科学者たちは地質学の普遍的な幾何学を発見しました、そして世界は立方体で構成されていることが判明しました

純粋な数学の演習は、世界の構造についての大規模な理論の作成につながりました

2016年の夏の半ば、ハンガリーの数学者 Gabor Domokosが、フィラデルフィアの地球物理学者であるDouglasJerolmakの家のポーチに足を踏み入れました 。ドモコシュは彼と一緒に旅行スーツケースを持っていました、厳しい寒さと燃える秘密。



少し後、ジェロルマックの妻がタコカートを置いていた裏庭の砂利道を二人の男が歩いた。砕いた石灰岩が足元で砕けました。ドモコシュは彼の足元を指さした。



「これらの石にはそれぞれいくつのファセットがありますか？」 - 彼は尋ねた。それから彼はニヤリと笑った。 「通常は6つあると言ったらどうしますか？」そして、彼はさらに一般的な質問をし、同僚の脳に永久に存在することを望んでいました。世界が立方体でできている場合はどうなりますか？



Djerolmakは最初は反対しました。家はレンガでできているかもしれませんが、地球は石でできています。そして、石の形は明らかに異なります。マイカは砕けて鱗になり、結晶は厳密に定義された軸に沿って壊れます。しかし、ドモコシュは、純粋な数学だけで、ランダムに壊れた石は平均して6つの面と8つの頂点を持つ形状を生成することを意味すると主張しました。それらすべての平均を取ると、ある種の理想的な立方体になる傾向があります。ドモコシュはそれを数学的に証明したと言った。今、彼はこれが自然界でも起こることを彼が示すのを助けるためにジェロルマックを必要としていました。



「それは明確で幾何学的な予測であり、自然から生まれ、物理学はありませんでした」とペンシルベニア大学のジェロルマック教授は述べています。 「どうして自然はこれをまったく許さなかったのですか？」



次の数年にわたって、カップルは幾何学的なアイデアを探求し、岩の微細な断片から地質学的な岩の切り出し、惑星の表面、さらにはプラトのティマエウスの対話まですべてを探求しました 。これらすべてがプロジェクトを神秘主義のタッチでカバーしました。紀元前360年頃の最も偉大な哲学者の一人マップされた5つの プラトニックソリッド宇宙の5つの「要素」：地球、空気、火、水、星の物質。幸運な偶然および/または先見の明によって、プラトは最もよく積み重ねられた立方体を地面と比較しました。 「そして、私は思った-さて、今、私たちはすでに形而上学の領域にわずかに入っている」とジェロルマックは言った。





GaborDomokosとDouglasJerolmak



しかし、彼らは自然界で中程度の立方体と、立方体のようには見えないが同じ理論に従っているいくつかの形態を見つけ続けました。その結果、彼らは新しい数学的プラットフォームを作成しました。物事がどのように崩壊するかを表現する記述言語です。今年公開さ れたタイトルとの共同作業は、ハリーポッターシリーズの難解なボリュームに似ていました：プラトの立方体と断片化の自然な幾何学。



ジャーナルから連絡を受けた数人の地球物理学者は、同じ数学的プラットフォームを、岩盤断層の侵食の研究や危険な地滑りの防止などの他のタスクに使用できると述べています。「それは非常に興味深いです」と、この研究の2人の査読者のうちの1人であるエジンバラ大学の地質学者MikaelAttalは言い ました。別のレビュアーであるヴァンダービルト大学の地球物理学者 DavidFurbischは、「この種の作業では、どういうわけかこれらのアイデアを利用できるかどうか疑問に思います」と述べています。

考えられるすべての障害

フィラデルフィアを訪問するずっと前に、ドモコシュはもっと無害な数学的質問をしていました。



あなたが何かをたくさんの断片に砕いたとしましょう。これでモザイクができました。古代ローマの風呂の床のように、重なり合ったり壊れたりすることなく組み合わせることができる一連の形状です。また、すべての形状が凸状であると想定します。



最初、ドモコシュは、幾何学によってのみ、そのようなモザイクが平均してどのような数字で構成されるかを予測することが可能かどうか疑問に思いました。それから彼はそのような数字の他のすべての可能なセットを説明する方法を学びたかった。



二次元では、この問題を研究するために何かを細かく分割する必要はありません。一枚の紙を取ります。シートを2つに分けてランダムにカットします。次に、これらのポリゴンのそれぞれに1つのカットを作成します。このプロセスを数回繰り返します。各紙の平均頂点数を計算します。



幾何学を研究している人にとって、この質問に対する答えを見つけることはそれほど難しいことではありません。 「私はビールのケースを入れました。数時間でこの処方を手に入れるのを手伝うことができます」とドモコシュは言いました。平均して、ピースには4つの頂点と4つの側面があり、平均的な形状は長方形になります。



同じ問題を3次元で見ることができます。約50年前、ロシアの核物理学者、ノーベル平和賞受賞者、そして後に反対派、 Andrei Dmitrievich Sakharovは、妻と一緒にキャベツを切っていたときに同じ問題について考えました。結果として得られる各ピースには、平均していくつの頂点がありますか？ Sakharovは、このタスクを伝説的なソビエトの数学者Vladimir IgorevichArnoldと彼の学生に引き渡しました 。しかし、彼らは完全な解決策を見つけることができず、彼らの試みはほとんど忘れられていました。





ニュージーランドのモエラキ岩



彼らの仕事について知らなかったドモコシュは証拠を書きました、その答えは立方体でした。しかし、彼はその正しさを確認したかった。彼は、この問題に対する答えがすでに存在する場合、それはドイツの数学者ウォルフガング・ウェイルとロルフ・シュナイダーの理解できない仕事に隠されるべきであると決定しました-幾何学の分野からの80歳の巨人[タイトルはオリジナルには示されていません-明らかに、彼は本「確率論的」を意味します および一体型ジオメトリ"/約。あたり。]。ドモコシュはプロの数学者ですが、本のテキストは彼にとってさえ重すぎました。



「私が必要な本の一部を読み、それを人間に翻訳することに同意した人を見つけました」とドモコシュは言いました。彼はそこにいくつもの次元の定理を見つけました。彼女は、キューブが3次元で回答に表示されることを確認しました。



現在、ドモコッシュは、平らな面または3次元のレンガを切断することによって得られる平均値を見つけました。より一般的な質問が浮上しました。 Domokoshは、平均的な数字だけでなく、潜在的に任意の数字の数学的な記述も作成できることに気づきました。原則として、オブジェクトを分割することでどのような数字のセットを取得できますか？



オブジェクトの崩壊後に得られた図はモザイクであることを思い出してください。それらは重なりや切れ目なしにまとめることができます。シートを切り取った長方形は、2Dモザイクを埋めるように簡単に作成できます。ヘキサゴンもこれが可能です-数学者が「ボロノイ図」と呼ぶ理想的なセットの場合 。ただし、五角形や八角形で舗装することはできません。





火星の幾何学。表面（この場合は火星クレーターのハニカム状の表面）を分析するために、研究者はすべての上面と側面に印を付けます。それらは、各セルの頂点の数と、各頂点が共通しているセルの数をカウントします。



モザイクを正しく分類するために、ドモコッシュはそれらを2つの数字で説明し始めました。 1つ目は、セルあたりの平均頂点数です。 2つ目は、共通の頂点が1つあるさまざまなセルの平均数です。したがって、たとえば、六角形のタイルのモザイクでは、各タイルに6つの頂点があります。そして、各頂点は3つの六角形に共通です。



モザイクでは、これら2つのパラメーターの特定の組み合わせのみが機能し、原則として何かが崩壊する可能性のある小さな範囲の図が得られます。



繰り返しますが、この範囲は2次元で見つけるのは簡単ですが、3次元でははるかに困難です。三次元空間では、立方体は非常によく適合しますが、ボロノイ図の三次元バージョンを形成するものを含む、他のタイプの形状があります。問題を過度に複雑にしないために、ドモコッシュは、共通の頂点を持つ通常の凸状セルのモザイクに自分自身を制限しました。その結果、彼と数学者のZsolt Langyは、考えられるすべての3次元モザイクに適合する曲線をスケッチすることにより、新しい仮説を思いつきました 。彼らはその 作品をExperimentalMathematics誌に発表し、「それから私はそれをすべて私たちの神であるRolfSchneiderに送った」とDomokosは言った。





キューブのスペース。 3次元では、ほとんどの石は、セルごとに8つの頂点を持つ立方体に分割されます。共通の頂点を持つ通常のセルを備えた凸型の許容可能なモザイクのマップは、狭いストリップに収まります。立方体の形状の領域は赤で強調表示されています。

垂直：セルあたりの頂点の数

水平：各頂点の共通セルの数



「どうやってそのような仮説に至ったのか説明する必要があるかどうか彼に尋ねましたが、彼はそれについて知っていると言いました」とドモコシュは笑います。 「世界中のどの雑誌でも記事を受け入れることよりも、私にとって100倍重要でした。」



さらに重要なことに、Domokoshにはプラットフォームがありました。数学は、サーフェスとブロックを分割するすべての方法を分類する方法を提供しました。そして、ジオメトリは、誤って平らな面を壊すと、長方形のようなものに分割されると予測しました。3次元では、分割すると立方体のようなものになります。



しかし、これらすべてが数学者の小さなグループ以外の誰かにとって重要であるためには、ドモコシュは現実の世界もこれらの規則に従っていることを証明しなければなりませんでした。

幾何学から地質学へ

ドモコシュが2016年にフィラデルフィアにいたときまでに、彼は現実の世界との関係で問題を解決する上ですでに何かを達成していました。ブダペスト工科大学の同僚と一緒に、彼らはブダペストにあるハルマシャタールの重い岩から壊れたドロマイトの破片を集めました。数日間、実験室の労働者は、立方体について何の偏見もなく、何百ものピースの面と頂点の数を熱心に数えました。彼はどのような平均スコアを獲得しましたか？ 6つの顔、8つのピーク。 Domokosは、コンピューターシミュレーターのJanosTörokと断片化物理学の専門家であるFerenc Kunとともに、中型の立方体が石膏や石灰岩などの他の種類の岩に現れることを発見しました。



数学と初期の物理的証拠を武器に、ドモコシュは圧倒されたジェロルマックに彼の考えを売り込みました。 「彼は私に催眠術をかけました、そして他のすべてはしばらくの間消えました」とジェロルマックは言いました。



彼らの同盟は新しいものではありませんでした。何年も前に、ドモコシュはゴンボッツの存在を証明することで名声を得ました 。-頑固に一定のバランスポジションに転向するおかしな立体フィギュア。 Gömbötsが実際に存在する可能性があるかどうかを調べるために、彼はこの概念を適用して地球と火星の小石の丸い形を説明するのを手伝ったJerolmakを引き付けました[Vladimir Arnoldはここに手を置いて、初めてそのような体の存在の問題を提起しました/約。あたり。]。今、ドモコシュは、いくつかの理論的な数学的概念を具体的な石に変える手助けを再び求めました。





Gömbötzは、安定した平衡点が1つ、不安定な点が1つある凸型の3次元均質図形です。



夫婦は新しい計画に同意した。自然界にプラトニックキューブが存在することを証明するには、幾何学の偶然の一致と一握りの小石以上のものを示す必要がありました。彼らはすべての岩を見て、抽象的な数学がどのように厄介な地球物理学に浸透し、さらに厄介な現実に浸透するかについての説得力のある理論をスケッチする必要がありました。



最初は、「すべてがうまくいったようだった」とジェロルマックは言った。ドモコシュの数学は、石の破片は平均して立方体であるべきだと予測しました。ますます多くの実際のフラグメントがこの理論に適合するように見えました。しかし、Jerolmakはすぐに、理論を証明するために、規則の例外に対処する必要があることに気づきました。



結局のところ、同じジオメトリにより、他の多くのモザイクパターンを記述することが可能になり、その存在は2次元と3次元の両方で許可されます。 Djerolmakは、長方形や立方体とは異なり、すぐにいくつかの種類の本物の石に名前を付けることができましたが、それでもこのより広範な分類に入れることができます。



おそらく、これらの例は、立方体世界の理論に完全に反論するでしょう。または、おそらくもっと興味深いことに、それらは地質学者が新しいレッスンを学ぶことができる特別な機会にのみ現れるでしょう。 「私はそれがどこでも機能しないことを知っていると言いました、そして私は理由を知る必要があります」とJerolmakは言いました。



次の数年で、大西洋の両側で作業しているJerolmakと彼のチームは、石片の実際の例がDomokoshプラットフォームのどこに落ちたかを正確に示し始めました。本質的に2次元の表面（アラスカのパーマフロストのひび割れ、ドロマイトの露頭、花崗岩のブロックのひび割れ）を調べたところ、カットペーパーのように、平均して4つの側面と4つの頂点を持つポリゴンが見つかりました。これらの地質学的現象のそれぞれは、岩が単に割れたところに現れているように見えました。この分野では、ドモコシュの予測が実現しました。





タイルの宇宙。平面を完全に覆う可能性のあるすべての凸型タイルは、タイル上の頂点の平均数（y軸）および1つの頂点を分割するセルの平均数（x軸）に対してプロットできます。実際の例：

6-巨人の舗装、7-アラスカのパーマフロスト、8-乾燥した泥、9-花崗岩の表面。



しかし、ジェロルマックの希望に応えた平面のタイプが1つありました。それは、独自の歴史を持つ例外でした。汚れで覆われた平らな面は乾き、ひびが入り、濡れ、締め、そして再びひびが入ります。このような表面のセルには、平均して6つの側面と6つの頂点があります。これはほぼ六角形のボロノイ図です。同様の外観は、溶岩が固化した後に現れた岩の表面を持ち、それは表面から下に固化します。



興味深いことに、他の力の影響下で形成されるのは、これらのシステムを押し込むのではなく、押し出すシステムです。幾何学は地質学的特徴を明らかにします。JerolmakとDomokoshは、そのようなVoronoiダイアグラムは、非常にまれではありますが、以前に研究したよりもはるかに大きなスケールで表示される可能性があると信じていました。





ボロノイ図は、平面を別々のセクションに分割します。各セクションは、開始点に最も近いすべての点で構成されます。

クラストを数える

開発中、チームはブダペストで会い、モデルに実際の例をもっと含めるために必死に3日間を費やしました。 Djerolmakはすぐに、コンピューター画面に新しいパターンをもたらしました。それは、地球の構造プレートのモザイクです。プレートは、惑星の表面のほぼ2次元のスキンであるリソスフィア上にあります。パターンは見覚えがあり、ジェロルマックは他の人にそれを賞賛するよう呼びかけました。 「私たちは皆ショックを受けました」と彼は言いました。



一見すると、平面図は、正方形のグリッドではなく、ボロノイ図の傾向があるように見えます。そして、チームが計算を行いました。平面上の六角形の理想的なボロノイモザイクでは、各セルに6つの頂点が必要です。実際の構造プレートには、平均5.77のピークがありました。



この時点で、地球物理学者はすでに勝利を祝うことができました。しかし、数学は私には合いませんでした。 「ダグの気分は高まっていました。彼は常連のように働いた-とドモコシュは言った。 「そして翌日、私はこの分裂について考えていたので動揺しました。」



夕方、ドモコシュは家に帰りましたが、それでもこの違いに食い尽くされていました。彼は再びすべての数字を書き留めた。そして突然、啓示が彼に降りかかった。六角形のモザイクは平面を舗装することができます。しかし、地球は平らではありません-少なくともYouTubeで物議を醸しているいくつかのコーナーの外では。五角形と六角形で構成されたサッカーボールを想像してみてください。 Domokoshは、球面を考慮してデータを処理し、ボール上で、Voronoiモザイクセルが平均5.77個の頂点を持つ必要があることを発見しました。



このアイデアは、研究者が地球物理学における重要で未解決の問題の1つを解決するのに役立ちました。それは、地球の構造プレートがどのように形成されるのかということです。これらのプレートは、マントルの奥深くを移動する対流の副産物であると考える人もいます。彼らの反対者は、地球の地殻は別のシステムであると信じています。それは膨張し、もろくなり、壊れました。泥の皮のように見えるボロノイ図にスラブを一致させることは、2番目の理論を支持するかもしれないとジェロルマックは言った。「それはまた、その仕事がいかに重要であるかという感覚を私に与えました」とアタルは言いました。「驚異的」

重要な瞬間

3次元では、キューブルールにいくつかの例外がありました。そして、それらもまた、外側に押し出される異常な力をシミュレートすることによって説明することができます。明らかに非立方体の形成の1つは、波が数万の玄武岩柱に衝突する北アイルランドの海岸にあります。アイルランドでは、それはClochánnabhFomhórachと呼ばれ 、超自然的な存在のための石の道です。英語では「巨人の橋」と呼ばれてい ます。



これらの柱と他の同様の火山の形成が六角形であることが重要です。しかし、タイロックのシミュレーションから判断すると、この舗装に似たモザイクは、火山岩が冷えた後、ボロノイ図の2次元ベースから成長した単なる3次元構造です。





北アイルランドの巨人の橋



チームは、全体像を捉えると、ひびの入った石のモザイクのほとんどは、プラトンの長方形、2Dボロノイ図、およびすべてを使用して分類できると主張しています-3次元のプラトンの立方体。それぞれのパターンは、独自の地質学的ストーリーを伝えることができます。そして、はい、いくつかの特殊性を考えると、世界は立方体でできていると言えます。



「彼らは彼らのモデルを現実に対して正当に検証した」とノースカロライナ大学の科学科学者であるマーサ・キャリー・エップスは述べた 。 「私の最初の懐疑論は薄れました。」



「数学によれば、私たちが岩を砕いたとしても、偶然または故意に、私たちが望むものは何でも、私たちにはまだ限られた選択肢しかありません」とファービッシュは言いました。 「それは賢くないですか？」



おそらく、たとえば、割れた岩で構成される実際の場所を取り、頂点と面を数え、そこで起こっていた地質学的プロセスについて結論を出すことができるでしょう。



「場所によっては、この問題をこの角度から見ることができるデータがあります」と、ペンシルベニア州立大学の地質学者であるローマン・ディバヤスは述べてい ます。 「巨人の舗装のように、ハンマーで石を叩いて破片がどのように見えるかを見るだけで、明らかではないことから結論を引き出すことができれば、それは素晴らしいことです。」



プラトンの固体との接続は偶然である可能性があると最初は信じていたジェロルマックは、今ではこの仮説を受け入れました。結局のところ、ギリシャの哲学者は、宇宙の知識には正しい幾何学的形態が必要であると信じていましたが、それ自体は目には見えず、歪んだ影の形でしか現れません。



「これは文字通りあなたが考えることができる最も明白な例です。これらすべての観測値の統計的平均は立方体である、とJerolmakは述べています。「しかし、そのような立方体は見つかりません。」