👨🏼‍🔬 🤴🏼 ❗️ 文字列理論における26/10次元の単純で厳密な証明 👩‍❤️‍👩 🧜 🍻

...どこにも見つかりません。

, . - (26 10 ) , , , . , .

, D- -, D−2 , , ( , ). , 1D- - 2D-, . — , . D-2.

24- . , 24 — . , :

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 23^{2} + 24^{2} = 70^{2}

24, 0 1, . ( , . ). , ( ) ( “” ). 24/2 :

1 + 2 + 3 + 4 + \dots "=" - \frac{1}{12}

, D-2=24. :

1 - 2 + 3 - 4 + \dots "=" \frac{1}{4}

D-2=8. , ( “” ), , , . , - , , . , , , , , — .

−, D-2 = 24? , - 1+2+3+... = -1/12; . , , ζ-, + ( ), , , - . ; , , - “” ? , . ?

, D=26 :

- . / .
- . , , / .
- . .
- . .
- . , .

1.1, . , . 3.1, .

, , . , :

1.2 , , . 2.1 , . 3.2 — , - ( ) , .

, "" ( ), . , , . , .

, — 3.2. , ( ). , . 24 ( 2, 3, 4). 1+2+3+...=-1/12 .

, -. $(σ^{1}, σ^{2})$ . , , , $(σ^{1}, σ^{2}) \to (σ^{1}', σ^{2}')$ . , . () /:

(σ^{1}, σ^{2}) \to (λ σ^{1}, λ σ^{2})

, , . , , . .

, , -. , — . , , , , . , , $e x p (i E_{i} t)$ i, $E_{i}$ , t. ,

Z = \sum_{i} e^{i E_{i} t}

. Z .

, AB A B $Z_{A B} = Z_{A} Z_{B}$ . Z , , D-2, D-2.

, , .

, , , . ,

E_{n} = ω (\frac{1}{2} + n)

? , Z

Z_{Q H O} = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{i E_{n} t} = e^{\frac{i}{2} ω t} \sum_{n = 0}^{\infty} e^{i n ω t} = \frac{e^{\frac{i}{2} ω t}}{1 - e^{i ω t}}

, , , |r| = 1, , . : Z, , ( -) . , , , “”, exp(ix), , , - , — , . , , , .

? . , Z . : , t , ( , ). , ; — , - ( , , t Im t > 0.).

, , , , . ω=1,2,3,... Z 1D-

Z_{1, L} = \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{e^{\frac{i}{2} k t}}{1 - e^{i k t}} = e^{\frac{i}{2} (1 + 2 + 3 + \dots) t} {(\prod_{k} 1 - e^{i k t})}^{- 1}

… . 1+2+3+ ... . , 1+2+3+...→-1/12, , . , , 24 . .

? , , — $E_{0} = \frac{ω}{2}$ . , . , , , p, q $\hat{p}, \hat{q}$ , “” , pq. $\hat{p}, \hat{q}$ ? $\hat{p}, \hat{q}$ ? — . , , , :

Z_{1, L}^{- 1} = e^{- i r t} \prod_{k} 1 - e^{i k t}

r — . , r = 1/24. , :

, , 1 / r — .
, , r = 1/24 , 1+2+3+...=-1/12

, t . , :

t . ( 2π ω=1,2,3,... ). τ=t/2π (+ , , , ):

, τ . : ? . ( , ).

$q := e^{i 2 π τ}$ , $Z_{1, L}$

Z_{1, L}^{- 1} (τ) = q^{r} \prod_{k} (1 - q^{k})

, τ→τ+1,

( !). , .

Z_{1, L}^{- 1} \to e^{2 π i r} Z_{1, L}^{- 1}

… , . D−2 $Z_{1, L}^{D - 2}$ , ,

r (D - 2) = 1

. 1 / r, D = 1/r+2 - .

, r = 1/24, . , .

, , — τ → -1/τ. , — . , 1 -1 / τ, τ 1. , .

, ; $Z_{1, L}^{D - 2}$ . ? $Z_{1, L}^{D - 2}$ ? , , . ( ) , . : , , …

, $Z_{1, L}$ (L “”) $Z_{1, R}$ . , , $Z_{1, R} = Z_{1, L}^{*}$ , $| Z_{1, L}^{D - 2} |^{2}$ .

: “” , . , τ, , ; , , .

, 1D ? , . 1D, , $(t i m e)^{- 1 / 2}$ . , ,

(ℑ τ)^{- 1 / 2}

, ,

Z \sim (ℑ τ)^{- \frac{D - 2}{2}} | Z_{1, L} |^{2 (D - 2)}

τ→−1/τ:

ℑ τ \to \frac{1}{| τ |^{2}} ℑ τ

, $Z_{1, L}$ -

Z_{1, L} \to τ^{- 1 / 2} Z_{1, L}

, . , , r=1/24.

Z_{1, L}^{- 1} (τ) = q^{r} P (τ), P (τ) := \prod_{ℓ = 1}^{\infty} (1 - q^{ℓ})

, P(τ) :

- \log P (τ) = - \sum_{ℓ = 1}^{\infty} \log (1 - q^{ℓ}) = \sum_{l, k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} q^{k ℓ} = \sum_{k = 1} \frac{1}{k} \frac{q^{k}}{1 - q^{k}} = \sum_{k = 1} \frac{1}{k} \frac{1}{q^{- k} - 1}

-log(1-x) . , , ( ) Im τ>0.

(, ). w, τ :

f (w) = \cot w \cot \frac{w}{τ}

, $ν$ ( , ),

g (w) = \frac{f (ν w)}{w}

g. , w=±nkv w=±nktv, k=1,2,3,...; w=0. :

{Res}_{\pm \frac{π k}{ν}} g = \frac{1}{π k} \cot (\frac{π k}{τ}) {Res}_{\pm \frac{π k τ}{ν}} g = \frac{1}{π k} \cot (π k τ) {Res}_{0} g = - \frac{1}{3} (τ + τ^{- 1})

( ) , , $\cot s \sim \frac{1}{s} - \frac{s}{3}$ .

g (w), (τ = i), (ν = 1). — , , .

, g . γ 1,τ,−1,−τ.

\frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ν w)}{w} d ω = \sum_{p \in poles} {Res}_{p} g

, , , , .

, , . τ , , Im τ>0. , , τ , , , . , , τ , .

, . $g (w) = f (ν w) w^{- 1}$ , , . , ν→∞. , f(vw) (1,-1,1,-1) γ ( , ). ,

(\int_{1}^{τ} - \int_{τ}^{- 1} + \int_{- 1}^{- τ} - \int_{- τ}^{1}) \frac{d w}{w}

! 1/w — log w, … ! ! , .

2 (\int_{1}^{τ} + \int_{1}^{- τ}) \frac{d w}{w}

, , , , . ,

4 \log (\frac{τ}{i})

. . ν→∞, ; , , . ,

- \frac{1}{3} (τ + τ^{- 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{π k} \cot (\frac{π k}{τ}) + \frac{1}{π k} \cot (π k τ))

\cot s = \frac{e^{i s} + e^{- i s}}{e^{i s} - e^{- i s}} = \frac{1 + e^{- 2 i s}}{1 - e^{- 2 i s}} = - 1 + \frac{2}{1 - e^{- 2 i s}}

- \frac{1}{3} (τ + τ^{- 1}) + \frac{4}{π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} (\frac{1}{1 - e^{- \frac{2 π i k}{τ}}} - \frac{1}{1 - e^{- 2 π i k τ}}) = - \frac{1}{3} (τ + τ^{- 1}) + \frac{2}{π} (\log P (- 1 / τ) - \log P (τ))

- . P(τ). , , .

\frac{1}{2} \log (\frac{τ}{i}) = - \frac{π i}{12} (τ + τ^{- 1}) - (\log P (τ) - \log (P (- 1 / τ))

! , . , … :

e^{\frac{2 π i / τ}{24}} P (- 1 / τ) = \sqrt{τ / i} e^{\frac{2 π i τ}{24}} P (τ)

, ,

η (τ) := e^{\frac{2 π i τ}{24}} P (τ) = q^{\frac{1}{24}} \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - q^{k})

, τ→-1/τ:

η (- 1 / τ) = \sqrt{\frac{τ}{i}} η (τ)

! ! $Z_{1, L}^{- 1} (τ)$ , , η(τ), r=1/24, ,

D = 26

- , , , , (, , ) . η(τ) — , , , ; , $Δ (τ) := (2 π)^{12} η^{24}$ 12. ; , , , , . , , , -, .

: , 1+2+3+...=-1/12, ζ- / / , , ?

, .

- “ ” “”, , , . , . , , . , / — . - , , 24. , .

, D=26 ( D=10), , , . , , , .

, ,

P (τ) = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - q^{n}) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} (- 1)^{k} q^{k (3 k - 1) / 2}

P (τ) = q^{- 1 / 24} \sum_{k = - \infty}^{\infty} (- 1)^{k} q^{\frac{3}{2} (k - \frac{1}{6})^{2}}

η (τ) = q^{1 / 24} P (τ) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} (- 1)^{k} q^{\frac{3}{2} (k - \frac{1}{6})^{2}}

η $η (- 1 / τ) = \sqrt{τ / i} η (τ)$ .

, , .

文字列理論における26/10次元の単純で厳密な証明

More articles: