式の多項式Q（z）で表されます。ここで、次数degR（z）<m = 6です。右側のベクトルQには、残りのRが割り当てられます（すべて10進形式）。これはこのように行われます。



多項式Qは、値m = n --kによって上位桁にシフトされます。これは、Q（z）にZ ^{n --k}（この例ではZ ^{n --k} = Z ⁶）を乗算し、シフト後、除算Q（z）Zを乗算することによって実現されます。^{n-k x} g（z）。結果として、除算R（z）の残りを見つけます。すべての操作はGFフィールドで実行されます（2 ⁴）



（11、13、9、6、7、15、14、12、10、0、0、0、0、0、0）=

=（1、11、15、5、7、10、7）（ 11、15、9、10、12、10、10、10、10、3）+（1、2、3、7、13、9）= G・S + R。



多項式の除算の残りは通常の方法で計算されます（コーナーを参照）ここで例6）。除算は次のパターンに従って実行されます。Q= 26、g（z）= 7、26 = 7 3 + R（z）、R（z）= 26 -7 3 = 26-21 = 5とします。残りのR（z ）多項式の分割について。残りのRを右側のベクトルQに割り当て



ます。u _<15>（体系的な形式のコードワード）を取得します。このビューには、コードワード



u _<15> =（11,13,9,6,7,15,14,12,10; 1、2、3、7、13、9）の上位kビットに情報メッセージが明確に含まれています。



ベクトルの桁は、0（1）14から右から左に番号が付けられています。右側の最下位6ビットはチェックビットです。

リードのデコード-ソロモンコード

ブロックを受信した後、デコーダーは各ブロック（コードワード）を処理し、送信または保存中に発生したエラーを修正します。デコーダーは、結果の多項式をRSコードの生成多項式で除算します。残りがゼロの場合、エラーは見つかりませんでした。それ以外の場合、エラーが発生します。



一般的なPCデコーダーは、デコードループで次の5つのステップを実行します。

1. シンドローム多項式（その係数）の計算、エラーが見つかりました。
2. 重要なPade方程式が解かれます-エラー値と対応する場所の位置を計算します。
3. Chenの手順が実装されています-エラーロケーター多項式の根を見つけます。
4. Forneyのアルゴリズムを使用して、エラー値を計算します。
5. 歪んだコードワードが修正されます。

サイクルは、コードワードからメッセージを抽出する（コードを削除する）ことで終了します。



症候群の計算。



受信したコードワードからのシンドローム生成は、

デコードプロセスの最初のステップです。ここでシンドロームが計算され、受信したコードワードにエラーがあるかどうかが判断



されます。PCコードワードのデコードはさまざまな方法で整理できます。古典的な方法には、症候群の計算を使用するか使用しないかのいずれかである、時間または周波数ドメインで動作するアルゴリズムを使用したデコードが含まれます。この問題の理論を掘り下げることなく、時間領域でのコードワードシンドロームの計算によるデコードを選択します。

歪み検出

症候群 $$$S = (S_v,S_{v+1},...,S_{m+v-1})$どこ $$$v∊{0, 1}$ベクトルは、デコーダーが入力で受信したコードワードごとに順次決定されます。症候群ベクトルの成分の値がゼロの場合$$$Sj = 0, j=v,v+1,...,m + v - 1$、デコーダーは、受信したワードにエラーがないと見なします。少なくとも1つの場合$$$j≥1,Sj≠0$、次に、デコーダーはコードベクトルにエラーがあると判断し、それらの識別に進みます。これは、デコーダーの操作の最初のステップです。 パリティチェック行列HによるコードワードCの受信側



でのシンドローム多項式

乗算の計算は、次の2つの結果をもたらす可能性があります。

• 症候群ベクトルS = 0、これはベクトルCにエラーがないことに対応します。
• シンドロームベクトルS≠0。これは、ベクトルCのコンポーネントにエラー（1つ以上）が存在することを意味します。

2番目のケースは興味深いものです。



エラーのあるコードベクトルはC（E）= C + Eとして表され、Eはエラーベクトルです。次に$$$(C +E)H^t = CH^t + EH^t = 0 + EH^t = S$



症候群の成分Sjは、

n = q-1およびj = 1（1）m = nkの合計関係、またはホーナーのスキームのいずれかによって決定されます。



$$$S_j = C_0 +α^j(C_1 +α^j(C_2 +...+α^j(C_{n-2} +α^jC_{n-1})...))$



例2。エラーベクトルの形式をÅ= <0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 8 0 00>とします。コードベクトルの3番目と10番目の位置にある文字をマングルします。エラー値はそれぞれ8と12です-これらの値もGFフィールド（2 ⁴）の要素であり、10進表記（表P）で示されます。ベクトルEでは、位置は0（1）14から始まり、右から左に下から番号が付けられます。



ここで、3番目のビットと10番目のビットにそれぞれ値8と12の2つのエラーがあるコードベクトルを作成しましょう。これは、GF（2 ⁴）このフィールドの算術規則に従います。フィールド要素をゼロで合計しても、その値は変わりません。ゼロ以外の値（フィールド要素）は、通常、多項式が合計されるため、多項式表現に変換した後に合計されますが、未知の値の係数はmod 2に削減されます。



合計結果が取得された後、それらは、以前に累乗表現を通過した後、再び10進表現に変換されます。





以下は、コードワードの10と3の位置でのエラー破損値の計算を示しています：



$$$(7+12) →α^6+α^11 =x^3 +x^2 +x^3 +x^2 +x^1 =α^1 = 2,$

$$$(3 + 8) →α^2+ α^7 =x^2 +x^3 +x^1 + 1 =α^{12}=13.$



デコーダーは、コンポーネントSj、j = 1（1）mの一般式に従って計算を実行します。ここ（モデル内）では、関係を使用します$$$S=EH^t$、プログラムで自分で指定（シミュレート）するため、ゼロ以外の項はi = 3およびi = 10の場合にのみ取得されます。





以下に、この式による計算を展開した形で特別に示します。

PCのチェックマトリックス-コード

コードの生成多項式が定式化されるとすぐに、コードワードのパリティチェックマトリックスを作成し、修正するエラーの数を決定することが可能になります（ここではデコーダーを参照）。補助行列[7×15]を作成してみましょう。この行列から、2つの異なるパリティチェック行列を取得できます。最初の6行が1つで、最後の6行がもう1つです。



マトリックス自体は特別な方法で形成されます。最初の2行は明らかです。3行目以降のすべての行は、前の（2番目の）行から自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14のセグメントを差し引くことによって得られます。 15 mod 15.ゼロ値が発生すると、15に置き換えられ、負の残基は正の残基に変換されます。





各行列は、体系的および非体系的なコーディングのための独自のジェネレータ多項式に対応します。

症候群多項式の係数の決定

以下では、j = 1（1）6のシンドローム多項式の係数を決定します。

長さのあるコードワードに関して$$$n<q=p^r$デコーダーの入力に到達すると、エラーによって歪んでいると想定します。



エラーのベクトルを特定するには、次のことを知っておく必要があります。

• コードワード内の歪んだ位置の数
• $$$v≤v_{max}=0.5m$;
• コードワード内の歪んだ位置の数（位置） $$$ℓ_i: ℓ_i=0(1)n-1$;
• 歪み値 $$$e_ℓ; e_ℓ∊GF(2^4)$..。

症候群ベクトル（多項式）Sはどのように計算され、さらに使用されますか？コードワードのデコードにおけるその役割は非常に重要です。これを数値例で説明しましょう。



例3。（症候群ベクトルの成分の計算$$$S_{<6>}$ ）





そして最後に私達は持っています $$$S_{<6>}=(S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6)$= <8,13,7,13,15,15>



さらに検討するために、新しい概念を紹介します。値$$$x_i = α^{ℓ_i}$エラーロケーターと呼ばれます。ここでは、その位置にある歪んだコードワード記号です。 $$$ℓ_i$、αはフィールドGF（2 ⁴）のプリミティブ要素です。



特定のコードワードのエラーロケーターのセットは、エラーロケーター多項式σ（z）、根の係数として以下で考慮されます。$$$z_i$ 値はどれですか $$$x_i ^{-1}$ロケーターの逆。



また、表現$$$(1-zx_i)=0$消える。



$$$σ(z) = (1-zx_1)(1-zx_2)...(1-zx_v) =σ_vz^v +σ_{v-1}z^{v-1} +...+σ_1z +σ_0$

方程式の常に自由項方程式の常に自由項 $$$σ_0 =1$..。

エラーロケーターの多項式の次数はvに等しく、エラーの数であり、値を超えません。$$$v≤v_{max}=0.5m$..。



歪んだ文字はすべて単語の異なる位置にあるため、ロケーター間で$$$x_i = α^i$、フィールド要素を繰り返すことはできず、多項式σ（z）= 0には複数の根がありません。



書くのに便利なように、エラー値は記号で再指定されます$$$Y_i = e_i$..。シンドローム多項式の係数については、非線形方程式が以前に考慮されていました。私たちの場合、v = 1が症候群の構成要素の起源です。





どこ $$$y_i,x_i$ 量は不明であり、 $$$S_j$-既知で、デコードの最初の段階で計算されたパラメーター（シンドロームベクトルのコンポーネント）。



このような非線形方程式のシステムを解く方法は不明ですが、トリック（回避策）を使用して解決策を見つけます。係数の線形方程式のHankel（Toeplitz）システムに遷移します$$$σ_i$ロケーター多項式。



線形方程式のシステムへの変換方程式



への変換$$$σ_i$ エラーロケーター多項式の場合、その根の値が代入されます $$$z =x_i^{-1}$..。この場合、多項式は消えます。アイデンティティが形成され、その両側に$$$y_ix_i^{j+v}$、 我々が得る：



$$$y_i(σ_vx_i^{j}+σ_{v-1}x_i^{j+1}+...+σ_1x_i^{j+v-1}+x_i^{j+v})=0,1≤i≤v, 1≤j≤v$..。



私たちはそのような平等を得る$$$v×v =v^2$



これらの平等をすべて合計します $$$i, 1≤i≤v$これらの平等が満たされている。多項式σ（z）はvの根を持っているので$$$x_i^{-1}$、ブラケットを開き、係数を転送します $$$σ_i$ 金額の兆候ごと：





この等式では、

前述の非線形方程式のシステムによれば、各合計はシンドロームベクトルの成分の1つに等しくなります。したがって、彼は係数に関してそれを結論付けます$$$σ_v, σ_{v-1},...,σ_1$ 線形方程式のシステムを書き出すことができます。





バイナリフィールドで計算する場合の記号「-」は「+」に対応するため、省略されています。結果として得られる線形方程式のシステムはハンケルであり、寸法のある行列に対応します。$$$v×(v+1)$ ビット。





コードワードC（E）のエラー数が厳密に等しい場合、このマトリックスは縮退していません $$$v , v ≤0.5(n-k)$、つまり このコードの耐ノイズ性は侵害されていません。

線形方程式のシステムを解く

結果として得られる線形方程式のシステムには、未知数としての係数が含まれています $$$σ_i =1(1)t$コードワードC（E）のエラーロケーター多項式。以前に計算された症候群ベクトルの成分$$$S_j, j=1(1)m$..。ここで、tはワード内のエラーの数、mはワード内のチェック位置の数です。



形成されたシステムを解決するためのさまざまな方法があります。



（ハンケル）行列は、1つの単語で許可されるエラーの数（0.5m未満）によって制限される次元に対して縮退していないことに注意してください。この場合、方程式のシステムは一意に解かれ、問題は単純にハンケル行列の反転に還元できます。マトリックスの寸法の制限を取り除くことが望ましいでしょう。無限のフィールドを越えて。



線形方程式のハンケルシステムを解く方法は、無限のフィールドで知られています。

• 反復トレンチ-Berlekamp-メッシ法（TBM法）; （1）
• 直接決定論的ピーターソン-ゴレンシュタイン-ジエラー; （PHC-メソッド）; （2）
• ユークリッドのアルゴリズムを使ってGCDを見つける杉山の方法（C法）（3）

他の方法を考慮せずに、TBM方法を選択します。選択の動機は次のとおりです。



この方法（PHC）は単純で優れていますが、修正可能なエラーの数が少ない場合、C法はコンピューターに実装するのが難しく、ソースで限定的に公開（カバー）されていますが、C法は、よく知られている症候群の多項式S（z）によるTBM法と同様に提供されます。ガロアフィールド上のパデ方程式の解。この方程式は、エラーロケーターの多項式σ（z）と多項式ω（z）に対して作成されます。コーディング理論では、キーパデ方程式と呼ばれます。



$$$S(z)σ(z) = ω(z)(mod z^m)$..。



重要な方程式の解はセットです$$$x_i^{-1}$ 多項式σ（z）の根、したがってロケーター $$$x_i =α^{ℓ_i}$、つまり エラー位置。エラー値（大きさ）$$$e_i$ Forneyの式から次の形式で決定されます





どこ $$$σ_z^{'}(α^{-i})$ そして $$$ω(α^{-i})$ 点での多項式σ（z）とω（z）の値は $$$z =α^{-i}$多項式σ（z）のルートに反比例します。

iはエラーの位置です。$$$σ_z^{'}(z)$ -zに関する多項式σ（z）の形式的導関数。

有限フィールドにおける多項式の形式的導関数

実数の分野の変数と有限の分野の正式な派生物に関して、派生物には相違点と類似点があります。多項式を検討する





$$$a_i$フィールド要素です。i= 1（1）n



フィールド要素。実フィールドGF（2 ⁴）上のコードが与えられます。zに関する導関数は次のとおりです。





無限の実数フィールドでは、操作はn倍になり、合計n回が一致します。有限フィールドの場合、導関数の定義は異なります。



導関数も同様に次の比率で決定されます。





ここで、（（i））= 1 + 1 + ... + 1、（i）回、有限フィールドの規則に従って合計されます。+記号は、「何度も合計する」操作を示します。素子$$$a_2z$ 2回繰り返す、要素 $$$a_3z^2$ 3回繰り返す、要素 $$$a_nz^{n-1}$n回繰り返します。



この操作が有限フィールドでの乗算の操作と一致しないことは明らかです。特に、フィールドGF（2 ^r）では、偶数の同一項の合計がmod2として取得され、ゼロになり、奇数は変更なしの項自体に等しくなります。したがって、フィールドGF（2 ^r）では、導関数は次の形式を取ります。





このフィールドの2番目で最も高い偶数の導関数はゼロに等しくなります。



代数から、多項式に複数の根（多重度p）がある場合、多項式の導関数は同じ根を持ちますが、多重度はp-1であることがわかっています。p = 1の場合、f（z）とf '（z）には共通のルートがありません。したがって、多項式とその導関数に共通の除数がある場合、複数のルートがあります。導関数f '（z）のすべての根は、f（z）の倍数です。

キー方程式解法

TMB（Trench-Berlekampa-Messi）は、重要な方程式を解くための方法です。反復アルゴリズムは、多項式σ（z）とω（z）の定義、およびPade（キー）方程式の解を提供します。



初期データ：多項式係数$$$S_1,S_2,...,S_n$度n-1。

ゴール。多項式σ（z）およびω（z）の明示的（分析的）形式での定義。



アルゴリズムは次の表記法を使用します：j-ステップ番号、$$$v_j$ -多項式の次数、 $$$σ_j(z) =σ_{ji}z^i +σ_{ji-1}z^{i-1}+...+σ_{j1}z+σ_{j0}$ -累乗の多項式の拡張 $$$z, k_j, L_j, θ_j(z)$ そして $$$Ω_j(z)$-アルゴリズムのj番目のステップでの中間変数と関数。



ここでは再帰が使用されるため、初期条件を指定する必要があります。



初期状態：





例4。ベクトル

S =（8,13,7,13,15,15）の反復アルゴリズムの実行。多項式が定義されています$$$σ(z) =σ_n(z)$ そして $$$ω(z) = ω_n(z)$..。



表2-エラーロケーター多項式の計算







そう $$$σ_j^←(z)=14z^2+13z+1$、 $$$ω_j^←(z)$= 7z +8。還元不可能な多項式p（x）= x ⁴ + x + 1



のフィールドGF（2 ⁴）上のエラーロケーター多項式σ（z）には、根があります。



$$$z_1 = α^{-i_1} = 13 = 4^{-1}$ そして $$$z_2 =α^{-i_2} = 6 = 11^{-1}$、直接検証によってこれを検証するのは簡単です。 $$$i_1= 3, i_2 =10, 13 = α^{12}, 1 =α^{12}α^{3}$ そして $$$α^{12} =α^{-3}=>13=4^{-1}$..。のルート置換

$$$σ(z=13)=14(13)^2+13·13+1=α^{13}(α^{12})^2+(α^{12})^2+α^0= α^{37}+α^{24} +α^{0}$=

=$$$α^{7}+α^{9}+α^0 =x^3+x+1=0(mod2)$;

$$$σ(z = 6)=14(6)^2+13·6+1 = α^{13}(α^{5})^2+(α^{5})^2+α^{0}$=

=$$$α^{8}+α^{2} +α^{0} = x^2 +1+x^2 +1 = 0(mod2)$..。



σ（z）の正式な導関数をとると、σ_2（z）= 2 14 + 13 = 13が得られます。これは、14zが合計で2回取られ、mod2が消えるためです。



Forneyの式を使用して、エラー値を計算するための式を見つけます$$$e_i$..。



最後の式の値i = 3およびi = 10の位置を代入すると、

次のようになります。



$$$_3 = 10α^{15-3}+11 =α^{6}+α^{10}$= =$$$x^3+x^2+x^2+x+1=x^3+x+1=α^{7}=>8$;

$$$_{10} = 10α^{15-10}+11 =α^{9}α^{5}+α^{10}=α^{14}+α^{10}$= =$$$x^3+x^2+x=α^{11}=>12$..。

ソフトウェアパッケージを構築するアーキテクチャ

ソフトウェアパッケージを構築するには、次のアーキテクチャソリューションを使用することをお勧めします。ソフトウェアパッケージは、グラフィカルユーザーインターフェイスを備えたアプリケーションとして実装されます。



ソフトウェアパッケージの初期データは、ファイルからのダンプを使用してアンロードされた情報のデジタルストリームです。分析の便宜と複雑な操作の明確さのために、.txtファイルを使用することになっています。



ロードされたデジタルストリームは、さまざまな計算アクションが適用される複雑な作業の過程で、データアレイの形式で表示されます。



複雑な操作の各段階で、中間作業結果を視覚化することができます。



プログラムの複雑な操作の結果は、表に表示される数値データの形式で表示されます。



中間および最終分析結果はファイルに保存されます。



ソフトウェアコンプレックスの機能スキームコンプレックスでの



操作は、ファイルからのダンプを使用してデジタルストリームをロードすることから始まります。ダウンロードすると、ファイルのバイナリコンテンツとそのテキストコンテンツの視覚的表現がユーザーに表示されます。



このインターフェイスのフレームワーク内で、次の機能タスクを実装する必要があります。

• 元のメッセージをダウンロードします。
• メッセージをダンプに変換する。
• メッセージエンコーディング;
• 傍受されたメッセージのシミュレーション
• 視覚的表現を分析するために、受信したコードワードのスペクトルを構築する。
• コードパラメータの表示。

ソフトウェアパッケージ操作の説明



プログラムの実行可能ファイルを起動すると、図2に示すウィンドウが画面に表示され、プログラムのメインインターフェイスが表示されます。



プログラムの入力は、通信チャネルを介して送信する必要があるファイルです。実際の通信チャネルを介して送信するには、コーディングが必要です。つまり、ソースレシーバーでの単語の明確なデコードに必要なチェックシンボルの追加です。コンプレックスを開始するには、「ファイルのロード」ボタンを使用して必要なテキストファイルを選択する必要があります。その内容は、メインプログラムウィンドウの下部フィールドに表示されます。



メッセージのバイナリ表現は、対応するフィールドである情報ワードのバイナリ表現（「情報ワードのバイナリ表現」フィールド）に表示されます。



「送信されたメッセージのビット数」および「送信されたメッセージのワード数」フィールドに、元のメッセージのビット数とその合計ワード数が表示されます。



形成された情報とコードワードは、メインプログラムウィンドウの右側の表に表示されます。



中間結果のプログラムウィンドウを図3に示します。





図3-ソフトウェアパッケージの結果の中間プレゼンテーション





図4.メッセージファイルのダウンロード結果





図5.ファイルエンコーディングの結果





図6.エラーが入力されたメッセージの出力。





図7.デコード結果とエラーが発生したメッセージの





出力図8.デコードされたメッセージの出力

結論

US NSAは、エシェロングローバルインターセプトシステムの主要なオペレーターです。エシェロンには、世界中にある地上追跡ステーションを含む広範なインフラストラクチャがあります。ほぼすべての世界の情報フローが監視されます。



技術と政治の両方の分野で活発な情報戦争の現在のエンコードされた情報メッセージのセマンティクスへのアクセスを得る可能性の研究は別の挑戦になり、私たちの時代の緊急かつ要求されたタスクの1つになりました。



圧倒的多数のコードでは、メッセージ（情報）のエンコードとデコードは、有限の拡張ガロアフィールドの厳密な数学的基礎に基づいて実装されています。このようなフィールドの要素の操作は、算術で一般的に受け入れられているものとは異なり、計算ツールを使用するときにフィールド要素を操作するための特別な手順を作成する必要があります。

読者の注意を引くために提供された仕事は、一般的な企業、企業、州のレベルでのそのような活動に対する秘密のベールをわずかに開きます。