数学者は古代の数値問題との戦いに新たな前線を開いた

何千年もの間、数学者は奇数の完全な数の存在の問題に興味を持ってきました。それを研究する過程で、彼らはこれらの架空のオブジェクトに対する制限の信じられないほどのリストをまとめました。しかし、このスコアに関する新しいアイデアは、それらに近い他のオブジェクトの研究のために現れる可能性があります。

奇数の完全な数が存在する場合、それらはとてつもなく長い制約のリストを満たす必要があります。



高校生として、ペースニールセンは90年代半ばに数学の問題に直面しましたが、それは今日でも苦労しています。しかし、彼は動揺していません。彼を魅了した問題、奇数の完全な数の仮説は、2000年以上も開いたままであり、数学で最も古い未解決の問題の1つになっています。



この長続きする魅力の一部は、言葉遣いの単純さから来ています。数値が正の整数nであり、その除数の合計が数値2nの2倍になる場合、その数値は完全と呼ばれます。最初の最も単純な例は6で、その除数1、2、3、および6の合計は12、つまり2 * 6になります。次に28があり、除数は1、2、4、7、14、28で、合計56になります。次の例は496と8128です。



Leonard Eulerは、18世紀にこの定義を形式化し、数の除数の合計を表す彼のシグマ関数を導入しました。したがって、完全な数の場合、σ（n）= 2nです。





Leonard Eulerは、完全な数を扱うことに関して多くの正式な規則を策定しましたが



、Pythagorasは紀元前500年には完全な数を知っており、2世紀後、Euclidは完全な数を取得するための式を導き出しました。彼は、pと2 ^p -1が素数（除算器は1のみであり、この数自体）である場合、2 ^{p − 1} *（2 ^p -1）が完全な数になることを示しました。たとえば、p = 2の場合、式は2 ¹ *（2 ² --1）、または6になります。p= 3の場合、式は2 ² *（2^3-1）、または28-最初の2つの完全な数値。 2000年後、オイラーは、完全な数のセットが有限であるか無限であるかはまだ不明ですが、この式がすべての完全な数を与えることを証明しました。



現在ブリガムヤング大学の教授であるニールセンは、関連する質問に夢中になりました：奇数の完全な数は存在しますか？西暦100年頃のゲラサのギリシャの数学者ニコマチュスすべての完全な数は偶数でなければならないと述べましたが、誰もこの声明を証明していません。



21世紀の多くの同僚のように、ニールセンは完璧な数はそれほど多くないと信じています。そして、彼らと一緒に、彼はこの仮説の証拠がすぐには得られないと信じています。しかし、6月に彼は出くわしましたこのタスクへの新しいアプローチ、おそらくそれをさらに進めることができます。そして、これまでに発見されたすべての奇数の完全な数に最も近いオブジェクトに関連付けられています。

収縮するウェブ

ニールセンは、学校での数学の競争で最初に完璧な数について学びました。彼は文学を深く掘り下げ、現在ダートマス大学で奉仕している数学者であるカール・ポメランツの1974年の作品に出くわしました。彼は、奇数の完全な数には少なくとも7つの異なる素数が必要であることを証明しました。



「私は素朴で、進歩が可能であれば、この分野で何かできると決めました」とニールセンは言いました。 「大学で数論を学び、進歩を遂げようとするきっかけになりました。」 2003年に発表された奇数の完全な数に関する彼の最初の研究は、これらの仮想的な数に追加の制約を課しました。彼は示したレナードディクソンは1913年に証明してk個の異なる素因子との奇妙な完璧な番号の数だけでなく、有限であることが、また、この数の大きさは2超えてはならないこと^{4 kは}。



そして、これは仮想の奇数の完全な数に課せられた最初でも最後でもありませんでした。たとえば、1888年に、James Sylvesterは、奇数の完全な数を105で割り切れないことを証明しました。1960年に、Carl K. Nortonは、奇数の完全な数が3、5、または7で割り切れない場合、少なくとも27の主要な要因。2003年のポールジェンキンスは証明した最大の素数除数が奇数完全数が奇数完全数が10以上でなければなりませんことを見出した10 000 000パスカルochemより大きいとMihaolラオ、その後でなければならないこと^1500年、その後、10に境界をプッシュ²⁰⁰⁰。 Nielsenは、2015年に、奇数の完全な数には少なくとも10の異なる素数除数が必要であることを示しました。





ブリガム・ヤング大学の数学者、ペース・ニールセン



19世紀でさえ、制限の数は、シルベスターが「奇妙な完全な数の出現-あらゆる側面でそれを取り巻く複雑な条件のネットワークからの一種の脱出-はほとんど奇跡である」と結論付けたほどでした。そのような出来事の100年以上の発展の後、そのような数の存在はさらに多くの疑いを引き起こします。



「1つの例を見つけることができれば、何かの存在を証明するのは簡単です」とダートマスの数学教授であるジョン・ヴォイトは言いました。 「しかし、何かが存在しないことを証明することは非常に難しい場合があります。」



これまでの主なアプローチは、奇数の完全な数を制限するすべての条件を比較して、それらのペアに互換性がないかどうかを確認することでした。つまり、両方の制約を一度に満たすことができる数はありません。 「これまでに得た条件のパッチワークにより、奇数の完全な数値は非常にありそうにありません」と、VoightはSylvesterに反響して言いました。 「そしてペースは何年もの間このリストに新しいアイテムを追加してきました。」



残念ながら、互換性のないプロパティはまだ見つかりませんでした。したがって、奇数の完全な数に対する追加の制限に加えて、数学者はおそらく新しい戦略を必要とするでしょう。



この目的のために、ニールセンはすでに数学者の一般的な戦術に基づいた新しい攻撃計画を検討しています。それは、近親者の研究による多くの数の研究です。直接研究に適した奇数の完全な数がない場合、彼とチームは、実際のものと非常に似ていますが、いくつかの興味深い違いがある奇数の完全な数の「模倣」を研究します。

完璧な数字を理解する

- . σ(n) = 2n, .



:



σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .

σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .







1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .

2. σ(p^a) = 1 + p + p² + … + p^a p a.



:



σ(20) = σ(2² × 5) = σ(2²) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 2²)(1+5) [ ] = 42



σ（28）=σ（2 ² ×7）=σ（2 ²）×σ（7）[最初のルールによる] =（1 + 2 + 2 ²）（1 + 7）[2番目のルールによる] = 56

新しい魅惑的なミス

奇数完全数の最初の模倣はで1638で発見されたルネ・デカルト-と彼は奇数完全数の存在が可能と考え最初の優れた数学者の一人でした。ミズーリ大学の数理論家であるウィリアム・バンクスは、次のように述べています。「デスカルテスは奇妙な完全な数を見つけようとしていたと思います。どうやら、デスカルテスは、彼が作成した数を変更して、実際の奇数の完全な数を取得できることを望んでいたようです。



しかし、カルテシアンの模倣に飛び込む前に、数学者が完全な数をどのように説明するかについて少し理解しておくと役に立ちます。ユークリッドの時間定理は、1より大きい任意の整数は、特定の累乗で累乗された素数の積として表すことができると述べています。例えば、1260は、このように因数分解することができる= 2 1260年² ×3 ² ×5 ¹ ×7 ¹、及び別々に全36個の要因をリストしません。



数値がこの形式になると、オイラーも証明した2つの式のおかげで、除数を合計するオイラーシグマ関数の計算がはるかに簡単になります。最初に、彼は、aとbがコプライムである場合、つまり、共通のプライム除数がない場合にのみ、σ（a×b）=σ（a）×σ（b）であることを示しました。たとえば、14（2×7）と15（3×5）の数字は比較的素数です。次に、彼は、正の整数乗aの任意の素数pについて、σ（p ^a）= 1 + p + p ² +…+ paで^{あることを示しました}。



前の例に戻ると、σ（1 260）=σ（2 ² ×3 ² ×5 ¹ ×7 ¹）=σ（2 ²）×σ（3 ²）×σ（5 ¹）×σ（7 ¹）=（1 + 2 + 2 ²）（1 + 3 + 3 ²）（1 + 5）（1 + 7）= 4368。ケースσ（n）は2nに等しくありません。これは、1260が完全な数ではないことを意味します。





ルネデカルトは完全数の最初の模倣を発見



数198 585 576 189、または3 -今、我々は、デカルト模倣解析できる² ×7 ² ×11 ² ×13 ² ×22 021 ¹。上記の計算を繰り返すことにより、我々は、σ（198 585 576 189）=σ（3見つける² ×7 ² ×11 ² ×13 ² ×22.021 ¹）=（1 + 3 + 3²）（1 + 7 + 7 ²）（1 + 11 + 11 ²）（1 + 13 + 13 ²）（1 + 22.021 ¹）= 397 171152378。これは元の数の2倍に等しいため、本当の完全な数でなければなりません-数22,021だけが素数ではありません。



したがって、この数のDescartesは模倣です。 22,021が素数であると偽って、オイラーの規則をシグマ関数に適用すると、デスカルテスの数は完全な数のように動作します。しかし、22 021は、実際には19の生成物である²、我々は3として正しくデカルトの数を書くことができる場合及び61 ² ×7 ² ×11 ² ×13 ² ×19 ² ×61 ¹の場合、σ（n）は2nに等しくなりません。いくつかのルールを緩和すると、要件を満たしているように見える数が得られます。これが模倣の本質です。



奇数の完全な数の2番目の模倣数を発見するのに361年かかりました。 Voightは1999年にこれを行い、4年後に発見を発表しました。なぜそんなに長いのですか？ 「模倣番号を見つけることは、奇数の完全な番号を見つけることに似ています。どちらも同様に算術的に複雑です」とバンクス氏は述べています。そして、彼らの検索は数学者にとって優先事項ではありませんでした。ただし、Voightは、新しい模倣の検索について書いた、リチャードガイの数理論における未解決の問題からの抜粋に触発されました。ボイトは、試み、そして新たな模倣を見つける終わっ3 ⁴ ×7 ² ×11 ² ×19 ²×（−127）¹、または−22 017975903。Descartes



の例とは異なり、ここではすべての除数が素数ですが、そのうちの1つが負です。したがって、この数値は模倣であり、真の奇数の完全な数値ではありません。

奇数の完全な数をシミュレートする

:



198 585 576 189, 3² × 7² × 11² × 13² × 22 021¹.



-: σ(198 585 576 189) = σ(3² × 7² × 11² × 13² × 22,021¹) = (1 + 3 + 3²)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 13 + 13²)(1 + 22,021¹) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.



22 021 , 19² × 61. .



:



−22 017 975 903, 3⁴ × 7² × 11² × 19² × (−127)¹.



-: σ(−22 017 975 903) = σ(3⁴ × 7⁴ × 11² × 19² × (-127)¹) = (1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 19 + 19²)(1 + (-127)¹) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903



-127 – , – .

ヴォイトは2016年12月にブリガムヤング大学でセミナーを開催した後、ニールセン、ジェンキンスなどとこの数について話し合った。その後まもなく、大学チームは他の模倣品の体系的な計算検索に着手しました。彼らは3のように、最小の拠点と指数を選ぶだろう²、その後、コンピュータは、追加の変種うちコーマ拠点と指数完全数をシミュレートします。ニールセンは、このプロジェクトは単に学生にとって刺激的な研究体験になると判断しましたが、分析の結果は彼の期待を上回りました。

可能性をふるいにかける

チームは、20個のプロセッサを3年間継続して実行した後、6つのベース以下（DescartesとVoightの例を含む合計21）を使用して記述できる完全な数のすべての可能な模倣と、7つの除数を使用した2つのシミュレーションを発見しました。コンピューター上で多数の仕切りを使用してシミュレーションを検索することは、非現実的で時間がかかりました。それにもかかわらず、グループは、これまで知られていなかった模倣の特性を発見するのに十分な例を収集しました。



このグループは、任意の数の基底kに対して、有限数のシミュレーションが存在することを発見しました。これは、真の奇数の完全な数に対するDixonの1913年の結果と一致します。 「しかし、kが無限大になると、模倣の数も無限大になります」とニールセン氏は述べています。このプロジェクトを開始したとき、彼は、その数が無限であることを示すどころか、新しい奇妙な模倣を1つでも発見することを確信していなかったことを考えると、これは予想外だったと彼は付け加えました。



オイラーによって最初に証明された結果から生じるもう1つの驚きは、1つを除いて、奇数の完全な数のすべてのプライムベースは偶数の次数を持たなければならないということです。人は奇妙な学位を持っている必要があります-これはオイラー学位と呼ばれます。ほとんどの数学者は、奇数の完全な数のオイラー度は常に1であると信じていますが、チームはシミュレーションが好きなだけ大きくできることを示しました。



チームは、模倣の定義の要件を緩めることによっていくつかの発見を見つけました。なぜなら、それらを説明するための明確な数学的規則がないためです。それらは、等式σ（n）= 2nを満たさなければならないということだけです。研究者たちは、非プライムベース（デスカルテスの例のように）とネガティブベース（ヴォイトの例のように）の存在を許可しました。しかし、彼らは模倣が同じベースのいくつかを持つことを許可することによってさらに進んだ。一つの基数は、例えば、7かもしれない²及び他の7 ³、およびそれらが別々ではなく、7のように書かれている⁵。またはそれらは理由が模倣3のように、自分自身を繰り返してみましょう² ×7 ² ×7 ² ×13 ¹ ×（-19）²..。用語7 ² ×7 ² 7のように書くことができる⁴修飾シグマ関数の括弧の膨張が異なることになるので、その後シミュレーションが失敗します。



模倣と実際の奇数の完全な数との間に大きな違いがあることを考えると、質問をするかもしれません：前者は後者を見つけるのにどのように役立ちますか？

今後の方法？

ニールセンは、模倣は奇数の完全な数の一般化であると言いました。奇数の完全な数は、模倣を含むより広いファミリ内のサブセットであるため、奇数の完全な数は、模倣のすべてのプロパティに加えて、追加のさらに厳しい制限（たとえば、すべての根拠が単純でなければならないという条件）を持っている必要があります。 ..。



「小さなサブセットについては、大きなセットの動作に従う必要があります」とニールセン氏は述べています。 「したがって、より限定されたクラスに適用されない模倣動作が見つかった場合、奇数の完全な数の可能性を自動的に破棄できます。」たとえば、すべてのシミュレーションが105で割り切れることを示すことができれば（シルベスターが1888年に示したように、奇数の完全な数では不可能です）、問題は解決されます。



しかし、これまでのところ、彼らは成功していません。 「私たちは模倣についての新しい事実を発見しましたが、それらのどれもが奇妙な完全な数の存在を否定していません。この可能性はまだ残っていますが」とニールセンは言いました。現在知られている模造品をさらに分析し、おそらく将来的にそれらのリストを補足することにより、ニールセン（およびこれらの両方の方向性は彼のおかげで発展しています）および他の数学者は模造品の新しい特性を発見できます。



銀行は、このアプローチに価値があると考えています。 「奇数の模倣を調査することは、奇数の完全な数の構造を理解するのに役立つ可能性があります」と彼は言いました。 「そして、奇数の完全な数がない場合、奇数の模倣を研究することはこれの証拠につながる可能性があります。」



奇数の完全な数に関する他の専門家はそれほど楽観的ではありません。ブリガムヤング大学のチームは「素晴らしい仕事をしました」とヴォイトは言いました。「しかし、私たちが奇数の完全な数の問題を攻撃することに近づいているかどうかはわかりません。これは本当に時代を超えた課題であり、今後もそうなるでしょう。」ジョージア大学の数学者である



ポール・ポラックも慎重です。「模造品のリストを見て、それらの特性のいくつかを見ることができれば、どういうわけか、この特性を持つ奇妙な完全な数が存在しないことを証明できればクールです。それはただの夢ですが、それは真実ではないようです。」



ニールセンは成功の可能性はほとんどないことに同意しましたが、この古代の問題を解決するには、数学者はすべてを試さなければなりません。さらに、模倣の研究はまだ始まったばかりです。彼のグループはいくつかの初期の措置を講じており、これらの数値の予期しない特性をすでに発見しています。したがって、彼は模造品の中に追加の「隠された構造」を発見する可能性について楽観的です。



ニールセンは、デスカルテスの元の例を除いて、これまでに見つかったすべての模倣には少なくとも1つの否定的な根拠があるという事実に基づいて、1つのもっともらしい戦術をすでに特定しています。他のすべての模倣が負の底を持たなければならないことを証明する場合、定義上、それらの底は単純で正でなければならないので、これは奇数の完全な数が存在しないことを証明します。



「これはもっと難しい作業のように思えます」とニールセンは、より大きく、より一般的なカテゴリーの数字に触れているので、言った。「しかし、問題を一見難しい問題に変えると、解決策への道が見えることがあります。」



数の理論では、忍耐が必要です—時々、質問は簡単に尋ねられますが、答えるのは難しいです。「あなたは、時には長い間、その仕事について考え、それに特別な注意を払わなければなりません」とニールセンは言いました。-前進しています。私たちは鉱山を掘っています。十分に長く掘れば、ダイヤモンドが見つかることを願っています。」