決定を下す。例

トピックを続けて、私はこのトピックに関する他のHabr著者の出版物を見たと言います。問題への関心はありますが、誰も理論に入りたくありません。パイオニア発見者のように振る舞う。彼らが新しい結果や成果を受け取ったら素晴らしいのですが、誰もこれを目指して努力していません。



しかし実際には、それはすでに知られているよりも悪いことが判明し、多くの要因が考慮されておらず、理論の結果はそれを行うことを推奨しない場合に使用され、一般的にすべてがそれほど深刻に見えませんが、Habrは理解されるべきですが、これを目指して努力していません。読者はフィルターとして機能することはできず、また機能すべきではありません。

代替案の元のセット、それらの測定と評価

解決策を見つける問題は、選択した複数の代替状況でのみ発生することが知られています。意思決定の状況を考慮し、特定の意思決定問題（DP）を定式化し、それを解決する方法を選択するには、代替案、優先関係に関する初期情報を用意する必要があります。



サブセクションで、それを取得する方法が存在することを示しましょう。代替案には、決定に影響を与える多くのプロパティ（機能）があります。たとえば、オブジェクトのプロパティ（重量、体積、硬度、温度など）の指標は、定量的または定性的です。



Ωからの選択肢のセットのいくつかのプロパティを数値で表すとします。つまり、マッピングψ：Ω→E1が存在します。ここで、E1は実数のセットです。次に、そのようなプロパティはインジケータによって特徴付けられ、数値z =ψ（x）は、インジケータの観点から代替の値（推定値）と呼ばれます。



代替案を評価するには、指標を測定する必要があります。



定義。特定のプロパティのインジケーターの測定は、特定の単位でこのインジケーターの個々のレベルに数値を割り当てることとして理解されます。この場合、測定単位の選択が重要です。



したがって、たとえば、コンテナの一部の体積が最初に立方メートルで測定され、次にリットルで測定された場合、インジケータの本質は変わりません。ユニット数のみが変更されます。これらのプロパティメトリックは、プロパティメトリックの定数値でスケーリング、乗算、または除算できます。



一方、インジケーターがその値でそのような操作を許可しないプロパティがあります。体の加熱の程度は温度によって特徴づけられ、度で測定されます。このインジケーターの値+ 10°および–15°では、温度+ 10°の物体が–15°の物体よりも加熱された回数を判断することはできません。



これらの例から、インデックスのボリュームと温度がさまざまなタイプのプロパティを参照していると結論付けることができます（そして重要です）。z=ψ（x）の値に対して、特定の変換f（z）= f（ψ（x））は許容または許容されません..。



つまり、許容される変換のセットf（z）は、特定の属性（プロパティ）の指標が測定されるスケールのタイプを決定するための基礎として使用されます。研究者によって強調された特徴の指標の1つまたは別の測定を実行することで、測定を実行する必要があるスケールのタイプを決定するタスクに到達します。



この問題を正しく解決しないと、観察結果（測定）を処理する際の誤った取り扱いを認めることができます。これは、インジケーターの値が、特定のタイプのスケールで許可されている一連の変換の範囲外で変換された場合に発生します。



定義。測定スケールは、合意によって受け入れられたさまざまなサイズの同じ値の一連の値です。

スケールの主なタイプをより詳細に検討しましょう。







1.名目上のスケール。名目スケールは、研究者がいくつかの特性によって記述されたオブジェクトを扱うときに使用されます。特定のオブジェクトに機能の特定の値があるかどうかに応じて、オブジェクトは1つまたは別のクラスを参照します。



たとえば、人について話している場合、特徴の値（特徴のスケールは性別の2つの値によって形成されます：男性と女性）により、各人を特定のクラスに明確に割り当てることができます。このため、このスケールはグレーディングスケールと呼ばれます。職業のような標識は、人が、例えば、教師、大工、またはその他の方法で職業の指標の値に従って呼ばれることを可能にする。



この場合のスケールは、すべての職業の名前によって形成されます。明らかに、このスケールでは、ゼロは示されていませんが、主題に職業がないため、職業のない人々のカテゴリーに正確に割り当てることができます。職業の名前は、便宜上アルファベット順に並べられていることが多いですが、このスケールでは決して順序付けられていません。



これらの考慮事項から、このようなスケールはネーミングスケールと呼ばれます。

このスケールでの値の有効な変換は、すべて1対1の関数です：f（x）≠f（y）<=> x≠y。



2.通常のスケール。研究された特性、たとえば、材料の硬度がオブジェクトで異なって現れ、具体的に測定できない値を持っているが、任意の2つのオブジェクトの発現の比較強度を明確に判断できる場合、特性の値は通常のスケールで測定されていると彼らは言います。この典型的な例は、鉱物の硬度です。スケール上の基準点は0ですが定義されていません。



特性値は次のように定義されます。問題のペアのより硬いミネラルは、もう一方に傷を残します。次のように、この特性の値から全てのミネラルが配置されていてもよい第一以上の固体、第難しく、それは最初、三葉、等最初の二つにスクラッチ傷を残す..



特性値が流線を失敗した公称値から順序尺度との間の差、名目上の値は注文することさえできませんが。通常のスケールの欠点は、比例しないことです。



ある鉱物が別の鉱物よりどれだけ、または何倍硬いのかという質問に答えることは不可能です。順序スケールの許容される変換は、次のプロパティを持つすべての単調に増加する関数で構成されます：x≥y=> f（x）≥f（y）。



3.3。インターバルスケール（インターバル）。順序のスケールとは異なり、それらが記述するプロパティについては、同等性と順序の関係だけでなく、プロパティのさまざまな定量的表現間の間隔（差）の合計も意味があります。典型的な例は、時間間隔スケールです。



時間間隔（たとえば、作業期間、学習期間）は加算および減算できますが、イベントの日付を加算しても意味がありません。



別の例として、長さ（距離）のスケール-空間間隔は、ルーラーのゼロを1つのポイントに揃えることによって決定され、読み取りは別のポイントで行われます。このタイプのスケールには、Celsius、Fahrenheit、Reaumurの温度スケールも含まれます。



線形変換は、これらのスケール（x --y）/（z -v）で許容されます。 x∓y;彼らは、数学的期待値、標準偏差、非対称係数、およびオフセットモーメントを見つけるための手順を適用します。



4.差異のスケール（ポイント）差異のスケールは、間隔のスケールがサイズが別のサイズよりも大きいだけでなく、本質的にこれが同じ絶対スケールであるが、その値がどれだけシフトしているかをすでに判断できるという点で、順序のスケールとは異なります絶対値に関連する値（x --y）<（z -v）; x∓y;



5.関係スケール..。許容される変換のセットがすべての類似性変換で構成されるスケールは、関係のスケールと呼ばれます。基準点はこの目盛りに固定されており、測定目盛りを変更することができます。



このスケールでオブジェクトの長さを測定します。この場合、メートル単位の測定からセンチメートル単位の測定に切り替えて、測定単位を100分の1に減らすことができます。明らかに、この場合、同じ単位で測定された2つのオブジェクトAとBの長さL（A）とL（B）の比率は、単位を変更しても変化しません。



このスケールで測定された特性の指標の値は、特性

が別のオブジェクトよりも1つのオブジェクトで何倍強く現れるかという質問に答えることを可能にします。この目的のために、値L（A）/ L（B）= kの比率を考慮する必要があります。



比率が1より大きい場合（k> 1）、最初のオブジェクトAの属性インジケーターの値はBの値のk倍です。k<1の場合、オブジェクトBの属性インジケーターの値はAの値の1 / k倍です。は正の整数による乗算であり、それだけです。



6.絶対スケール。すべてのスケールの中で最も単純なのは、1つの変換f（x）= xのみを許可するスケールです。この状況は、オブジェクトのプロパティのインジケータ、つまりオブジェクトの単純な再カウントを測定する唯一の方法に対応します。



このスケールは絶対スケールと呼ばれます。オブジェクトxを登録するとき、このオブジェクト以外には関心がありません。絶対スケールは、他のいくつかのスケールの特定の実装と見なすことができます。

意思決定タスク。関係のマトリックスを取得する

ZPRの可能な設定をリストします。これらには次のものが含まれます。

• 選択肢の線形順序（チェーンの最上位が最適）。
• 最良の選択肢を強調する。
• 最良の選択肢の（順序付けられていない）サブセットを強調表示します。
• 最良の選択肢の順序付けられたサブセットを強調表示します。
• 代替案の部分的な順序付け。
• 代替案の順序付けられた（部分的に順序付けられた）分割。
• 選択肢の順序付けられていないパーティション（分類）。

さまざまなスケールでの代替案の特性の指標の測定値の分析に基づいて、測定結果をさまざまな方法で提示できます[1、5]。



1.分類表。テーブルは、測定が名目上のスケールで行われたときに取得され、テーブルであり、その行はオブジェクトの名前であり、列はクラスの名前です。$$$X_1, X_2, X_3,$...など。クラス1、クラス2などの列には、オブジェクトがこのクラスに属している場合は1が、属していない場合は0が配置されます（オブジェクトのテーブルクラス）。



クラステーブルでは、オブジェクト $$$x_1 ,x_2 є X_1, x_3 є X_2, x_4 є X_3.$



2.好みの関係のマトリックス。通常のスケールで測定するときに取得されます。オブジェクトのセットの設定を明らかにすることは、オブジェクトxがオブジェクトyよりも好ましい（たとえば、難しい）このセットからのオブジェクトのすべてのペア（x​​、y）のセットを示すことを意味します。選好関係マトリックスは次のように取得されます。（ここ、図2.15を参照）



建設中$$$_{[n×n]}^p$正方形のマトリックス。そのi番目の行はi番目の要素に対応します$$$x_i$ セットΩの、および要素へのj番目の列 $$$x_j$..。i番目の行とj番目の列の交点に、オブジェクトの場合は1が配置されます。$$$x_i$ オブジェクトよりも優先 $$$x_j$、オブジェクトの場合はゼロ $$$x_j$ オブジェクトよりも優先 $$$x_i$、オブジェクトの場合は1/2 $$$x_i$ そして $$$x_j$ 無関心で、何も置かれません-オブジェクトが比較できない場合 $$$x_i$ そして $$$x_j$比較することはできません。



このような優先関係の例を以下のマトリックスに示します。





3.指標の表。関係のスケールで測定するときに取得されます。測定されるインジケーターのプロパティが選択されます。これらの特性の測定が行われ、測定結果が表に記録されます。



列で$$$p_1, p_2, p_3, p_4$ 優先率テーブルには、オブジェクトを評価するためのプロパティインジケーターの値が含まれています $$$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ そして $$$x_7$..。



これらの形式で測定結果を受け取った後、バイナリ関係の理論の十分に発達した装置に依存してZPRを解決するため、結果を関係の形式で表示する必要があります。



優先テーブルのバイナリ関係マトリックスへのマッピングは、次のように実行されます：





選好関係マトリックスから $$$_{[4×4]}^p$表に示されている4つの選択肢について。優先関係はマトリックスになります$$$_{[4×4]}^p$これは次のようになります：





スコアカードの優先率マトリックスへのマッピングは次のとおりです： $$$a_{i,j}=1$、次の場合：

1）オブジェクトが使用するインジケーターの数$$$x_i$ オブジェクトよりも優先 $$$x_j$ オブジェクトが対象とするインジケーターの数よりも多い $$$x_j$ オブジェクトよりも優先 $$$x_i$;



2）オブジェクトの場合$$$x_i$どの指標も可能な限り最小の値を取りません。



3）条件1は、オブジェクトが対象となるインジケーターを意味します$$$x_i$ オブジェクトより悪くない $$$x_j$、検討中のすべての指標の大部分を占めています。



ただし、この条件が満たされている場合は、オブジェクトが対象とする指標に応じて、$$$x_i$ より悪いオブジェクト $$$x_j$、違いは重要です。xを優先する場合のこのようなケースの数を減らすために、条件2が導入されます。

意思決定の問題を解決するための方法

初期データを受け取った後、選択肢のセットに関係Rがあるとします。 $$$Ω= {(x_1, ...,x_n)}$..。そして、タスクは決定を下すことです。主な方法は、代替案の線形順序付け（ランク付け）です。つまり、「最良」から「最悪」まで、価値、適合性、重要性などの降順で代替案をチェーンで構築します。



比率Rは次のようになります。

1. 完全な非一時的な態度;
2. 部分的な順序関係。
3. 線形順序。

関係Rの線形性の場合にのみ、プリファレンスの構造がタスクを満たします。この場合、セットΩからの選択肢のランキングは、順序付けられたセットの線図を作成することによって直接取得されます。図では、代替$$$x_i$、代替よりも厳密に高くなります $$$x_j$必要に応じて。



完全で一時的な関係に対して提起された問題の解決は、代替案をランク付けするための方法（アルゴリズム）を使用して実行され、線形並べ替えアルゴリズムを使用して部分的な順序付けに対して実行されます。これらのアルゴリズムについては、以下の段落で説明します。



選択肢のランキング。関係[Ω、R]が完全で非遷移的であるとします。完全性プロパティは、すべての選択肢が$$$Ω = {(x_1, ...,x_n)}$セットからは互いに比較可能です。非遷移性の存在は、優先グラフG [Ω、R]に輪郭が含まれている場合にのみ可能です。



輪郭の形での論理的な矛盾が排除されるように、関係グラフの構造を変換する必要があります。Rに関連して輪郭があると仮定すると$$$x_1, x_2, …,x_k, x_1,$ 次に、選択肢をランク付けするとき $$$x_1$ 高い位置に配置する必要があります $$$x_2, x_3, …,x_k, x_1,$、これは矛盾につながります。

次のステートメントを紹介しましょう[1,5]。



B 'とB "をG [Ω、R]の形式のグラフの2つの任意の輪郭とします。$$$x_i$ єB 'は要素を支配します $$$x_j$ єB ''、その後任意の要素 $$$x_1$єB '任意の要素が支配的 $$$x_k$єB ''。



この提案により、セットRをm個のサブセットに分割することが可能になります。$$$B_1, B_2, …,B_m$そのような $$$B_i ∩ B_j=∅, ∀i,j є [1, m]; UB_i =Ω.$

したがって、セットの選択肢をランク付けする問題は、2つの段階に分類されます

。1）グラフの輪郭の選択。セットΩのサブセットへの分割$$$B_1, B_2, …,B_m$これらのサブセットのグループ順序。

2）最初の段階で選択された輪郭要素のランク付け。



グラフの輪郭を強調表示するためのアルゴリズムグラフ



の輪郭を見つけるために、簡単なアルゴリズムがあります[1]。なりましょう$$$_{[n×n]}$ グラフG [Ω、R]の隣接行列であり、 $$$_{[n×n]}$–ユニットマトリックス。私たちは形成します$$$_{[n×n]}+ _{[n×n]}$、 $$$(_{[n×n]}+ _{[n×n]})^2$、 $$$(_{[n×n]}+ _{[n×n]})^3$、…一連の行列の次数。その要素は最大で1、2、3…の長さのパスの数を表します。ある値m≤nに対して、次の等式（定常行列）が得られます。

$$$(_{[n×n]}+ _{[n×n]})^m=(_{[n×n]}+_{[n×n]})^{m+1}$..。



グラフ理論[10]から、「定常」行列のすべての同一行の各システムに、1つの輪郭にあるグラフの頂点のサブセットが対応することが知られています。対応する頂点をクラスにグループ化すると、元のセットΩのサブセットへのパーティションが取得されます。$$$B_1, B_2, …,B_m$..。



明らかに、これらのサブセットの中でそのようなサブセットを見つけることができます$$$B_im$このサブセットの要素は、他のサブセットの要素によって支配されないこと。このサブセットは最良と見なされ、優先度の高い順にランキングで1位になります。



次に、同じ原理を使用して残りのサブセットの中から最適なサブセットを見つけ、2番目に配置します。

すべてのサブセットがランキングに入るまで、この手順を続けます。



優先関係Rは、行列によってセットΩに与えられます。$$$_{[6×6]}$..。





関係グラフRを図1に示します。G。





図：D.非遷移関係のグラフR



セットの要素をランク付けする最初の段階を実装するには、グラフG [Ω、R]の輪郭を選択する必要があります。これは、マトリックスが一致するまで、グラフの隣接マトリックスを連続する累乗に上げることによって行われます。



我々が得る$$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})$、 $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2$、 $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^3$..。

次に、マトリックスの増加する累乗を順次計算し、マトリックスの変化が止まるまで、対応する次元の単位マトリックスと合計します。





なぜなら $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2 =(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^3$、私たちはそれを結論付けることができます $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2 = (_{[6×6]}+ _{[6×6]})^k$、k≥2の場合。マトリックスの分析から $$$(_{[6×6]}+ _{[6×6]})^2$ したがって、要素に対応する行 $$$x_1,x_4,x_6$一致すると、これは、これらの要素がグラフG [Ω、R]の同じ輪郭に属していることを示しています。



要素$$$x_1,x_4,x_6$ セットを形成する $$$B_1 =(x_1,x_4,x_6)$..。別の輪郭は要素によって形成されます$$$x_2,x_3,x_5$セットに含まれている $$$B_2 =(x_2,x_3,x_5)$..。



したがって、セットをm = 2クラスに分割しました$$$B_1, B_2$..。これらのサブセットのグループ順序付けを実行してみましょう。これを行うには、いくつかの要素を見つける必要があります$$$x_i є B_1$どの要素が支配的か $$$x_j є B_2$..。



これは、サブセットの優位性を意味します$$$B_1$ 以上 $$$B_2$..。この例では$$$x_1 є B_1$ 支配する $$$x_2 є B_2$..。したがって、サブセット$$$B_1$ 支配する $$$B_2$..。パーティションΩの優位性のグラフ表示を図1に示します。QC。





図：QC。第一段階で選択された輪郭の



ランク付け輪郭の要素をランク付けするためのアルゴリズム。同じ輪郭にある関係の要素を配置することは可能ですか、それらは互いに同等ですか、またはそれらを区別するためにそれらの間に十分に微妙な違いがありますか？そのような可能性は、原則として存在することがわかります[1]。



で示しましょう$$$B_{h_{[n×n]}}$h番目の輪郭の隣接行列。コンセプトを紹介しましょう$$$p^i(k)$は要素iの次数kの力であり、その値は行列のi番目の行の要素の合計として計算されます。 $$$B_{h_{[n×n]}}^k$（1）。



なりましょう$$$b_{h_{[i,j]}}^k$マトリックスのi番目の行とj番目の列の要素は





要素iのk次の相対強度は分数として理解されます



kが無制限に増加すると（k→∞）、 $$$π_i(k)$ある限界πに向かう傾向があり、これをさらに要素iの強度と呼びます。ベクター$$$_{[n]} = (π_1,...,π_n)$限界ベクトルと呼ばれます。



Perron-Frobeniusの定理[1]により、制限は常に存在します。輪郭隣接行列の正規化された固有ベクトルは、その限界ベクトルと一致します。したがって、ベクトル$$$_{[n]} = (π_1,...,π_n)$（2）



積分力を計算せずに見つけることができます$$$p^i(k)$、線形方程式のシステムを解くことによって

$$$B_{h_{[n×n]}} · _{[n]} = λ_{[n]}$、（3）

ここで、λは特性方程式の最大の非負の実根です。

$$$det(λ_{[n×n]}- B_{h_{[n×n]}}) = 0$（4）

非負の分解不可能なマトリックスの正規化された固有ベクトルは、マトリックスに数s> 0を掛けた場合、およびsEの形式のマトリックスと合計した場合は変化しないことに注意してください。



次に、対応するベクトル成分の値を減らすことによって輪郭要素が順序付けられます$$$_{[n]}$、つまり 要素iが要素jを支配する場合$$$π_i >π_j$..。



セットの要素をランク付けします$$$B_1 =(x_1,x_4,x_6)$..。このセットの設定マトリックスを作成しましょう





要素の1次の積分力のベクトル $$$(x_1, x_4, x_6)$（1,1,2）のように見え、相対力のベクトルP（k）=（1 / 4,1 / 4,2 / 4）。

アイテムランキング$$$(x_1, x_4, x_6)$一次強度を図1に示します。R。





図：R.要素のランキング



2次、3次、4次、5次の力を特徴付けるベクトルを見つけましょう。





ランキングのグラフ表示を図1に示します。P。







図C-チェーン



セットB2の要素のランク付けを同様の方法で実行すると、図Cに示す結果が得られます。正しい。



セットÂ1とÂ2の要素のランク付けを組み合わせた結果、セットΩの要素の最終的な順序付けに進みます（図C）。

厳密な部分順序の線形並べ替え

専門家の個々の判断を集約した結果得られた関係R（本文中の図A）を、集合Ωの部分次数関係とします。この場合、Ωは順序付けられたセットです。代替案の線形順序付けの構築は、それらの「能力」のグローバルな評価を通常のスケールで取得することです。



何らかの理由で、一部の専門家は、好みの観点から特定の選択肢のペアを比較することができません。この場合、設定されたΩの集約された関係Rは線形次数ではありません。明らかに、これはΩからの選択肢の線形並べ替えの問題につながります。この並べ替えは、多くの場合、さまざまな方法で可能です。



部分的な順序付けに複数の線形順序付けが存在することは、構造内の「固有の順序付け」が単一の線形順序付けには不十分であることを示しています。したがって、部分的な順序の線形並べ替えの問題を解決する必要があります。 Rを部分的な順序とします。



定理（Spielrein [5、10]）。セットの任意の次数Rは、このセットの線形次数に拡張できます。



Spielreinの定理の結果：サブセットの線形並べ替え$$$Ω_i ⊆ Ω$順序付けられたセットΩ全体の線形並べ替えに拡張できます。



Xが比類のない選択肢からなるΩのサブセットである場合、Xの線形順序は、セットΩ全体の線形順序に拡張できます。この場合、Rの次数は線形次数で表されます。$$$R_i$..。



Spielreinの定理により、Ωのセットには番号付けが存在します。$$$x_1, x_2,...,x_n$このセットの要素。与えられた順序関係Rを持つn要素の順序付けられたセットΩの番号付けは、セットΩのそれ自体への1対1のマッピングです。 {1、2、...、n}では、次数に関して「大きい」要素が大きい数に対応します[5]。以下では、要素のランク付けとは、この順序の線形並べ替えを意味します。順序付けられたセットの番号付けは、その次元を表すことに注意してください。



一般的なケースでは、線形の追加の順序を見つける問題は、元の部分的な順序のセットのすべての許容可能な番号を見つけることになります。 Ωから要素のすべての順列を書き出すことができます。そのうちn個があります。そして、各チェックについて、「大きい」要素が大きい数に対応するという条件を確認します。ただし、すべての追加の注文を見つけるこの方法は、非常に面倒で非効率的です。



与えられた次数Rを持つ順序付けられたセットΩの場合、厳密に大きい要素xがない場合、セットΩの要素x 'は最大と呼ばれます。 x> x 'がxєΩに対して成り立たない場合。要素x ''は、他の要素xよりも大きい場合、つまり、順序付けられたセット[Ω、R]の最大要素と呼ばれます。任意のxєΩに対して、x ''> x [5]。



順序付けられたセットに最大の要素がある場合、それは最大の要素です。順序付けられたセットに単一の最大要素がある場合、それが最大の要素になります。部分的に順序付けられたセットでは、いくつかの最大要素が許可されます。



n要素セットΩの任意の番号付けでは、番号Nが最大要素に割り当てられます。 Ωから取得されたすべてのサブセットのすべての番号付けが、そのような最大要素の1つを削除することによってわかっている場合、セットΩのすべての番号付けを取得できます。同じ手法が各サブセットに適用されます[7]。順序付けられたセット[Ω、R]のすべての番号付けを構築するためのアルゴリズムを検討してください。



1.順序付けられたセット[Ω、R]の補助グラフ[β、γR]が作成され、その頂点は次の条件を満たす。



a）Ωのサブセットです。



b）任意の2つのサブセットX、Yєβについて、それは真です：（X、YєγR）

サブセットYがその最大要素の1つを削除することによってサブセットXから取得できる場合（図AおよびAA）。





2.セットγRの1要素サブセットごとに、固有の番号を書き出します。サブセットXのすべての番号を取得するには、隣接するすべてのサブセットを列挙し、そのようなサブセットごとにすべての番号を継続する必要があります。その結果、設定されたΩのすべての番号が取得されます。次数R



のすべての線形拡張。問題は、部分次数のすべての線形追加順序を見つけることです。その図を図1に示します。A.この点に関して、たとえば、代替案が優勢であるかどうかについての情報はありません。$$$x_1$代替 $$$_2$ またはその逆、およびペアの場合も同様です $$$(_3, _6);(_4, _5)$..。これは、Aが部分的な順序であることを意味します。線形順序付けを完了するには多くの（22）オプションがあり、単一の順序付けにすることが望ましいです。これは、状況の詳細な調査から得られた代替案に関する追加情報を含めることで可能になります。



1.セットから始めて補助グラフ[β、γR]を作成します$$$(x_1, x_2, x_3,x_4, x_5, x_6)$以下。グラフの弧の近くの数字は、この矢印が向けられているサブセットが取得された最大要素を削除することによって示しています（図AA）。



2.テーブルを作成します。グラフの頂点であるサブセットのすべての番号を見つけるためのAAA [β、γR]。テーブルへの入力は、上から下に1行ずつ実行されます。各行は、テーブルの左側の列に記録されているサブセットの番号です（テーブルAAA）。



3. k個の要素で構成されるサブセットXの番号付けを作成する場合、以前に記録された（前のサブセットの）サブセットYєγR（x）の番号付けをすべて書き換え、YをXに補完する要素に番号を割り当てる必要があります。





最後の（下の）ブロック（表AAA）には、セットΩの線形並べ替えのすべての番号が含まれています。これらの並べ替えのグラフ表示を図に示します。AAA。





図：AAA。事前注文のグラフィック表現



6つの要素のセットには6つの線形注文があることに注意してください。または720、および図に示すグラフによって与えられる関係で設定されたΩの線形並べ替え。AA、合計22。これも決定を下すのに十分です。

そのようなオプションの数を減らす機会はありますか？はい、あります。

線形再注文の数を減らすには、追加情報を使用する必要があります。

追加情報

[Ω、R]を初期関係とすると、追加情報は、セットΩの関係δとして表すことができます。ここで、条件（x、y）єδ、つまり、（x> y）は、オブジェクトxがオブジェクトyを支配しているというメッセージとして解釈されます。

比率δは、バイナリ比率δの形式で与えられる、支配に関する情報の同様のメッセージのセットと見なすことができます。追加情報を使用する場合、2つの可能なケースがあります。

1. 関係グラフR∪δには輪郭が含まれています。
2. 関係R∪δのグラフには輪郭が含まれていません。

最初のケースでは、与えられた比率R∪δでのセットΩの線形順序付けは、

前述のランク付けアルゴリズムを使用して実行されます。



2番目のケースでは、比率R∪δが与えられたセットΩの線形順序付けは、

上記で検討した線形再順序付けアルゴリズムを使用して実行されます。輪郭を含まない関係R∪δは非遷移的である可能性があるため、部分的な順序ではないことに注意してください。



この状況から抜け出すためには、追加情報δと初期比Rをハッセ図の形で与える必要があります。一時的なリンクを明示的に示すことなく。追加情報の価値は、それが使用されたときに線形追加注文の数が何倍減少するかによって決定されます。



たとえば、情報を受け取った場合、 $$$x_2$ 支配する $$$x_4$、つまり $$$x_2>x_4$、その後、線形再注文の数は22から19に減少し、情報が到着した場合： $$$x_1>x_2$の場合、線形事前注文の数は半分になります。したがって、疑問が生じます。どの情報が最も価値があるのか​​、またはどの比率δを追加すると、追加の注文の数が最も減少するのでしょうか。



要素のすべてのペアについてこの問題を解決するには$$$(x_i, x_j)$表の下のブロックの関係Rに含まれていないセットΩ。AAA、あなたは計算する必要があります$$$n_{ij}$ -アイテム番号の何倍 $$$x_i$ より多くのアイテム番号 $$$x_j$、つまり 素子$$$x_i$ 要素の上に立つ $$$x_j$ そして $$$n_{ji}$ -アイテムの回数 $$$x_j$ 要素の上に立つ $$$x_i$..。

このペアの関係に関する追加情報の値は高くなり、差は小さくなります$$$|n_{ij} - n_{ji}|$..。数字が大きい$$$n_{ij}, n_{ji}$セットのリオーダー数[Ω、R∩δ]に等しくなります。検討した例では、再注文のグラフィック表現の特性の要約を取得します





表の分析から、最も有用な

情報はペアの関係に関する情報であることがわかります。$$$(x_1, x_2)$ そして $$$(x_4, x_5)$..。これらのペアのいずれかの関係に関する追加情報を取得すると、線形追加順序の数が半分になります。

結論

ZPRの定式化と解決は、多くの選択肢があり、最良のものを選択した場合にのみ可能です。選択の余地がない場合は、現在の道をたどってください。

意思決定者が下す決定は、彼の好みに基づいており、それは好みの関係によって記述されます。関係の存在により、研究用の数学モデルを構築できます。専門家ではない追加情報を使用することにより、好みの不確実性が排除されます。



オブジェクトのプロパティの指標の値の測定と推定の考慮に注意が払われます。しばしば無視されるさまざまなスケールの例が示されています。

ZPRの可能な定式化とそれらの解決に必要な情報がリストされています。



特定の数値例を使用して、統計サンプルや経験的処理方法を使用せずに、ZPRを解決するための代数的方法の適用を示します。

この方法は、部分次数を線形（完全）次数に拡張する可能性に関する定理の結果に基づいています。

中古文献一覧

1. BergeK。グラフ理論とその応用。 -M。：IL、1962 .-- 320p。

2. VaulinAEコンピューターのセキュリティ問題における個別の数学。パートI.SPb。：A.F。Mozhaiskyにちなんで名付けられたVKA、2015 .-- 219p。

3. VaulinAEコンピューターのセキュリティ問題における個別の数学。 II。 SPb。：A.F。Mozhaiskyにちなんで名付けられたVKA、2017 .-- 151p。

4. VaulinAE情報コンピューティングシステムの研究方法。問題2.-L。：VIKIそれら。 A.F. Mozhaisky、1984 .-- 129p。

5. VaulinAEの方法論と情報コンピューティングシステムの分析方法。問題1.– L。：VIKIim。 A.F. Mozhaisky、1981 .-- 117p。

6. Vaulin AEデジタルデータ処理の方法：離散直交変換。 --SPb。：VIKKIそれら。 A.F. Mozhaisky、1993 .-- 106p。

7. KuzminVB明確でファジーなバイナリ関係の空間でのグループソリューションの構築。-M 。：ナウカ、1982年。-168ページ

8. Makarov IM et al。選択と意思決定の理論-モスクワ：Fizmatlit、1982年。–328p。52。

9.ローゼンV.V. 目的-最適性-解決策。-M。：無線と通信、1982年。–169ページ。

10. Szpilraijn E Sur Textension de l'ordrepartiel。--Fundam。math。、1930、vol。16、pp.386-389。