🤚🏻 🍫 🧜🏾 素数の分布のパターン 👩🏿‍🎨 📁 😽

前書き

素数は、正確に2つの異なる自然除数（1つとそれ自体）を持つ自然数です。そのような数は非常に興味深いものです。事実、素数が自然数の列に配置されるパターンを完全に理解して説明することはできませんでした。

私たちの時代の前でさえ、ユークリッドは素数に関する最初の定理を定式化し、証明しました。それ以来、ガウス、フェルマット、リーマン、オイラーなどの数学者は研究を続けており、私たちは彼らに敬意を表して大きな進歩を遂げました。プライムの多くの興味深い特性が発見され、多くの仮定がなされ、そのいくつかは証明されています。ただし、素数に関連する多くの仮説はまだ根拠がありません。

素数の分布

その解決策が素数に関連するほとんどの質問の解決策に自動的につながる主なタスクは、次のとおりです。

次の素数の繰り返し式を取得する

$p_ {n + 1} = f（n、p_1、p_2、...、p_n）、$

p _n - n番目の素数（p ₁ = 2、p ₂ = 3、p ₃ = 5、...）

与えられた値を超えない素数の数に関して関連する問題があります：

点xでの値がセグメント[ 1、x ]の素数の数に等しい関数p（x）を見つけます。ここで、xは1以上の任意の実数です。

この関数 $\ pi（x）$ は、素数分布関数と呼ばれます。

上記の問題を解決するための多くのアプローチがあります。それらのいくつかを考えてみましょう。

, ( , ).

, , , , .

p₁ =2. 2, 2k+1, k – . — .

p₂ = 3. 3m+1, 3m+2, m – . , . , 2k+1.

$\ begin {array} {} {2k + 1 = 3m + 1、\\ 2k + 1 = 2m + 2、} \ end {array}$

k m , p₃ p = 6t + 1 , p = 6t + 5 , t – .

, :

$\ begin {array} {} {5 = 6 * 0 + 5、\\ 7 = 6 * 1 + 1、\\ 11 = 6 * 1 + 5、\\ 13 = 6 * 2 + 1.} \ end {アレイ}$

, 6t+1 6t+5 . , 25 = 6 * 4 + 1 .

p₃ = 5. , , 5, p₁ = 2 p₂ = 3, , p₄

$\ begin {array} {} {p = 30t + 1、\; \; \; \; \; \; p = 30t + 11、\\ p = 30t + 7、\; \; \; \; \; \; p = 30t + 17、\\ p = 30t + 13、\; \; \; \; p = 30t + 23、\\ p = 30t + 19、\; \; \; \; p = 30t + 29} \ end {array}$

p₄, p₅ .. , , .

, . , . , , .

, . F(x) , x p₁, p₂, …, p_n. ? ( ), p₁, p₂, … , p_n - p_n+1 ( ). , F(p_n+1 -1) = 1 ( — ), F(p_n+1) = 2 ( p_n+1). , F(x) , p_n+1.

, F(x)? . , p₁, p₂, …, p_n?

p₁ = 2. , $\ frac {1} {2}$ p₁.

3. , $\ frac {1} {3}$ p₂. , 2 3 .

, 2, 3

$1- \ frac {1} {p_1}-\ frac {1} {p_2} + \ frac {1} {p_1 * p_2} = 1- \ frac {1} {2}-\ frac {1} {3} + \ frac {1} {2 * 3}。$

, :

$（1- \ frac {1} {p_1}）（1- \ frac {1} {p_2}）$

, p₁, p₂, …, p_n,

$1- \ frac {1} {p_1}-\ frac {1} {p_2} -...- \ frac {1} {p_n} + \ frac {1} {p_1 * p_2} + \ frac {1} { p_1 * p_3} + ... + \ frac {1} {p_ {n-1} * p_ {n}}-\ frac {1} {p_1 * p_2 * p_3} -... +（-1）^ n \ frac {1} {p_1 * p_2 * ... * p_n}。$

$P（n）=（1- \ frac {1} {p_1}）（1- \ frac {1} {p_2}）（1- \ frac {1} {p_3}）...（1- \ frac { 1} {p_n}）\ qquad \ qquad（1）$

P(n). , (n→∞), .

, F（x）= x * P（n） . , P(n) n . n 1 N, N - , P(n), .

? (1), , , p_n, $\ frac {1} {p_n}$ . . , 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. 4 9 . , $\ frac {4} {9}$ $\ frac {1} {2}$ . , , .

. , (, ) p_n+1- . , — . , , .

$n * ln（n）+ n * ln（ln（n））-\ frac {3} {2} n <p_n <n * ln（n）+ n * ln（ln（n））$

n, 6.

$\ frac {x} {ln（x）} <\ pi（x）<1.25506 \ frac {x} {ln（x）}$

$\ pi（x）$ , - . , , . , .

. , , , , . - , .

. ( ). :

, 2, ?

2. -

p , p + 2 ?

, ?

p .

, 2020 . .

1.

: () ().

: , 5, .

2013 . 133 .

: , , .

, .

, . , . . 11 . .

: , , , ? . N, , .

$K \ geq N$ . p₁ p₂, K = p_1 + p_2 . , , , . p₁ – . — 2. , $2 + p_2 = K \右矢印p_2 = K-2$ . , K-2 ( K ) . N, , , N-2, . . , $\ pi（n）\ sim \ frac {n} {2}$ n→ ∞. , $\ pi（n）\ sim n * ln（n）$ n→ ∞.