長い間、数学者はフェンスに縛られた放牧ヤギの問題を解決しようとしてきました。しかし今まで、彼らは大まかな解決策しか提供できませんでした。
これがあなたのための簡単な タスクです。正確に知られている牧草地が囲まれた、円の形をしたヘッジを想像してみてください。中にヤギを入れて、ロープでフェンスに結びます。ヤギがこのエリアのちょうど半分にアクセスできるようにするには、どのくらいの期間ロープが必要ですか？
それは高校の幾何学の割り当てのように見えます-しかし、プロの数学者とアマチュアは270年以上の間異なる処方でそれについて考えてきました。この問題のいくつかの変種はうまく解決されましたが、円の中のヤギについての謎は、漠然とした不完全な答えしか与えてくれませんでした。
今日まで、「基本的な質問に対する正確な答えを誰も知りませんでした」とマーク・マイヤーソンは言い ました。、米国海軍アカデミーの数学者。「解決策は常に大まかなものでした。」
しかし、2020年にドイツの数学者IngoUllischがついに 進歩を遂げました。彼は、信じられているように、この問題の最初の正確な解決策を見つけました-それは非常に面倒で理解できないように見えますが。
「これは私が知っている最初の正確なロープの長さの表現です」とカーネギーメロン大学の数学者であるマイケルハリソンは言い ました。「これは間違いなく画期的なことです。」
Ullischは、彼の決定が教科書を消し去ったり、数学革命を推進したりしないことを認めています。このタスクは分離されています。「それは他の問題とは関係がなく、数学理論には含まれていません。」しかし、そのような謎がいくつかの新しい数学的アイデアを生み出す可能性、または研究者が他の問題への他のアプローチを見つけるのを助ける可能性は常にあります。
納屋とその周辺
このタイプの最初の問題は、1748年にロンドンの定期的な女性誌The Ladies Diary：Or、The Woman's Almanack [Lady's Diary、or Women'sAlmanac]に掲載されました。雑誌は「芸術と科学の新たな改善とたくさんの楽しい小さなこと」を約束しました。
元のシナリオでは、公園のひもで馬が草を食んでいます。タスクでは、馬はフェンスの外で結ばれました。ロープの長さがフェンスの周囲と一致する場合、馬はどの領域をかすめることができますか？後に、このタスクは「外側」と呼ばれました。これは、その中の牧草地が円の内側ではなく外側にあったためです。
パズルの答えは1749年号に掲載されました。答えは、とりわけ「研究と対数表」のリファレンスブックに基づいて、1人の「Mr.Heath」によって編集されました。彼は答えを出しました：160ヤードのロープで76,257.86平方ヤード。そして、これは大まかな答えであり、正確な計算ではありませんでした。 ：私たちは例を挙げて説明しましょうあなたがおおよその数値答えを書くことができます方程式xに 2のx = 1.4142 = 0 2を、が、これは正確またはX =√2として満足のいくようではありません- 。
この問題は、1894年にAmerican Mathematical Monthlyの創刊号に再び現れ、動物がフェンスの内側をかすめる場合のために改訂されました。このタイプのタスクは「内部」と呼ばれ、平均して外部よりも困難であるとUllisch氏は説明しました。外部の問題では、円の半径とロープの長さから始めて、面積を計算できます。それは積分によって解くことができます。
「特定の領域から始めて、どの入力がそれにつながるかを尋ねるという反対方向にそれを解決することは、はるかに困難です」とUllischは言いました。
その後の数十年間で、月に1回発行された内部問題のさまざまなバージョンで、主にヤギではなく馬（および少なくとも1つの場合はラバ）が関係していました。円形、正方形、楕円形のフェンスがありました。しかし、1960年代に、不思議な理由で、ヤギは徐々に文学で馬に取って代わり始めました。数学者のマーシャル・フレイザーによれば、ヤギは「独立しすぎてひもにつないで生きることができない」という事実にもかかわらず。
高次元のヤギ
1984年、フレーザーは問題を平坦な牧歌的なテーマからより複雑な風景に移すことで創造的になりました。彼は、nが無限大に近づいたときに、ヤギがn次元の球のちょうど半分の体積でかすめるのに必要なロープの長さを 計算しました。マイヤーソンは彼の推論に論理的な誤りを見つけ、同じ年の後半に それを修正しましたが、同じ結論に達しました。 nが無限大に近づくと、球の半径に対するロープの長さの比率は√2になる傾向があります。
マイヤーソン氏は、草のある畑ではなく多次元空間で問題を説明するこの一見複雑な方法により、実際には解決策を見つけるのが容易になったと述べました。 「無数の次元で正確な答えがあり、2つの次元でそのような明確な解決策は存在しません。」
放牧ヤギには2種類の問題があります。どちらも丸いフェンスに結び付けられたヤギに関連付けられています。内部バージョンは、囲まれた領域のちょうど半分にアクセスできるようにするロープの長さについて尋ねます。外部は、ロープの長さとフェンスの半径を指定して、ヤギがアクセスできる領域を尋ねます（写真では、ロープの長さはフェンスの円周に等しい）。
1998年、米国海軍アカデミーの別の数学者であるMichael Hoffmanは、ニュースグループで外部の問題の例に出くわしたときに、問題を別の方向に拡大しました。そのバージョンでは、円形のサイロの外側に結び付けられた雄牛が利用できる領域を推定する必要がありました。問題はホフマンに興味があり、彼はそれを円だけでなく、楕円や閉じていない曲線を含む滑らかな凸状の曲線に一般化することにしました。
「単純なケースの問題ステートメントに直面したとき、数学者はそれを一般化する方法を理解しようとします」とホフマンは言いました。
ホフマンは、長さLのハーネスが曲線の長さの半分以下である場合を検討しました。最初に、彼はロープが結ばれる接線を描きました。雄牛はπLの領域に半円に放牧することができる 2/ 2接線で囲まれています。次にホフマンは 、積分によって接線と曲線の間の正確な面積を計算しました。
その後、 ランカスター大学の数学者であるグラハム・ジェイムソンと彼の息子ニコラスは、3次元で内部問題の詳細な解決策を考え出しました。あまり人気がなかったので、彼らはこの機会を選びました。ヤギは3次元で簡単に移動できないため、ジェイムソンはこのタスクを2017年の論文で「鳥の問題」と呼んでい ます。これは次のように聞こえます。鳥を球形のケージに結び付ける場合、ロープの動きをその体積のちょうど半分に制限するには、ロープの長さをどのくらいにする必要がありますか？
「3次元の問題は、実際には2次元の問題よりも簡単に解決できます」とJamesonSr氏は述べています。その結果、カップルは正確な解決策を思いついた。しかし、ジェイムソンの言葉では、答えの数学的形式は「正確だがひどい」であり、経験の浅い研究者を怖がらせる可能性があるため、彼らは「鳥の愛好家が楽しむ」ロープの長さを定量化する大まかな計算方法も考案しました。
ヤギを手に入れよう
それにもかかわらず、1894年の定式化における二次元問題の正確な解決は、2020年にUllischの作品が登場するまで、数学者を避けました。 Ullishは、彼がまだ子供だった2001年に、親戚からこの仕事について最初に聞いた。彼は2017年に作業を開始し、ミュンスターにあるウェストファリアのウィルヘルム大学から博士号を取得しました。彼は新しいアプローチを試すことにしました。
その時までに、ヤギの問題が単一の超越方程式に還元される可能性があることはよく知られていました 。これには、定義上、正弦や余弦などの三角測量の用語が含まれます。多くの超越方程式を解くことができないため、これは問題を引き起こす可能性があります。たとえば、方程式x = cos（x）には正確な解はありません。
インゴウリッシュ
しかし、Ullishは、より準拠した超越方程式を提供するように問題を定式化しました。sin（β）-βcos（β）-π/ 2 =0。また、アクセスできないように見えるかもしれませんが、複合体を使用してアプローチできることに気づきました。 分析-複雑な数の方程式に分析ツールを適用する数学の一分野。包括的な分析は何世紀にもわたって行われてきましたが、彼の知る限り、空腹のヤギにこのアプローチを採用したのはUllishが最初でした。
この戦略で、彼は彼の超越的な方程式を、ヤギが限られた領域の半分でかすめることを可能にするロープの長さの同等の表現に変えることができました。つまり、彼は最終的に正確な数式を使用して質問に答えました。
この問題の解決策は、2つの曲線積分の比率の余弦の形で与えられます（Wikipediaの式）
残念ながら、落とし穴があります。Ullischの解は、2の平方根のような単純な表現ではありません。これは、異なる三角関数と混合された2つの曲線積分の比率のような複雑なものです。実用的な観点からは、ヤギの鎖の長さを正確に知ることはできません。農業に当てはまる答えを得るには、まだいくつかの大まかな計算を行う必要があります。
しかし、Ullishは、それがそれほど美しく単純でなくても、正確な解決策は価値があると考えています。「数値または近似値のみを使用する場合、ソリューションの性質の本質を理解することはできません」と彼は言いました。「この式により、ソリューションがどのように導き出されるかを理解できます。」
ヤギをあきらめないでください
今のところ、Ullishは次にどこに行くべきかわからないので、放牧ヤギを脇に置いています。しかし、他の数学者はすでに独自のアイデアを開発しています。たとえば、ハリソンは、Mathematics Magazineに掲載するための論文を準備しています。そこでは、ヤギの問題の3次元の一般化に取り組むために、球の特性を調査しています。
「数学では、すでに解決された問題であっても、答えを得るための新しい方法を考え出すことがしばしば役立つ」とマイヤーソン氏は述べた。
これが、数学者が架空の動物に多くのインクを費やした理由です。 「私の本能は、放牧ヤギの問題に取り組むことは私たちに突破口を与えないだろうと私たちに教えてくれます」とハリソンは言いました。新しい数学はどこからでも生まれます。」
ホフマンはもっと楽観的です。 Ullischの超越方程式は、ホフマンが2017年の論文で研究した超越方程式に関連してい ます。彼は今度は、新しい観点から従来の方法を示した1953年の仕事のおかげでそれらに興味を持つようになり ました。このアプローチは、Ullischが複雑な分析でよく知られた方法を新しい条件（この場合は進行の問題）の超越方程式にどのように適用したかを思い出させます。
「数学で根本的な進歩を遂げた人々は、すべての進歩に責任があるわけではない」とホフマン氏は語った。「時々、誰かが古典的なアプローチを研究し、それらの中にパズルを解く新しい方法を見つけ、それが最終的に新しい結果につながる可能性があるという事実によって行きます。」