あなたが数学者ならクリスマスツリーを作る方法

2021年のHabrとHabrazhateliに明けましておめでとうございます。気取らない、心地よい機能的なクリスマスツリー（fYolka）を私たち全員にプレゼントしてください。この記事では、モニター上でクリスマスツリーを10分で作成する方法を説明します。2番目の記事では、雪だるまを「成形」し、木の下にギフトを置き、その上に雪をまぶす方法について説明します。

基本的な考え方

図全体は、xとyの2つの引数からの数学関数のセットです。それらはすべて、何らかの形でSDFに基づいています。Desmos.comを使用してグラフを描画しました。

基本機能

ゼロ制限

$x + \左| x \右|$

楕円

$\ frac {\左（x-2 \右）^ {2}} {3} + \ frac {\左（y-3 \右）^ {2}} {1} = 1$

クリスマスツリー

ツリーの基礎を説明しましょう

$-\左（y-13 \右）-2 \左| x \右| = 0$

ブランチを追加する

$-0.2 \ cos \ left（6.8y \ right）\ left（y-13 \ right）-2 \ left | x \ right | = 0$

枝の先端を地面に持ってきてください

$-0.2 \ cos \ left（6.8y + 0.7 \ left | x \ right | \ right）\ left（y-13 \ right）-2 \ left | x \ right | = 0$

スプルースを上から制限します

$-0.2 \ cos \ left（6.8y + 0.7 \ left | x \ right | \ right）\ left（y-13 \ right）-2 \ left | x \ right | -0.51 \ left（y + \ left | y \右| \右）= 0$

スプルースが下に移動しました。これは後で修正されます

平行ストローク：下からの制限

リミッタ

$2x = 5 \左（y- \左| y-2 \右| \右）$

この段階の結果

$-0.2 \ cos \ left（6.8y + 0.7 \ left | x \ right | \ right）-2 \ left | x \ right | +5 \ left（y- \ left | y-2 \ right | \ right）= 0$

組み合わせる

$-0.2 \ cos \ left（6.8y + 0.7 \ left | x \ right | \ right）\ left（y-13 \ right）-2 \ left | x \ right | -0.51 \ left（y + \ left | y \右| \右）+5 \左（y- \左| y-2 \右| \右）= 0$

最後の仕上げ

$2-0.2 \ cos \ left（6.8y + 0.7 \ left | x \ right | \ right）\ left（y-13 \ right）-2 \ left | x \ right | -0.51 \ left（y + \ left | y \右| \右）+5 \左（y- \左| y-2 \右| \右）= 0$

トランクに対処しましょう

角が鋭い楕円

$\ 0.1x ^ {10} +30 \左（y-1 \右）^ {10} -1 = 0$

オブジェクトを組み合わせる

ユニオン、交差、カットは、最も単純な最小（a、b）操作に基づいています。aとbの前の符号に応じて、異なるブール演算が取得されます。

葉-a（xy）、トランク-b（xy）

$-a \ le0、b \ le0$

最終

$\ min \ left（-a、b \ right）\ le0$

desmos.comに埋め込むすべての式

a = 2-0.2 \ cos \ left（6.8y + 0.7 \ left | x \ right | \ right）\ left（y-13 \ right）-2 \ left | x \ right | -0.51 \ left（y + \ left | y \右| \右）+5 \左（y- \左| y-2 \右| \右）

b \ = \ 0.1x ^ {10} +30 \左（y-1 \右）^ {10} -1

\ min \ left（-a、\ b \ right）\ le0

つづく...

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