有限要素法を使用して複雑な非線形問題を計算するための非線形世界とツール

こんにちは、Habr！この記事のタイトルには「非線形の世界」というフレーズが含まれています...ほとんどの読者はこのフレーズの意味を理解していると思いますが、私はそれを解読します。



実際のシステムは、限られた範囲の負荷にわたってのみ線形と見なすことができます。私たちの周りの現実世界は線形ではありません（図1）。非線形性は、特定の現象（機械システム）における重ね合わせの原則の違反です。因子の合計の作用の結果は、個々の因子の結果の合計と等しくありません。ただし、必要な知識、モデリングスキル、必要なソフトウェアの不足など、さまざまな理由から、エンジニアは線形定式化でのみ問題を解決することがよくあります。線形アプローチで非常に大きなエラーが発生する場合でも。システム動作の正確なモデリングには、多くの場合、非線形分析が必要です。





図：1

前書き

数ヶ月前、私は「非線形有限要素分析について」という記事を公​​開しました。ブラケットの例。"その中で、私は非線形静的分析の意識的な実施に必要な最小限の用語と理論をアクセス可能な方法で説明しようとしました。私は単純な非線形問題を解決するためのアルゴリズムを詳細に分析しました。繰り返しませんが、いくつかの基本的な規定を思い出させます。そして、より複雑な現象、力学の問題、およびこれらの非線形問題を解決するために必要なツールの概要に進みます。



線形の仮定はしばしば有効ですが、今日の製品開発では非線形の計算がますます必要とされています。実験的テストの量を減らすために、ユーザーはより高い精度のモデルを必要としています。幾何学的モデルが洗練され、物理モデルの精度が向上します。これは、接触、大きな変形、材料特性などの非線形効果が考慮されることを意味します。問題の非線形性は、構造の負荷の履歴を考慮する必要があるためである可能性があります。つまり、問題を影響のコンポーネントに分解し、その後の結果の組み合わせは不可能です。これらの影響が考慮されていない場合、決定が不正確になり、誤った結論につながる可能性があります。または、製品は非常に大きな安全マージンで設計されているため、高価になりすぎる可能性があります。



古典的な物理学と数学が1つありますが、計算システムが異なれば、アルゴリズムとツールのセットも異なり、有限要素法によって問題を解決します。この記事では、35年以上にわたって信頼性、正確性、高速性が証明されているNXNastranソルバーを備えたFemapプリポストプロセッサで利用可能なツールについて説明します。構造の負荷履歴を考慮する必要がある場合など、最も複雑な非線形問題を解決するには、マルチステップ非線形マルチステップ非線形ソリューションモジュール（SOL401 / SOL402）が適しています。

連絡先とサブケースの使用

単一のマルチステップソリューション内で、サブケースを使用してサーフェスの接触条件を変更できます。サブケースは個別のソリューションであり、そこから、負荷の適用、境界条件の変更の複雑な履歴を持つ一般的なソリューションを追加できます。たとえば、アセンブリをモデル化するときに、連絡先を順番に追加または削除できます。



接触設定では摩擦を考慮に入れることができ、摩擦係数は一定であるか、速度、温度、および時間によって変化する可能性があります。接触している部品は通常、変形可能と見なされます。ただし、一方の部分がもう一方の部分よりもはるかに剛性がある場合は、重大なエラーなしにタスクを単純化するために、それを剛性と見なす価値があります。また、剛体の強制移動を荷重として剛体部品に加えることができます。



図では図２は、ゴム製のＯリングが超弾性材料によって規定されているモデルを示している。シミュレーションでは、シリンダーに取り付けられているボンネットをシールするために使用されるゴム製のOリングの応力と変位を計算します。効率を向上させるために、モデルは軸対称を使用して構築されます。見える円はOリングの断面です。応力がかかっていないシールリングはシリンダーの直径よりも小さいため、シールリングの初期位置は、シールリングとシリンダーが重なっていることを示しています。最初のシミュレーションステップでは、接触検出のためにオーバーラップが補正されます。つまり、Oリングが放射状に引き伸ばされます。次に、キャップが下げられ、Oリングがシリンダー壁に接触すると変形します。したがって、シールが形成される。





図： 2



有限要素メッシュの幾何学的欠陥は、クリアランスと干渉許容値を調整するか、エッジを滑らかにすることで修正できます。コンバージェンスに問題がある場合は、この問題を解決するための多くのオプションがあります。たとえば、通常の正規化オプションは、接触条件にゴムなどの柔らかい材料が含まれる場合に役立ちます。接線方向の規則化は、摩擦力の不連続性を回避します。さらに、接点での局所的な剛性と減衰はユーザーが制御し、収束を改善するためにも使用できます。次の結果をポストプロセッサで分析できます：接触圧力、通常の距離、スリップ、接触力。



ボルト締め、落下シミュレーション、締まりばめなど、多くの接触アプリケーションがあります。 1D有限要素（ビーム、バー）、2D（平面要素）、または3D要素を使用してボルト締結をモデル化できます。プリロードは、複数のサブケースで実行できます。たとえば、ボルトの締め付けシーケンスをシミュレートする場合などです。プリテンションサブケースは、最初の行だけでなく、任意の順序で実装できます。他のサブケースを分析する場合、計算されたプレストレスは保持されますが、実際のボルト荷重は、さらに荷重を加えると変化する可能性があります。ユーザーは、ソリューション全体で、通常のせん断応力、ボルトモーメントを分析できます。



図では 図3は、次のアセンブリ/ロード/アンロードのシーケンスを分析するためのモデルを示しています。





図：3

座屈後の大きな変位（変形）と分析

大きな線形および角度変位は、基本的な非線形効果です（図4）。これらは、システムが変形するときの荷重位置の変化を考慮に入れています。負荷から製品の剛性を変える効果もあります。座屈ソリューションは、大きなひずみ効果が有効になっている非線形ソリューションです。



荷重により製品の剛性が低下し、荷重のわずかな変化で大きな変形が発生します。臨界座屈荷重を超えた後にシステムを分析するための効率的なアルゴリズムが存在します。





図： 4



座屈後の分析Femapの特殊なタイプの静的サブケースです。標準の準静的分析では、ユーザー定義の法則に従って負荷が増加します。ただし、一定の負荷レベルに達した後の形状が原因で不安定な製品もあります。このような製品は、特定の範囲の負荷で急激に剛性を失います。この種の問題を解決するには、「アーク長」アルゴリズムを使用する必要があります。これは、不安定な曲げ、安定性の喪失の問題を解決するために使用されます。このソリューションでは、曲げ時の座屈の臨界荷重を決定するだけでなく、構造が不安定になった後の構造の動作を分析することもできます。時間の増分に基づいて負荷を変更する代わりに、アルゴリズムは時間ではなく変位に比例して負荷の増分を自動的に変更します。



形状の初期の欠陥は、座屈の問題に大きな影響を及ぼします。形状の欠陥は、ジオメトリ/メッシュの歪みとして説明できます。これは、製造プロセスの欠陥を説明するために使用できます。ユーザーは、意図的に曲がる場所をシミュレートしたり、操作中に受けた損傷をシミュレートしたりできます。

物理的非線形性（材料特性の非線形性）。可塑性、超弾性、強靭性、クリープおよび複合材料

従来の線形分析では、すべての材料が線形で弾性があると見なされます。 Femapマルチステップ非線形ソルバーは、等方性、直交異方性、異方性の動作とともに非線形プロパティをサポートします。可塑性、超弾性、クリープ、損傷など、他のいくつかの非線形材料挙動モデルもサポートされています。固有の材料特性を設定する必要があるユーザーには、オプションで独自の材料モデルを追加するオプションがあります。



プラスチック材料モデルさまざまな設定でシミュレーションを利用できます。ユーザーは、応力-ひずみ曲線を双線形または多重線形として定義できます（図5）。ロード/アンロード効果は、等方性、運動学的、または混合硬化モデルを使用して説明できます。応力-ひずみ曲線は、温度依存性で補足することもできます。したがって、問題を解決する際に温度への特性の依存性を考慮に入れなければならない材料を適切に説明することができます。





図： 5



超弾性材料その特性により、さまざまな業界で広く使用されています。それらはひずみ率とは無関係です。このような材料には、ゴム、フォーム、生物学的およびポリマー材料が含まれます。それらは非常に大きな変形（600％以上）をサポートし、実質的に非圧縮性であり、温度に依存することもあります。ムーニー・リヴリン、マリンズ効果のあるオグデン、フォームモデルの標準素材モデルが利用可能です。図では図６は、シフトノブカバーのモデルを示している。シュラウドの材質は、ムーニー・リブリンモデルを使用して超弾性ゴム材として指定されています。ケーシングの表面は、自己接触するように調整されています。





図： 6



粘弾性材料は、粘度の影響により機械的エネルギーを放散する能力を備えた弾性材料です。



ゴムなどの弾力性のある素材は、負荷を取り除くと瞬時に伸びて元の状態に戻ります。粘度（内部摩擦）は、ボディのある部分が別の部分に対して移動するのに抵抗するボディの特性です。 Femapは、KelvinおよびPronyシリーズの配合で粘弾性材料をサポートします。ケルビンモデルは、荷重を加えた後、一定の限界まで絶えず増加するか、除去した後に徐々に減少する、時間の経過に伴う弾性変形の変化である弾性後遺症の現象を反映しています（図7）。張力が解放されると、材料は徐々に弛緩して変形していない段階になります。ケルビンモデルは、低応力の有機ポリマー、ゴム、木材に使用されます。





図： 7



クリープタイプの変形負荷を変化させることなく、時間の経過とともに発生します。可塑性の場合と同様に、クリープ中の変形は不可逆的（非弾性）であり、クリープ中の材料の挙動は非圧縮性です。

多くの材料は、特に高温条件下で、クリープ変形を受ける可能性があります。 Femapは、標準のBailey-Nortonクリープモデルを使用しており、支配要因の温度依存性を定義できます。



ほとんどの材料では、一定の荷重が作用すると、3段階のクリープが区別されます（図8）。最初の段階では、ひずみ率は時間とともに減少します。この現象は短期間観察されます。より長い第2段階は、一定のひずみ率が特徴です。第3段階では、変形率が急速に増加し、材料が完全に破壊されます（サンプルの破裂）。





図： 8



Femapマルチステップ非線形ソルバーは、層間または層間破壊の結果としての複合材料の非線形挙動をモデル化できます（図9）。



層内破壊の場合、一定の負荷レベルを超えると、個々の層が弱まり、剛性が失われます。ソルバーは、アセンブリ内の各レイヤーの剛性を監視し、レイヤーがさらに損傷するにつれてフィーチャーの剛性を更新します。極端な場合、要素の剛性が完全に失われる可能性があります。層内破壊（一方向または織層の場合）には、繊維の破壊、マトリックスの破壊、マトリックスと繊維の間の結合の破壊など、さまざまなタイプがあります。



層間が破壊されると、製品の層間の結合が弱まり、剛性が失われる可能性があります。Femapは、バインダーを使用してこの動作をモデル化します。シミュレーションは、結合が失われ、レイヤーを切り離すことができる領域を示しています。





図：ナイン

ロード履歴アカウンティング。サブケースを使用したマルチステップソリューション

構造の状態は、負荷の適用順序に依存する場合があります。つまり、問題の非線形性は、構造の負荷の履歴を考慮する必要があるためである可能性があります。初期の応力-ひずみ状態を考慮に入れるだけで十分であるという問題があります（多くの場合、材料の挙動に関連する非線形性の場合）。ただし、力係数と境界条件が異なるいくつかのサブケースで構成される複雑な負荷履歴を考慮する必要がある場合があります。接触領域が変化すると、境界条件が変化する可能性があります。



Femapマルチステップ非線形ソルバーの重要な機能は、複数のサブケースをサポートし、1つのソリューション内の個別のサブケースで静的、動的、モーダルなどのさまざまなソリューションを実行できることです。サブケースで分析タイプを変更することに加えて、パラメーター設定と境界条件を変更することもできます。これにより、ユーザーはソリューションを柔軟にカスタマイズできます。サブケースを使用した一般的なシナリオを次に示します。各サブケースは、前のサブケースが終了した条件で始まります。このサブケースはシーケンシャルと呼ばれます。ただし、ユーザーは、順次サブケースではなく、ソリューションを再開することもできます。



図では図１０は、航空機エンジンの３つの構成要素をモデル化する例を示している：２つのフランジおよびハブは、いくつかの段階で一緒にボルト締めされている。効果的な解決策として、モデルの対称セクターが使用されます。最初のステップでは、1つのフランジとハブの金型からの偏差が分析されます。 2つ目は、フランジとハブを接続するために2本のボルトを締めます。 3番目は2番目のフランジのプレスを調べます。 4番目では、さらに2つのボルトを締めて、2番目のフランジをハブに接続します。次に、5番目のステップで、完全に接続されたパーツの高速回転による負荷を分析します。最後のステップはモーダル解析です。これは、振動応力を予測するために使用されます。この6つのステップの完全なセットは、1回の分析で実行できます。これは、エンジンの応力-ひずみ状態を理解するための豊富なデータセットを提供します。





図： 10



静的サブケースに加えて、動的（一時的）サブケースがサポートされています。このタイプのサブケースは、ソリューションを開始することも、静的サブケースに従うこともできます（図11）。ソリューションを実行するとき、変位または速度の形式の初期条件を適用できます。たとえば、落下をシミュレートするには、衝撃の直前のポイントからソリューションを開始し、初速度を衝撃速度に等しく設定するのが合理的です。動的分析が静的分析またはその他の動的分析に従う場合、サブケースの開始時の偏差、速度、加速度は、前のサブケースの終了時と同じになります。



動的サブケースでは、生成された慣性力、減衰、剛性マトリックス、および力は、加えられた負荷によってバランスが取られます。過渡解析中は、慣性力を無効にすることができます。これは、ソリューションを高速化し、定常状態にするのに非常に役立ちます。





図：十一

キネマティックリンクの動的分析とモデリング

落下シミュレーションは、地面との衝突にどれだけ耐えられるかを確認するために、電子デバイスで実行されることがよくあります。図では図１２は、熱画像カメラが落下したときに発生する衝撃プロセスを示している。ポリカーボネート製のハウジング材料は弾塑性材料としてモデル化され、内部PCBおよび電子部品は線形弾性材料としてモデル化されています。動的解析は、サーマルイメージャーと地面の接触点から始まります。カメラには、落下した高さに対応する初速度が与えられます（この場合は1メートルです）。カメラはすぐに地面にぶつかって跳ね返ります。船体と側面の応力と変形を分析します。





図： 12の



Femapの支援運動学的制約の使用アセンブリのさまざまな部分を接続します。円筒形、球形、剛性、柔軟性のあるガイドなど、基本的なヒンジタイプがサポートされています。

図では 図１３は、円筒形のヒンジによって接続された衛星上にソーラーパネルを配置するプロセスを示している。このモデルを使用すると、振動と応力レベルを推定できます。





図：13

結論

設計モデルと得られた結果を評価するための主な品質基準は、これまでも、そしてこれからも、フィールド実験や分析ソリューションとの比較です。非線形モデルも例外ではありません。シーメンスのFemap開発者は、NAFEMS（International Association for Analysis and Modeling Engineering）テストと分析ソリューションを使用して非線形定式化を検証します。

処方チェックに加えて、アルゴリズムは、改善や拡張が追加されたときのバグを回避するために、テストモデルの大規模なライブラリを使用して定期的にテストされます。



ただし、各エンジニアは、行われた仮定の妥当性、利用可能なソフトウェアツールの正しい使用、および得られた結果の多基準評価の問題に直面しています。



この記事では、現在の非線形問題とその解決のためのツールの概要を説明します。もちろん、この情報は実際に上記の問題を解決し始めるのに十分ではありません。そのため、2020年11月19日12:00に開催される無料のウェビナー「Femapとマルチステップ非線形ソリューションのモジュールの機能MultistepNonlinear」にご招待します。ウェビナーの後半では、材料の可塑性と等方性硬化を考慮して、金属サンプルを伸ばす問題を解決します。NX Nastranを使用したFemap計算コンプレックスの機能の概要をここで 読み、NXNastranを使用したFemapの無料試用版をここからダウンロードできます。 Femapの製品マネージャー 、Philip Titarenko















JSC Nanosoft

Eメール：titarenko@nanocad.ru



参考文献



1. NX Nastranを使用したFemap、Simcenter 3Dマルチステップ非線形ソルバー：SOL401 / SOL402.Multistep Nonlinear（F.V。Titarenkoによる翻訳）。シーメンス。

2.非線形解析のNXNastranハンドブック（ソリューション106および129）。シーメンス。