図に示すように、長さl、質量Mのチェーンが一端で吊り下げられているとします。ここでは、チェーンが均一であり、摩擦力を無視できると仮定します。座標の原点がサスペンションポイントと一致し、X軸が下向きになり、X軸に垂直なY軸がチェーンの偏差の原因となるように、座標系を構築しましょう。垂直。実際、関数Y（x、t）を定義する必要があります。
Y（x、t）を見つけるために、次の図に示すように、チェーンの小さなセクションに作用する力を書き留めましょう。
この図から、引張力Tがチェーンに接していることがわかります。したがって、X軸に対する角度Tのタンジェントは、導関数dY（X）/ dXに等しくなります。変動が小さい場合、接線はラジアン単位の角度自体にほぼ等しいことが知られています。引張力Tは、式を使用して計算できます。
ここで、lはチェーンの長さ、gは重力による加速度
、チェーンの単位長さあたりの 質量です。
ニュートンの第2法則から始まる方程式を書いてみましょう。方程式
の右側で、対応する係数なしで張力Tの値を代入します。
点x + dxでの導関数の値を2次導関数で置き換え
ます。括弧を展開します。
対応する項をキャンセルし、2次の小ささの項も削除します。
得られた式を運動方程式に代入し、
dxと比重を減らします。
この方程式は比重に依存しないため、同じ長さのすべてのロープとチェーンは、質量に関係なく同じように振動することに注意してください。この方程式を解くために
、運動方程式に代入する という形で解を探します。
それをgと関数自体で割ると、一方の部分は時間のみに依存し、もう一方の部分は時間のみに依存することがわかります。 X.したがって、それらは一定の定数と見なすことができます。
まず、Xのみに依存する部分について考えてみましょう。
この方程式を解くために、変数変換を行います。
次に、一次導関数は次の形式
を取り、これの二 次導関数は次の形式
で書き直す
ことができます。この方程式
は不明確なので、次の形式で書き直すことができます。 どのような方程式か、それをいくつかの既知の微分方程式に持っていってみてください。
これを行うには、変更を加えます
。この場合、一次導関数は次の形式に
なり、方程式自体は次のようになり ます。
導関数の下からnを二乗して移動し
、キャンセルします
。微分を行い、次の方程式を取得します。
最高の導関数に自由変数がないようにnを選択します。
次の方程式を
取得します。4を掛けてzを二乗すると、次のようになり ます 。
これはすでによく知られているベッセル方程式に似ています。関数自体から因子を取り除きます。これを行うために、我々は、変数の別変換する
この場合は、一次導関数が等しくなる
と二次微分
方程式に代入すると、我々が得る
我々が取る場合
、我々は、ゼロ次ベッセルは、式得る
そのような方程式の解をフォームを持っています
ここで、AとBは定数、JとYはゼロ次ベッセル関数です。変数zを代入する と、
次のようになります。変数uを代入する
と、次の解が得 られます。最後に、変数xに戻ると、
関数は点x = lで有限でなければならないという事実を 使用します。関数Y（x）はゼロで無限大であるため、Bはゼロに等しくなければならず、解は次の形式になり
ます。ここで、サスペンションポイントで関数の値がゼロに等しくなければならないという条件、つまりy（0 ）= 0。
このことから、
ここでjはゼロ次ベッセル関数の零点であることがわかります。ここから、
ラムダの値を決定できます 。labdaを代入すると、次のようになります。
還元後は独自の関数が
得られます。最初の5つのグラフを示しましょう。
次に、時間への依存の原因となる初期方程式のその部分に戻りましょう。ラムダ値がわかれば、固有振動数を計算できます。
ルートを抽出すると、
対応する周期が等しくなります。
この式を数学的な振り子の振動周期と 比較してください。
これで、自由にぶら下がっているチェーンの振動に関する研究は終わりです。清聴ありがとうございました。