あなたが物理学者またはエンジニアでない限り、部分微分方程式について知る理由はほとんどありません。そして、大学院で機械工学を何年も勉強した後、それ以来、私はそれらを実際の生活で使用していません。
しかし、そのような方程式（以下、簡単にするために、英語の略語PDEを使用します）には、独自の魔法があります。これは、空間と時間の変化を記述するのに非常に優れている数学方程式のカテゴリであり、したがって、私たちの宇宙の物理的現象を記述するのに非常に便利です。惑星の軌道からプレートテクトニクス、飛行を妨げる空気の乱れまで、あらゆるものをモデル化するために使用できます。これにより、地震活動の予測や安全な航空機の設計など、便利なことができます。
問題は、PDEの解決が難しいことで有名です。そしてここでは、「決定」という言葉の意味がおそらくよりよく説明されています。たとえば、新しい飛行機の設計をテストするために、空気の乱れをシミュレートしようとしています。 Navier-Stokes方程式と呼ばれるよく知られたPDEがあります。これは、流体の動きを記述するために使用されます。 Navier-Stokesの式を解くと、いつでも空気の動き（風の状態）の「スナップショット」を撮り、空気がどのように動き続けるか、または以前にどのように動いたかをシミュレートできます。
これらの計算は非常に複雑で計算コストが高いため、多くのPDEを使用する分野では、数学的な計算を実行するためにスーパーコンピューターに依存することがよくあります。これが、AIの専門家がこれらの方程式に特別な関心を持っている理由です。深い学習を使用してソリューションをスピードアップできれば、研究とエンジニアリングに多くのメリットがあります。
Koltechの研究者が新しい深層学習技術を導入以前に開発された深層学習法よりもはるかに正確なPDEを解決するため。この方法は、新しいトレーニングを必要とせずに、あらゆるタイプの流体のNavier-Stokes方程式などのPDEファミリ全体を解決するのに十分に一般化されています。最後に、従来の数式よりも1,000倍高速であるため、スーパーコンピューターへの依存が減り、問題モデリングの計算能力がさらに向上します。そして、これは良いことです。2つあげて！
ハンマータイム
[約。transl。-サブタイトル-ラッパーMCHammerによる「UCan'tTouchThis」への賛辞]
研究者がどのようにそれを行ったかを掘り下げる前に、まず結果を評価しましょう。以下のgifは印象的なデモを示しています。最初の列は、流体の動きの2つのスナップショットを示しています。2番目の列は、流体が実際にどのように動き続けたかを示しています。3番目の列はニューラルネットワークの予測を示しています。基本的には2番目のものと同じように見えます。
この記事はTwitterで大騒ぎになり、ラッパーのMCHammerが再投稿しました。
しかし、科学者がこれをどのように達成したかに戻りましょう。
関数が適合するとき
最初に理解することは、ニューラルネットワークは基本的に近似器であるということです。入力と出力のセットをトレーニングするとき、実際には関数、または1つのデータを別のデータに変換する一連の数学演算を計算しています。猫の検出器を考えてみましょう。グループを1と0として示す、猫の画像やその他の画像を多数フィードすることで、ニューラルネットワークをトレーニングします。次に、ニューラルネットワークは、猫の各画像を1に変換し、他のすべての画像を0に変換する最適な関数を探します。これにより、ネットワークは画像と猫が乗っているかどうか教えてください。彼女は見つかった関数を使用して回答を計算します。トレーニングが成功した場合、ほとんどの場合、認識は正しくなります。
便利なことに、関数近似は、PDEを解くときに必要なものです。最終的には、たとえば、空間と時間における空気粒子の動きを最もよく表す関数を見つける必要があります。
これが仕事の本質です。ニューラルネットワークは通常、ユークリッド空間で定義された入力と出力の間の関数を近似するようにトレーニングされています。これは、x、y、z軸を持つ古典的なグラフです。しかし今回、研究者たちは、波の周波数をプロットするための特別なタイプの空間であるフーリエ空間で入力と出力を定義することにしました。事実、空気の動きのようなものは実際には波の組み合わせとして説明できると、カリフォルニア大学のアニマ・アナンドクマール教授は、同僚のアンドリュー・スチュワート教授とカウシク・バタチャリヤ教授とともに研究を主導したと言います。マクロレベルでの一般的な風向は、非常に長く緩慢な波を伴う低周波数に似ていますが、ミクロレベルで形成される小さな渦は、非常に短くて速い波を伴う高周波数に似ています。
なぜこれがそれほど重要なのですか？なぜなら、ユークリッド空間でPDEを扱うよりも、フーリエ空間でフーリエ関数を近似する方がはるかに簡単だからです。このアプローチにより、ニューラルネットワークの作業が大幅に簡素化されます。これは、精度の大幅な向上も保証します。従来の方法に比べて速度が大幅に向上することに加えて、新しい方法では、以前の深層学習方法と比較して、Navier-Stokes問題を解決する際のエラー率が30％減少します。
これはすべて非常に合理的であり、さらに、この方法には一般化する機能があります。以前の深層学習の方法は、流体の種類ごとに個別にトレーニングする必要があります。この方法の場合、すべての流体に対処するには1回のトレーニングで十分です。これは研究者の実験によって確認されています。彼らはまだ他のメディアへのアプローチを拡張しようとはしていませんが、この方法は、地震関連のPDEを解決するときに地殻を処理したり、熱伝導性関連のPDEを解決するときに材料タイプを処理したりできる必要があります。
スーパーシミュレーション
教員とその大学院生は、理論の楽しみ以上の目的でこの研究を行いました。彼らはAIを新しい科学分野に持ち込みたいと考えています。アナンドクマールが同僚や学生と一緒にPDEの問題を最初に解決したのは、気候学、地震学、材料科学の分野で働くさまざまなプロファイルの従業員との会話のおかげでした。彼らは現在、コルテックとローレンスバークレー国立研究所の仲間の研究者とこの方法を実践するために取り組んでいます。
Anandkumarが特に懸念している研究トピックの1つは、気候変動です。 Navier-Stokesの式は、空気の乱れをシミュレートするだけでなく、非常に適しています。この方程式は、気象モデリングでも使用されます。 「正確で正確な世界の気象予報を作成することは困難です。そして、最大のスーパーコンピューターでさえ、今日の世界の予報を作成することはできません」と彼女は言います。したがって、新しい方法を使用してすべての作業を高速化できれば、大きな影響があります。
「この方法には他にもたくさんの用途があります」と彼女は付け加えます。 「その意味では、これらすべてのアプリケーションでの作業をスピードアップする共通の方法があるため、制限はありません。」
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