今週（9月16日から26日）サンクトペテルブルクで（事実上）第61回国際数学オリンピックが始まり、114カ国から622人の学童が参加しました。
そのような最初のオリンピックは1959年にルーマニアで開催され、その後7か国の代表者だけが参加しました。
ロシアは6人の高校生のチームによって代表されています。
学童は6つの問題を解決するために4.5時間の2日間が与えられます。結果を評価している間、問題を解決してコメントで議論することをお勧めします。
過去数年間の結果。
問題1
凸型四辺形ABCDの内側には、等式
∠PAD：∠PBA：∠DPA= 1：2：3 =∠CBP：∠BAP：∠BPCが成り立つような点Pがあります。
次の3本の直線が1点で交差することを証明します：角度∠ADPと∠PCBの内側二等分線とセグメントABに垂直な中点。
問題2
実数を与え、B、C、Dのように0> B> C> D>と+ B + C + D = 1.
ことを証明する
（A + 2B + 3C + 4D）のBのB、Cをc d d <1。
問題3
質量1、2、3、...、4nの4n個の小石 があります。各小石はn色のいずれかで塗装されており、各色の小石は4つあります。 各ヒープに各色の2つの石が含まれるように、石を同じ総重量の2つのヒープに分割できることを証明します。
タスク4
整数n> 1が与えられます。さまざまな高さの山の斜面にn2つのfunicularステーションがあります。 2つのケーブル会社AとBのそれぞれがkリフトを所有しています。各リフトは、あるステーションから別のより高いステーションへの定期的な直接転送を実行します。k個の会社Aの転送がで開始K異なるステーション;それらはまた、終了K異なるステーション、すなわち上記開始及び終了上記転送に。 B社も同様です。2つのステーションが接続されていると言えます。この会社の1つ以上の乗り換えを使用して下の駅から上の駅に行くことができる場合（駅間の他の乗り換えは禁止されています）。両方の会社によって接続された2つのステーションがあることがわかっている最小のkを見つけます。
問題5
ある1枚の> nは正の整数が含まそれぞれがカードは、。
任意の2つのカードについて、それらに書き込まれた数値の算術平均は、1つ以上のカードで構成される特定のセットのカードに書き込まれた数値の幾何学的平均に等しいことが判明しました。カードに書かれているすべての数字が等しいということになるのはどのnですか？
問題6
次のステートメントが成り立つ正の定数cが存在することを証明します
。Sを平面のn> 1点のセットとし、任意の2点間の距離が少なくとも1であるとします。次に、セットSを分離する線ℓがあります。点Sからℓは少なくともcn - 1 / 3です。
（直線ℓは、端がSに属するセグメントと交差する場合、点のセットSを分離します。）
備考。弱い結果CN -1/3置換によりCN -αは、一定の値に応じて推定することができるα> 1/3。