法線と逆転置、パート2：共役空間

最初の部分、我々は外部の代数を見て、3Dの法線ベクトルは、バイベクトルとして解釈することができることに気づきました。バイベクトルを変換するには、一般的な場合、通常のベクトルを変換するものとは異なるマトリックスが必要です。バイベクトルの正規基底を使用して、これが隣接行列であり、逆転置に比例することがわかりました。この推論は、法線が逆転置行列によって変換される理由を少なくとも部分的に説明しました。

しかし、いくつかの問題はカーペットの下で一掃されました。

隣接する行列を検討しましたが、平面方程式を変換するための代数的証明とどのように関連するかは示しませんでした。$$$N\cdot x + d = 0$逆転置マトリックスが必要です。マトリックス間の比例関係は、ある意味で、とてつもないものでした。

さらに、私たちはそれを見ました $$$k$-外部代数からのベクトルは、ベクトルの幾何学的オブジェクトに自然な解釈を提供します。これらのオブジェクトには、長さ、面積、体積の単位が含まれ、スケーリングするとそれに応じて変化します。しかし、密度については、このようなものは見つかりませんでした。単位は、長さ、面積、体積に反比例します。

この記事では、絵画を完成させるために必要となる別の幾何学的概念を見ていきます。この新しい概念をすでに研究されている外側の代数とマージすることで、残りの問題が明確になり、解決されます。

ベクトルとして機能します

この記事のほとんどは、さまざまなタイプのベクトルを受け入れて返す関数に焦点を当てています。それを理解するには、精神的な何かをする必要があります。これは、以前に会ったことがない場合は直感に反しているように見えるかもしれません。

ここにあります：ベクトル自体を返す関数はベクトルです

一見、このステートメントは無意味に見えるかもしれません。ベクトルと関数は、リンゴと...椅子のように、まったく異なるものですよね？関数はどのようにして文字通りベクトルになることができますか？

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! $$$f$ $$$g$ $$$h(x) = f(x) + g(x)$ $$$x$ . , : $$$g(x) = a\cdot f(x)$. , , .

: $$$X$ ( , ) $$$V$ — . $$$f: X \to V$ . , , "". .

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$$$V$, $$$\Bbb R^3$, $$$V$ $$$f: V \to \Bbb R$. , .

( : $$$\Bbb R$, . !)

(3D) (2D), / , . :



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— $$$V$ — , : ( ) . $$$V^*$. ( ) .

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, $$$\Bbb R^n$ $$$n$ . . , $$$f$ — $$$\Bbb R^3$ $$$v=(x, y, z)$ — , :

$$

$$\begin{aligned} f(v) &= f(x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z}) \\ &= x \, f({\bf e_x}) + y \, f({\bf e_y}) + z \, f({\bf e_z}) \end{aligned}$$

, $$$(x, y, z)$ $$$\bigl(f({\bf e_x}), f({\bf e_y}), f({\bf e_z}) \bigr)$ — !

, : $$$V^*\times V \to \Bbb R$. .

, , , . , , "" . , — , … .

: $$$\langle w, v \rangle$. $$$w$ — $$$V^*$, $$$v$ — $$$V$. , $$$w$ $$$v$. , — , .

:

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle w, \, x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= x \langle w, {\bf e_x} \rangle + y \langle w, {\bf e_y} \rangle + z \langle w, {\bf e_z} \rangle \end{aligned}$$

, " " , .

$$$V^*$ $$$V$. , $$$\langle w, {\bf e_x} \rangle, \langle w, {\bf e_y} \rangle, \langle w, {\bf e_z} \rangle$ $$$w$ , $$$x, y, z$ $$$V$. $$${\bf e_x^*}, {\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_x} \rangle &= 1 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_y} \rangle &= 0 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_z} \rangle &= 0 \end{aligned}$$

$$${\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$. :

$$

$$\langle {\bf e}_i^*, {\bf e}_j \rangle = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j, \\ 0 & \text{if } i \neq j, \end{cases} \quad i, j \in \{ {\bf x, y, z} \}$$

$$$V$.

, , , . , . , . .

:

$$$w = p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*}$:

$$$w$ $$$v$ . $$$\langle w, v \rangle$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*} + r {\bf e_z^*}, \; x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= px + qy + rz \end{aligned}$$

, ( ), , , .

! "" ( ), ( 3D), ( ). !

— , . ?

: . , . : - . ( , ).

: $$$M$, $$$f(v)$, $$$g(v)$. $$$g$ $$$f$ :

$$

$$g(Mv)=f(v)$$

$$

$$g(v)=f(M^{-1}v)$$

, , .

, $$$M$. " " : $$$M$ .

, , . $$$a>0$, $$$v\mapsto av$. $$$f(v)\mapsto f({v\over a})$ .

, . $$$f(v) = \langle w, v \rangle$ $$$w$, $$$a$ ?

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle \mapsto & \left\langle w, \frac{v}{a} \right\rangle \\ = & \left\langle \frac{w}{a}, v \right\rangle \end{aligned}$$

$$$1/a$ , , . , $$$w$ :

$$

$$w \mapsto \frac{w}{a}$$

! $$$a$ , $$$1/a$. "" "" . , , !

, . , (, , , //) - . ( ), " "" ?"

"". , , - , . .

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. , $$$y$ $$$x$:

$$

$$M = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

:



? : .



, ? $$$\bf e_x^*$. , $$$M$ $$$x$ — . $$$\bf e_x^*$?



$$$\bf e_x^*$ , ! , , $$$x$ , $$$\bf e_x^*$ "" , . , .

, $$$\bf e_x^*$ $$${\bf e_x^*} - \tfrac{1}{2}{\bf e_y^*}$. , , , ,

$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\tfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$$

$$$M$!

, , . , , ( ), . $$$M$ :

$$

$$\det M = \text{ } \cdot \text{ }$$

$$

$$\frac{1}{\text{ }} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{ }$$

.

$$

$$M^{-T} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{}(M)$$

, , .

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, — 2D 3D. , , :

$$

$$\langle w, v \rangle = d$$

$$$w$ .

, $$$\langle w, v \rangle$ , $$$w \cdot v$. :

$$

$$w\cdot v = d$$

, .

, , .

. , , , ? ?

, . " " , , . , : , $$$B \wedge v = d$ $$$\langle w, v \rangle = d$ . : , — .

通常のベクトルの変換について話したかったのはこれだけですが、さらにいくつかの疑問が残ります。最初のパートの終わりに、私はスケールの負の程度について質問しました。これでマイナス1度になりましたが、-2と-3はどうでしょうか。これを理解するには、外側の代数とデュアルスペースを組み合わせる必要があります。これについては、第3部で行います。