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4つの直角を持つ凸状の八角形を作成します。

おそらく、私がそのような任務を与えているという事実は、教師としての私について多くを語っています。私は学生が一貫して直角に並んでいるのを見ています。彼らが失敗したとき、彼らは直角を散らばろうとします。再び失敗すると、彼らはそれらをランダムにポリゴンに挿入します。思考努力中の彼らの脳のガタガタは、先生の耳に聞こえる音楽です。

それから彼らは疑わしくなり、質問を始めます。「あなたは正しい角度について言及しました。たぶん、あなたは本当に3つの角を意味しましたか？」、「あなたは間違いなく凸状のポリゴンを意味しますか？」、「実際には、4つの直角が長方形を形成します。どうすれば八角形にさらに4つの辺を得ることができますか？」私は注意深く耳を傾け、うなずき、彼らの推測を確認します。

最後に、誰かがあえて誰も尋ねなかった質問、私が待っていた質問をします：「ねえ、これも可能ですか？」

この質問には、数学の考え方を変える力があります。特定の条件について狭く考えていた人は、これらの条件がどのように組み合わされるかについてもっと広く考える必要があります。システム内で作業する人は、一歩下がってシステム自体を研究する必要があります。数学の歴史を通して、この質問は何度も聞かれ、ケーニヒスベルクの街を一周するために円を二乗する問題を解決した人々を困惑させてきました。そして、この質問により、数学とは何か、そしてそれをどのように理解するかを定式化することができます。

たとえば、特定のプロパティを持つ八角形を見つけることは、そのような八角形が存在できないことを示すタスクとは大きく異なります。さまざまな八角形を試してみると、4つの直角を持つ八角形に出くわす可能性があります。

これは例ではありません。実際、この八角形には4つの直角がありません。

しかし、運はそのような八角形が存在できないことを証明するのに何の役割も果たしません。ポリゴンだけでなく、数学そのものについての深い知識が必要です。不可能性を説明するために、オブジェクトの存在を単に仮定することはその存在を証明しないことを理解する必要があります。数学的定義、特性、および定理は、それらの相互接続性からの圧力の下で生きています。 4つの直角で八角形を表現しようとするとき、私たちはこれらの相互に関連する規則の範囲内にあります。

しかし、八角形が不可能であることを理解するには、一歩下がって全体像を見る必要があります。4つの直角を持つ八角形によって違反される可能性のある数学的および幾何学的原理は何ですか？ここから始めるのに適した場所は、ポリゴン定理の角度の合計です。 n辺のポリゴンの

内角の合計は、次の式で決定されます。

S =（ n -2）×180º

これは、各 n辺のポリゴンを（n -2）個の三角形にカットでき、それぞれの内角の合計が180度であるために発生しました。

八角形の場合、これはその内角の合計が（8-2）×180º= 6×180º=1080ºであることを意味します。次に、その4つの角がまっすぐである場合、つまりそれぞれが90度である場合、これは合計角度の4×90度= 360度になります。これは、八角形の残りの4つの角に1080º-360º=720ºが残ることを意味します。

これは、残りの4つのコーナーの平均が次のようになることを意味します。

\frac{720 º}{4} = 180 º

$\frac{720º}{4} = 180º$

ただし、凸状ポリゴンの内角は180度未満である必要があり、これは不可能です。 4つの直角を持つ凸状の八角形は存在できません。

この方法で不可能性を証明するには、一歩下がって、ポリゴンの角度の合計の式や凸型ポリゴンの定義など、さまざまな数学的規則が相互に圧力をかけてどのように存在するかを確認する必要があります。また、不可能な証明は一連のルールに対するより広範な推論に依存しているため、そのような証明を作成する方法はいくつかあります。

4つの直角が長方形を構成するという以前の観察に戻りましょう。

ポリゴンの外側の角。

八角形が4つの直角を持ち、これらの角だけを回ると、まるで長方形を完全に歩き回ったかのように、完全な円を描くことになります。この考えは、不可能のさらに別の証拠を提供するルールに私たちを導きます。凸状ポリゴンの外角の合計は常に360°であることが知られています。直角の外角も直角であるため、4つの直角が八角形の外角の合計の360度全体を構成します。つまり、残りの四隅には何も残っておらず、そのような八角形は不可能であることを再び確立しました。

何かが不可能であることを証明することは、強力な数学的イベントです。それは私たちの視点を変え、私たちは規則に従うことから規則を管理することへと移行します。そして、ルールを制御するには、最初にそれらを理解する必要があります。それらを適用する方法だけでなく、それらが適用できない状況も知る必要があります。また、ルールが互いに競合する可能性のある状況を見つけます。八角形を研究する過程で、ポリゴン、凸面、直角、角度の合計の関係を特定しました。そしてこれは、S =（ n -2）×180ºが単なる公式ではないことを強調しています。それは、相反する条件の世界における条件の1つです。

不可能の証拠は、数学のすべての分野をよりよく理解するのに役立ちます。学校では、確率論のレッスンは多くの場合、多くの架空のコインを投げることから始まります。頭や尻尾が浮き上がる傾向のある詐欺コインを作成することをお勧めします。これには、コインを2回フリップすると、2回のフリップの結果が同じになる可能性が高くなります。言い換えれば、あなたは頭と尾または尾と尾よりも頭と尾を投げる可能性が高いです。

実験と精神的な失敗の後、学生は興味深い仮説を思いつきます：異なる結果が同じである可能性が高くなることは決してありません。代数はこれを明らかにし、根底にある対称性を指摘します。

コインが頭に向かってシフトしているとしましょう。頭を得る確率を呼びます

\frac{1}{2} + k

$\frac{1}{2} + k$ どこ

0 < k \leq \frac{1}{2}

$0 < k ≤ \frac{1}{2}$ ..。事実

k > 0

$k > 0$ 、確率で頭が尾よりも可能性が高いことを保証します

\frac{1}{2} - k

$\frac{1}{2} – k$ 2つの確率の合計は1でなければならないので

、コインを2回裏返すと、2つの頭または2つの尾を得る確率は

{(\frac{1}{2} + k)}^{2} + {(\frac{1}{2} - k)}^{2}

$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2}$

ここでは、2つの頭（左側）を取得する確率と2つの尾（右側）を取得する確率を追加します。代数を使用すると、両方のロールで同じ結果が得られる確率を単純化できます。

{(\frac{1}{2} + k)}^{2} + {(\frac{1}{2} - k)}^{2} = \frac{1}{4} + k + k^{2} + \frac{1}{4} - k + k^{2} = \frac{1}{2} + 2 k^{2}

$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2} = \frac{1}{4} + k + k^{2} + \frac{1}{4} – k + k^{2} = \frac{1}{2} + 2k^{2}$

..。

限り

k > 0

$k > 0$ 、私達はことを知っています

\frac{1}{2} + 2 k^{2} > \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} + 2k^2 > \frac{1}{2}$ $は、スローが同じ結果になる可能性が高いことを意味します。実際、

k = 0

$k = 0$ （コインは不正ではありません）、同じ結果の確率は

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 、そのため、スローの結果が異なる可能性もあります

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ..。同じ結果が異なる結果よりも少なくなることは決してありません。

ポリゴン問題の場合と同様に、競合する数学的圧力が働いていることがわかります。コインの片側を取得する確率を変更すると、もう一方を取得する確率が変更され、この相互接続によって、2回のトスの結果の可能性の空間が制御されます。私たちは不可能を達成しようとすることによってこの圧力をさらしました。

数学のどの領域もそのような圧力にさらされる可能性があります。合計で342になる6つの連続する整数を見つけてみてください。そうすれば、永続性によってパリティの理解が深まります。（連続する整数が交互に奇数になり、それらの合計がどのようになるかに影響するという事実。）3つの非実数の根を持つ整数係数を持つ3次多項式を見つけると、共役複素数の重要性がわかります。複素数のペア、積、その合計は常に実数です。また、長方形以外の菱形を円に刻み込もうとすると、周期的な四辺形の重要な特性がわかります。四辺形の反対側の角は、頂点が円上にあり、合計で180度になる必要があります。

不可能に直面することで、数学の世界の境界を探ることができます。それ自体が不可能なのは一種の一般化であるため、一般化を続けるのは自然なことです。八角形は4つの直角を持つことはできませんが、十角形はどうでしょうか。n > 4辺の凸状ポリゴンはどうですか？このような質問は、私たちの数学の世界の境界にぶつかり、理解を深めます。

限界をさらに押し上げると、不可能は新しい数学の世界の創造を刺激するかもしれません。円を二乗することが不可能であることを証明するため（この問題は少なくとも2000年前のものです）、超越数の現代理論が必要であり、それは整数多項式の根にはなり得ません。 7つのケーニヒスベルク橋の問題を解決するために、オイラーは島と橋を頂点と端に変え、グラフ理論とネットワーク理論の広大な領域とそれらの多くのアプリケーションを生み出しました。 -1の平方根を取ることで、まったく新しい算術システムが作成されました。そして、論理学者のKurtGödelは数学を永遠に変え、真実のすべてが真実であることを証明することは不可能であることを証明しました。

したがって、次に数学の問題に直面したときは、「それは可能ですか？」と自問してください。不可能に直面することで、何が可能かをより深く理解することができます。そうすることで、数学の新しい領域を作成することもできます。

演習

1.一辺の長さが46、85、38の三角形の領域を見つけます

。2。

f (x) = 2 x^{3} + b x^{2} + c x + d

$f (x) = 2x^3 + bx^2 + cx + d$ ..。そのような全体を見つける

b

$b$ 、

c

$c$ そして

d

$d$ これで

f (\frac{1}{4}) = 0

$f \left(\frac{1}{4}\right) = 0$ ..。

3.すべての構成番号がセット{2、3、7、8}に属する完全な正方形を見つけます。

回答

回答1

. , , . : 85 38 46. , - .

- -. !

回答2

. , , , (d) (2).

回答3

, . 0, 1, 4, 5, 6 9. . 2, 3, 7 8, , .

いくつかの数学の問題は解決できません、そしてそれは悪いことではありません

演習

回答

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