数学的オリンピック。ウィリアムローウェルパトナム数学コンペティションは、米国とカナダの大学（大学）で勉強している学部生のための数学オリンピックです。オリンピックのインスピレーションは、アメリカの弁護士兼銀行家であるウィリアム・ローウェル・パトナムでした。1938年以来毎年アメリカ数学協会によって開催されています。現金賞は、上位5つのバーシティチーム（25,000ドルの1位賞）と個人競技の25人の上位学生（1,000ドルの1位賞）に授与されます。
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オリンピアドは3時間2回続き、合計12の問題、それぞれ10ポイントです。学生が獲得する平均点は1または2です。このオリンピックで最も難しい問題の1つを考えてみましょう。
球上の4つのランダムな点を選択します。球の中心がこれらの点によって形成される四面体の内側にある確率はどれくらいですか？
この問題の2次元バージョンを考えてみましょう。
円上の3つのランダムな点を考えてみましょう。円の中心が三角形の内側になる確率はどれくらいですか？
2つのポイントを固定して、3番目のポイントで遊ぶことができます。特定のゾーン、つまり中心に対するアンカーポイントの投影があり、条件が満たされるためにはその中に3番目のポイントが含まれている必要があることが簡単にわかります。したがって、円は4つの部分に分割されます。円弧の3番目の点に当たる確率は、円弧の長さと円周の比率に等しくなります。アークの長さはどれくらいですか？
確率は、最初の2つのポイントの位置に応じて、0から0.5の範囲です。
平均確率はいくらですか？
最初のポイントを修正して、2番目のポイントで遊んでみましょう。確率は0から0.5まで変化します。つまり、平均確率は0.25になります。
円と3つのポイントの問題を解決する-25％。
このアプローチを球と4点に移すことは可能ですか？
3点を固定して4点目で遊んでいます。中心を基準にした固定点の投影を描き、球を平面で8つの部分に分割してみましょう。
4番目の点が緑色の球形の三角形に当たる場合、球の中心は四面体の内側になります。これは、中心に対して固定点の「反対」にあります。緑のセクションの平均サイズはどれくらいですか？
//これ以上何も考えないで、即興で。
2次元の場合に戻って、1/4がどこから来たのかを考えることができます。 4はどこから来たのですか？
円上の3つのランダムなポイントから別の問題に進むことができます。 2つのランダムな直径を選択しましょう。次に、直径ごとにコインを投げ、それによって点Piがどこにあるか、直径のどちらの端からかを選択します。次に、円の3番目の点をランダムに選択します。
そして、別の狡猾な動き。
最初に3番目のポイントをランダムに選択し、次に2つの直径をランダムに選択しましょう。ポイントP2P1を配置するための4つのオプションがあります。
ただし、円の中心が三角形の内側にある場合、これら4つのオプションの1つだけに解決策が含まれ
ます。3番目のポイントのランダムな開始位置と2つの直径を選択した場合、オプションの1つだけに三角形の内側の円の中心が含まれます。
これが問題を再定式化した方法です。
球の場合、最初の点を固定して3つの直径を選択した後、点を選択するための8つのオプションがあります。
球の中心が四面体の内側にあるという条件を満たすのは8つのうち1つ だけです。
回答：1/8
- ハードコア線形代数はここにあります：ランダムポイントで原点をキャプチャする：パトナム問題の一般化
- 1992年オリンピックのすべての問題：第53回ウィリアムローウェルパトナム数学コンクール
1992年12月5日土曜日