ビジネスにおける離散フーリエ変換に関連する方法の使用には、大きな可能性があります。この可能性を実現する上での制限要因は、高い方法論的参入障壁です。
仕事の主な焦点：
- 時系列の正しいフーリエ近似のためのデータ要件。
- 予測からの期待の妥当性;
- 複雑な系列を近似するには、高調波の小さなセットで十分です。
- フーリエイベントとは何ですか。
- フーリエイベントがビジネスにどのように、そしてどのように役立つか。
- キャッシュフロー分析におけるフーリエイベント。
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1.予測
この任務は、大手海運会社によって設定され、船種ごとの運賃の予測に関係していました。キャリアは国際的な分析会社の予測に一連のサブスクリプションを持っていましたが、予測の質は彼に合いませんでした。アナリスト企業は重回帰を使用し、長期的な統計を持ち、モデルの次元を継続的に増やしました。同時に、彼ら自身が彼らの予測においてかなり大きな割合の誤りを認めました。
新しい予測の成功を評価するための基準は次のとおりでした。履歴データのフラグメントが与えられ、予測が形成され、すでに達成された将来の予測の精度が計算されます。偶然性はすぐに明確な方法論的問題になりました。米国が2017年まで石油をまったく販売せず、すぐにリーダーになった場合、これが過去のデータに基づく結論にどのように影響するか。その他のイベント：戦争、危機、-予測の観点からは、これらは本質的に同じイベントですが、米国からの石油輸出の状況は、予測方法のイベント要因を却下するために非常に示唆的です（重みは直線性を生み出し、イベントはギャップと特異性を生み出します） ..。
多くの方法が試されてきました。最も興味深いのは、時系列のフーリエ系列近似（Fourier近似）と、ビジネスの予測の観点からのその研究でした。同時に、技術的な問題がありました-常に元のシリーズからの近似のシフトがありました。
2.フーリエ変換のデータの形成
必要な予備的説明。
離散フーリエ変換は、実数値で構成されるベクトルに適用されます。時系列が<time-value>ポイントのセットとして表示される場合、フーリエ変換は時系列値のシーケンスからのベクトルに適用されます。
フーリエ変換を使用することには微妙な点があり、値の数とそれらの間のギャップの特性に関連付けられています。たとえば、元の時系列では、特定の時間位置（週末、休日）の間隔が不均一であるか、値が欠落している可能性があります。
多くの場合、次の手順が役立ちます。元の時系列が最初に補間され、次に、補間された関数から、目的の時間位置で必要な数の値が取得されます。したがって、元の時系列は、必要な数の補間値を持つ、より頻繁な通常の系列に置き換えられます。
以下は、A。Dieckmannによって説明されたアプローチです。
離散フーリエ変換。
実数値のベクトルu = u [r]は、次の式を使用して複素数値のベクトルf [s]に変換されます（F [s、r]には、同等の結果をもたらすいくつかの式があります）：f [s] = u [r] * F [s、r]、ここで
、およびs、rの値は1からnまで変化します。
フーリエスペクトルを取得するために必要なデータ。
結果として得られるベクトルf [s]は、基本高調波の振幅、周波数、および位相に関する情報を含んでいるため、フーリエスペクトルとして解釈できます。
さらに、u [r]の要件があります。間隔が同じサイズの整数ステップの長さである場合、u [r]値は間隔の分割点で指定する必要があります。 r値は、ベクトル内の位置（インデックス）に対応します。一般に、rは時間（時系列）または空間（他の次元）の位置を定義します。
ベクトルu [r]を間隔[tMin、tMax]で定義する必要があり、その長さはtt =（tMax-tMin）であるとします。 delta = tt / nが、u [r]が計算される間隔の隣接するポイント間の距離に対応するとします。
どのプロセスが技術的に行われるべきかを考えてみましょう。
行列F [s、r]の複素指数は、複素平面内を周波数（s-1）/ ttで回転し、（r-に沿って（時間または空間で）順次移動するベクトルプローブ（sに依存）として解釈できます。 1）* tt / n。行列の乗算中に、rに対応するプローブベクトルに特定のu [r]が乗算され、ベクトルの合計がすべてのrに対して計算され、複素数f（s）が得られます。したがって、1からnまでのすべてのsに対して繰り返されます。各f [s]は、sに関連付けられた周波数で振動するコンポーネントの有無を示します。
u [r]はどのように形成されるべきですか？
この時点で、元の時系列が補間され、整数ステップの倍数である選択された間隔で表示されます。正確な近似に十分な数のポイントが経験的に選択されます。
この段階で重要なのは、いくつのポイントをどのポイントを取るかです。nの値はデルタに固定されています。この場合、インターバルパーティションのすべての値に対してn +1ポイントのセットがあります。
u = u [r]では、最初から最後から2番目までのポイントのみを含める必要があり、最後のポイントは含める必要はありません。nのみです。
それ以外の場合、フーリエ近似は元の時系列に対してわずかにシフトします。
3.フーリエ変換の視覚的解釈
フーリエ変換を実際に幅広く適用するには、複雑な式に加えて何が得られるかを感じ、初期データを正しく形成する必要があります。
フーリエ変換が正弦関数にどのように作用するかを考えてみましょう。これを行うには、関数の動作と、フーリエ変換が特定のポイントで、一般に調査中の関数で与える特性を1つのグラフに組み合わせると便利です。
セグメント[0、π]の関数1 + Sin [2πx]について考えてみます。
この関数の振幅は、2π後にその動きを繰り返すため、1Hzに対応します。
n = 20とすると、間隔を等しい部分に分割すると、分割の対応するポイントで21の値を取得できます。ただし、上記の説明に従って、最後のポイントを除いて、20ポイントのみで操作します（上の図では黒のみ）。
rパラメータは横軸に沿って移動し、20個の値があります。 sパラメーターは、速度を（s-1）Hzで定義します。
次の図は、プローブベクトルの回転を示しています。各ベクトルプローブは、値F [s、r]が計算されるポイントu [r]から開始します。プローブベクトルの終わりのパラメータは次のように取得されます。横軸はu [r] * Re [F [s、r]]の積、縦軸はu [r] * Im [F [s、r]]です。
わかりやすくするために、プローブベクトルを最初から最後まで移動するパレットが選択されています。茶色から始まり、緑から青へと続きます
。次の図は、フーリエ変換が計算されたグラフ上のポイントまで減少したプローブベクトルの回転と、隣接するプローブベクトルが直接隣接している場合のパス（ベクトルの合計）を示しています。
縦軸は、元の関数の振幅とフーリエ変換の虚数部を示しています。
横軸は、元の関数とフーリエ変換の実数部の時間間隔でのポイントの位置です。
ベクトルの合計は、プローブベクトルの動きの構成を示します。黒い点は、移動の開始と終了を示します（一致しない場合は別の黒い点）。 s = 3の場合、開始と終了は同じです。 s = 1およびs = 2の場合、開始と終了が一致しません。
開始座標と終了座標、および丸められた値（ゼロに非常に近い）が別々に表示されます。
s値は、テストされた周波数を特徴づけます。
動作には対称性があります。
中心はs = 11です。
対称性の例として、s = 19およびs = 20の図を示します。これらは、s = 3およびs = 2に対して対称です。
20ポイントではなく、最後のポイントを含めて21ポイントを取るとどうなりますか。s = 3の例。これは、s = 3に関連付けられた周波数で振動するコンポーネントの存在を示していますが、元の関数にはそのような振動はありません。元の機能には1Hzの変動しかありません。
上記のプロットはすべて、間隔を正しく分割し、最後の値なしでこれらの間隔のデータをサンプリングすることの重要性を示すことを目的としています。この場合にのみ、元のシリーズの正しいフーリエ近似とその周期的な継続の可能性があります。
フーリエ近似の残りの側面は、参考文献に完全に示されています。
4.リアルタイムシリーズの分析
最初に説明したタスクに戻りましょう。
以下は、出荷する船の価格に関する履歴データのフーリエ近似です。
左側の最初のブロックの各画像には、重要でない寄与をする高調波がどのレベルの振幅値（赤い点線）で切り取られているかを示すグラフがあります。右側の最初のブロックは、振幅を減少させた近似系列の最初の10個の高調波の特性を示しています。
2番目のブロックは、近似に使用される高調波の数を（最大振幅の順に）増加させたプロットで構成されています。近似の結果は赤い点線です。
与えられた時系列に対して、5つの高調波で十分です。
この時系列では、非常に古いデータがあまり重要であると考えない場合は、5つの高調波に制限することができます。
この時系列は、8次高調波によって非常によく近似されています。
この場合、11の高調波を考慮することが望ましいです。
したがって、かなり動的な活動分野（海上輸送用の船の価格）の履歴データは、平均10の高調波で十分に概算できます。
一般に、予測の問題は、既存の未来が何らかのエラーを伴って履歴データのフラグメントから復元された場合、近似の基本的な（いくつかの）高調波がわかっていれば解決されたと見なすことができます。
同時に、フーリエ近似が与える将来の予測が実際には完全に間違っていることは明らかです。これは、フーリエ近似を構築するための透過的なメカニズムによって明らかになります。
重回帰では、予測の信頼性の70％について話すと、すべてが同じですが、不透明な構築メカニズムにより、全体（70％）で予測が正しいことを不当に期待できます。
5.フーリエイベント
フーリエイベントは、重要なイベントと重ね合わされて結合される基本的な循環プロセス（ハーモニクス）があり、これもハーモニクスで表されるという前提で表示されます。
したがって、フーリエ近似のすべての高調波は、プロセスの基本高調波とイベントの高調波の2つの部分に分けられます。基本高調波とイベント高調波の合計が元の系列の適切な近似を与えることを覚えておくことが重要です。
この場合、適切な予測を行うには、基本的なサイクルを把握し、イベントと状況のリストを用意しておくだけで十分です。これに従って、予想されるイベントまたはすでに発生したイベントまたはそのチェーンに基づいてローリング予測を作成する必要があります。しかし、これはわずかに異なり、従来の予測技術ではありません。
フーリエイベントを修正するための次の2つの方法は、方法論的に正当化されます。
最初の方法は、それを近似する高調波のすべての可能な組み合わせの完全な時系列からの減算、および既知のイベントと結果として生じる極値または安定した偏差との比較に関連しています。ほとんどすべての業界には、統計を収集して傾向を確認する分析会社があります（一部の業界では毎週）ので、日付の重要なイベントを見つけることは十分に難しい問題ではありません。
2つ目は、分割方法と呼びます。これは、完全な時系列を異なる長さの期間に分割し、比較可能な高調波によって「類似した」期間を検索することに関連しています。フーリエ近似への説明されたアプローチで、そのようなタスクは完全に自動化することができます。
分割方法は、選択した分割の各コンポーネントからその傾向（線形回帰）を分離するための、分割全体に対して非線形である初期操作があるため、最初の方法とは質的に異なります。
6.フーリエイベントによる石油価格のデータ分析
たとえば、ヨーロッパブレントスポット価格FOBの石油価格を考えてみましょう。出典：トムソンロイター。米国エネルギー情報局。トムソンロイター。データは1987年5月20日から2020年11月10日まで毎日米ドルで表示され
ます。元の時系列。
トレンドを選択します-線形回帰。
トレンドから初期データをクリアします（線形トレンドはいつでも復元できます）。
青いグラフ-生データ。黒はトレンドです。オレンジ-正規化されたデータ（傾向なし）。
近似値を見つけます。
これまでのところ、すべてがあまり良くありません。そのようなシリーズの8次および20次高調波は小さくなります。
30の高調波の場合、結果は非常に許容範囲内です。
フーリエイベントを分離する方法に移りましょう。元の系列を8つの高調波で近似する場合のアプローチの1つを説明しましょう。
8つの高調波のすべての可能な組み合わせを見つけます。それらの255があります。 255の組み合わせのそれぞれについて、元の行と特定の高調波の組み合わせによって生成された構造（行）との間の点差から絶対値を計算します。
新しいシリーズでは、最大値、標準偏差、および値の合計を計算します（他の指標を計算する必要がある可能性があります：平均など）。
図では、これらの指標が順番に示されています。これらは最初の100個の値に対応し、最大の降順で並べ替えられます。
選択した100のうち最初の60を考えてみましょう。次に、（視覚的に）興味深いものを選択します。グラフを以下に示します。写真の下の数字は255の組み合わせの通常の数字に対応しています。灰色のグラフは元の行で、赤い行は高調波の組み合わせからのものです。
「興味深い」と見なされるのは、ビジネスにとって意味のあるタスクです。これまでに行われたことはすべて、単なる標準的な手法です。
最後に何が起こったのか？元の系列によく近似する一連の高調波から、元の時系列に非常によく対応する領域と、明らかな不一致を示す領域の組み合わせを選択しました。これは、この期間中に発生したイベントの分析の候補となる最後のサイトです（すべてのチャートは明示的な日付で毎日です）。
さらに、非常によく隣接するグラフの領域の存在は、反映されたプロセスのダイナミクスの「ノルム」の特性を導き出すための基礎を提供します。
分析の目的は、イベントに対応する高調波を特定することです。逆の問題は、基本的な循環プロセスの選択です。
1つの時系列で表されるプロセスは本質的に複合的であり、グローバルな危機などの高次のイベントに依存する可能性があるため、分割方法は重要です。
7.キャッシュフロー分析におけるフーリエイベント
時系列を分析するプロセスは、周期的なプロセスがそれを支配するという期待に関連しています。一般的に、そのような期待は満たされないかもしれません。重要なのは、そのような周期性の優位性がないということですらありません。時系列が形成される特定の方法のために、その特定の時系列の周期性を検出できない場合があります。
キャッシュフローは別の問題です。実際のところ、生産および商業活動では、ほとんどのプロセスは、最初は形成方法が循環的です。規範からの逸脱は、この周期性に違反するイベントに関連付けられています。キャッシュフローの分析にフーリエイベント法を使用すると、客観的な「基準」と偏差の指標を特定することができます。
フーリエイベントに関しては、キャッシュフロー分析の問題は、人工知能とニューラルネットワーク（機械学習）の方法を適用するためのアルゴリズムです。