数学者はヒルベルトの13番目の問題を復活させます

長い間解決されると考えられていた7次の多項式に関するDavidHilbertの質問は、研究者のための数学的接続の新しいネットワークを開きました。

数学で成功することはまれです。ベンソンファーブに聞いてください 。



「数学の問題は、90％の確率で失敗することであり、それを受け入れることができる人でなければなりません」とファーブはかつて友人と夕食を共にしました。数学者でもあるゲストの1人が、ファーブが10％の確率で成功したことに驚いたとき、ファーブは「いいえ、いいえ、成功率を大幅に誇張しました」と認めました。



シカゴ大学のトポロジー学者であるファーブは、彼の最近の挫折に喜んで会いました-しかし、公平に言えば、それは完全に彼の功績ではありませんでした。質問は、逆説的に解決されたものと解決されていないもの、開いたものと閉じたものの問題に関連しています。



問題は、20世紀の初めに解決されなかった23の数学の問題のうちの 13番目です。次に、ドイツの数学者 David Hilbertが このリストを作成しました。これは、彼の意見では、数学の未来を決定するものでした。この問題は、7次の多項式を解くことに関連しています。多項式は方程式の項のシーケンスであり、各項は数値係数と1乗された変数で構成されます。項は、加算と減算によって相互に接続されます。 7度は、すべての変数の最大の指数を意味します。



数学者は、2次、3次、場合によっては4次の方程式を巧みかつ迅速に解くことをすでに学んでいます。これらの式（2次のよく知られた2次式を含む）には、代数演算、つまり算術演算と根の抽出が含まれます。しかし、指数が大きいほど、方程式が混乱し、解くのがますます難しくなります。ヒルベルトの13番目の問題は、7次方程式の解が、最大2つの変数の加算、減算、乗算、除算、および代数関数のセットで表現できるかどうかという問題です。





1900年、David Gilbertは、23の重大な未解決の問題のリストをまとめました。



回答：おそらくそうではありません。ただし、Farbの場合、これは複雑な代数式を解くだけの問題ではありません。彼は、問題13は数学の最も基本的な問題の1つであると述べました。それは、多項式がどれほど複雑で、どのように測定できるかという深い疑問を提起するからです。 「多項式の根をよりよく理解するために、現代の数学の全層が発明されました」とファーブ氏は述べています。



この問題は彼とカリフォルニア大学アーバイン校の数学者 ジェシー・ウルフソンを数学的なウサギの穴に引きずり込みました。彼らはその動きを今でも研究しています。彼女はまた、ハーバード大学の数論者であり、ファーブの旧友であるマーク・キッシンを発掘調査に持ち込んだ 。



ファーブは、ヒルベルトの13番目の問題をまだ解決していないか、解決に近づいていることを認めました。しかし、彼らはほぼ絶滅した数学的戦略を発掘し、複素解析、トポロジー、数論、表現論、代数幾何学など、さまざまな知識分野への問題のリンクを調査しました 。彼らは独自のアプローチを適用しました。特に、多項式と幾何学を組み合わせ、ヒルベルトの質問に対する可能な回答の範囲を狭めました。また、彼らの研究は、複雑さの測定基準によって多項式を分類する方法を提案しています。これは、クラスPとNPの同等性という未解決の問題に関連する複雑さのクラスの類似物です 。



ジョージア大学の数学者であるダニエル・リットは、「彼らは実際に、興味からより興味深いバージョンの興味を引き出すことができました」と述べています。「彼らは数学界に多くの自然で興味深い質問を示しています。」

開いた、閉じた、再開した

多くの数学者はすでに問題が解決したと考えていました。 1950年代後半、優秀なソビエトの科学者 ウラジーミル・イゴレビッチ・アーノルドと彼の師である アンドレイ・ニコラエビッチ・コルモゴロフがその証拠を発表しました。ほとんどの数学者にとって、アーノルド・コルモゴロフの研究はこの質問を締めくくりました。ウィキペディアでさえ-究極の真実ではなく、知識の検索におけるかなり合理的な仲介者-最近まで、問題は解決済みとしてマークされていました。





1950年代のウラジーミルアーノルドと彼の師であるアンドレイコルモゴロフは、ヒルベルトの13番目の問題のバージョンの1つを証明しましたが、おそらくヒルベルトは別のバージョンに興味を持っていました。



しかし、5年前、ファーブはアーノルドのエッセイでいくつかの興味深い行に出くわしました。そこでは、有名な数学者が彼の仕事とキャリアを振り返っています。ファーブは、アーノルドが問題13を未解決であると説明していることを知って驚いた。そして、40年間、彼がすでに解決したと思われる問題を解決しようとしていた。



「問題の解決についての論文が単純に繰り返される科学的研究があります。彼らは明らかに問題自体を理解していない」とファーブ氏は語った。当時、彼はトポロジープロジェクトで、当時ポスドクだったウォルフソンと協力していました。アーノルドの仕事で見つけた情報を共有したとき、ウォルフソンはプロジェクトに参加しました。 2017年、ファーブ生誕50周年を記念したセミナーで、キッシンはウォルスフォンの話を聞いて、多項式に関する彼らの考えが数論に関する彼の研究の問題に関連していることに気づき驚いた。彼は彼らのチームに加わった。



この問題との混同の理由はすぐに明らかになりました：コルモゴロフとアーノルドはその選択肢の1つだけを解決しました。彼らのソリューションは、鋭い切れ目や変曲点を持たない連続機能を特徴としていました。これらの関数には、正弦、余弦、指数などの使い慣れた演算だけでなく、よりエキゾチックな演算も含まれます。



しかし、ヒルベルトが彼らに興味を持っていたことにすべての研究者が同意するわけではありません。 「多くの数学者は、ヒルベルトが連続関数ではなく代数関数を参照していると信じています」と、ブリティッシュコロンビア大学の数学者であるジノヴィーライヒシュタインは述べてい ます。ファーブとウォルフソンは、ヒルベルトが勉強したいと思っていると彼らが信じている問題に取り組んでいます。



ファーブ氏によると、問題13は万華鏡です。「あなたはこのことを明らかにし、勉強すればするほど、それが開く方向性とアイデアが増えます」と彼は言いました。「それは一連の問題への扉を開き、数学の素晴らしい網全体を明らかにします。」

問題の根源

数学者は、数学自体が発明されて以来、多項式で遊んでいます。3、000年前の石の錠剤は、バビロニアの数学者がこの式を使用して2次多項式を解く方法を示しています。今日数学の授業で教えられているのは、非常に二次方程式の楔形文字の前身でした。式 $$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ は、多項式の根を見つける方法を示しています。つまり、次数2の多項式である式ax ² + bx + cがゼロになるx値 です。



時間が経つにつれて、数学者は当然、高次の多項式にそのような明確で明確な公式があるかどうかという問題に興味を持つようになりました。 「この問題の何千年にもわたる歴史は、同じように強力で、単純で、効果的なものに到達することです」とウォルフソンは言いました。



多項式の次数が高いほど、煩雑になります。 1545年の本ArsMagna [Great Art]で、イタリアの博学者 Gerolamo Cardanoは、3次および4次多項式の根を見つけるための公式を公開しました。



³次多項式ax3 + bx ² + cx + d = 0の根は、次の式を使用して見つけることができます。4次多項式 の







式はさらに悪く見えます。



「学位が上がるにつれて、複雑さも増し、複雑さの山が迫っています」とハーバード大学のカート・マクマレンは述べてい ます。 「どうすればこの山を征服できますか？」



イタリアの数学者 パオロ・ルフィニは1799年に、算術演算と根の抽出を使用して5度以上の多項式を解くことはできないと主張しました。 1824年、ノルウェーの数学者Niels HenrikAbelがこれを証明しました。 ..。言い換えれば、5次の多項式にはそのような公式はありません。幸いなことに、置換によって簡略化できる高次の多項式を研究する方法を提案する他のアイデアが出てきました。例えば、1786年スウェーデンの弁護士Erlandを示しもたらすことフォームAXのいずれかの式 ⁵ + BX ⁴ + CX ³ + DX ² + EX + F = 0 に書き換えることができるPXとして ⁵ + QX + 1 = 0、ここで、pおよびq-複素数。その値はa、b、c、d、e、およびfによって決定されます。この事実は、多項式の隠された特性への新しいアプローチを開きました。



19世紀、 ウィリアムローワンハミルトンブリングらの仕事を続けた。とりわけ、彼は、6次の多項式の根を見つけるには、通常の算術演算、2乗および立方根、および2つの変数のみに依存する代数式のみが必要であることを示しました。



1975年に、ハーバード大学のアメリカの代数学者Richard Browerは、ある程度の多項式を記述するために必要な最小数の項を記述する「分解方程式」のアイデアを導入しました。 1年も経たないうちに、アーノルドと日本の数論者である志村五郎は、別の論文で、ほとんど同じ定義を導入しました。



そのような置換の規則を体系化する最初の試みであるBrouwerのモデルでは、ヒルベルトの13番目の問題は、7次の多項式が3未満の分解次数を持つことが可能かどうかです。その後、彼は6番目の多項式と8度。



ただし、これらの質問はすべて、より一般的な質問に基づいています。多項式の根を見つけるために必要なパラメーターの最小数はいくつですか。あなたが行くことができる下限は何ですか？

視覚的思考

この質問への自然なアプローチは、多項式がどのように見えるかを想像することです。多項式は関数として記述できます-たとえば、f（x）= x ² −3x + 1、-そしてそれをプロットします。次に、根の検索は、曲線がx軸と交差する場所で関数がゼロに等しくなるという事実に還元されます。



多項式の次数が高いほど、グラフは複雑になります。 3つの変数の3次関数は、3次元で滑らかであるがねじれた表面を生成します。これらの表面のどこを見ればよいかを知ることにより、数学者は基礎となる多項式構造について多くを学ぶことができます。



その結果、多項式を理解しようとする試みには、代数幾何学とトポロジーからの多くの手法が含まれます。これは、形状が変形、収縮、伸長、またはその他の方法で不連続になることなく変化したときに何が起こるかに焦点を当てた数学の分野です。 「アンリ・ポアンカレは本質的にトポロジーを発明し、代数関数を理解するためにそれを行ったと明確に述べました」とファーブ氏は述べています。 「当時、人々はこれらの基本的なつながりを研究するのに苦労していました。」



ヒルベルト自身は、この問題に幾何学を適用することによって、特に興味深い関係を明らかにしました。彼が1900年に問題のリストを作成するまでに、数学者はすでに多項式の次数を下げるための多くのトリックを持っていましたが、それでもそれ以上進むことはできませんでした。しかし、1927年に、ヒルベルトは新しいトリックを説明しました。彼は、9次多項式を単純化するためのすべての可能な方法を特定することから始め、その中に特別な3次曲面のファミリーを見つけました。



ヒルベルトは、滑らかな三次曲面（3次の多項式で表される複雑な図形）には、どのようにねじれても、正確に27本の線があることをすでに知っていました。これらの直線は、多項式の係数が変化するにつれてシフトします。彼は、そのうちの1つの位置を知っていると、9次多項式を単純化してその根を見つけることができることに気づきました。公式は4つのパラメーターのみを必要としました-現代の用語では、これはレゾルベントの程度が4を超えないことを意味しました。



「ヒルベルトの驚くべき洞察は、完全に異なる世界に由来するこの幾何学の奇跡が、ファーブ氏によると、4インチへの分解ベント。

接続のウェブに向かって移動

キッシンがファーブとウォルフソンが問題を理解するのを手伝ったとき、彼らはヒルベルトの13番目の問題が解決されたという一般に受け入れられた見解がレゾルベントの程度への幾何学的アプローチへのすべての関心を殺したことに気づきました。 2020年1月、Wolfsonは、このアプローチを活性化する論文を発表しました 。彼女はヒルベルトの9次多項式の幾何学的反転をより一般的な理論に拡張しました。



ヒルベルトは、1つの変数のみを含む9次多項式の解を見つけるために、三次曲面に集中しました。しかし、より高次の多項式はどうですか？同様の方法でこの問題を解決するために、Wolfsonは、三次曲面を、多くの変数のこれらの高次多項式によって形成される高次のある種の「超曲面」に置き換えることができると考えました。このような表面の形状はよく理解されていませんが、過去数十年にわたって、数学者は、場合によっては常に直線を見つけることができることを証明してきました。





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三次曲面上で直線を使用するというヒルベルトのアイデアは、これらのより高度な「超曲面」上の直線に発展させることができます。 Wolfsonはこの方法を使用して、特定の次数の多項式の新しい単純な式を見つけました。 100次の多項式を想像できなくても、多次元の3次超曲面（この場合は47次元）で平面を「簡単に」見つけることで、その根を見つけることができます。



この新しい方法を使用して、Wolfsonは、Hilbertが9次多項式に対して見つけた分解方程式の値を確認しました。そして、他のいくつかの次数の多項式、特に9を超える次数の場合、彼の方法は、レゾルベントの次数の可能な値の範囲を狭めます。



したがって、これはヒルベルトの13番目の問題に対する直接的な攻撃ではなく、一般的な多項式へのアプローチです。 「彼らはいくつかの関連する質問を見つけ、これが元の質問に光を当てることを期待して、それらを進歩させることができました」とマクマレンは言いました。そして彼らの仕事は、これらの数学的構成を扱う新しい方法を示しています。



レゾルベントの次数の一般理論は、6次、7次、および8次の方程式に関するヒルベルトの予想が、一見無関係な数学の分野で知られている他の問題と同等であることも示しています。 Farbによると、レゾルベントの次数は、これらの問題を複雑さのクラスにグループ化するのではなく、代数的な複雑さの観点から整理する方法を提供します。



そして、理論はヒルベルトの第13問題に端を発していますが、数学者はそれが7次の多項式についての未解決の質問を解決できるかどうか確信がありません。それは想像を絶する次元で巨大な、未踏の数学的スケールに触れますが、それが乗り越えられない障害に遭遇し、それらの分解の程度を決定することができない程度のより小さな値で。



マクマレンにとって、進歩の欠如は、進歩のヒントにもかかわらず、それ自体が興味深いものです。このことから、問題には現代の数学では理解できない秘密が含まれていることがわかります。 「私たちはこの根本的な問題に取り組むことができませんでした。それは、私たちが暗い領域に入らなかったことを意味します」と彼は言いました。



「それを解決するには、まったく新しいアイデアが必要です」と、彼が「基本次元」と呼ぶ概念である多項式を単純化するための独自のアイデアを開発したライヒシュタインは言いました。「彼らがどこから来るかを予測することは不可能です。」



しかし、三位一体はあきらめません。「私はあきらめるつもりはない」とファーブは言った。「この仕事は間違いなく私の シロイルカになりました。彼女は私をこのつながりの網とそれを取り巻く数学にとどまらせないようにしています。」