みなさん、こんにちは！最近、Unity3Dゲームエンジンで自分のゲーム用に独自の地形生成アルゴリズムを作成することにしました。実際、私のアルゴリズムは純粋なC＃のみを使用するため、エンジンだけでなく他のエンジンにも非常に適しています。ノイズの助けを借りてこれを行うことは私には面白くないように思えたので、補間を使用してすべてを実装することにしました。もちろん、誰もが車輪の再発明をする理由を言うでしょうが、それは良い習慣でもあり、すべてが人生で役に立ちます。補間による実装が気に入らない場合は、最後にPerlinNoiseを使用して生成するためのアルゴリズムを作成します。それでは始めましょう。
1.ベジェ曲線。
ベジェ曲線の式を使用して、最初の実装方法を実行することにしました。空間内のn番目の点数の式：
、ここで、B-ベジェ曲線の基本関数、言い換えると-バーンスタイン多項式。彼らの公式は
..。[1]
これをコーディングするのは簡単なので、始めましょう。
1）2つのパラメーター（座標xとy）を持ち、いくつかの演算子（+、-、*、/）を再定義するPoint構造を作成しましょう。
[Serializable]
public struct Point
{
public float x, y;
public Point(float x, float y)
{
this.x = x;
this.y = y;
}
public static Point operator +(Point a, Point b) => new Point(a.x + b.x, a.y + b.x);
public static Point operator -(Point a, float d) => new Point(a.x - d, a.y - d);
public static Point operator -(Point a, Point b) => new Point(a.x - b.x, a.y - b.y);
public static Point operator *(float d, Point a) => new Point(a.x * d, a.y * d);
public static Point operator *(Point a, float d) => new Point(a.x * d, a.y * d);
public static Point operator *(Point a, Point b) => new Point(a.x * b.x, a.x * b.y);
public static Point operator /(Point a, float d) => new Point(a.x / d, a.y / d);
public static Point operator /(Point a, Point b) => new Point(a.x / b.x, a.y / b.y);
public static bool operator ==(Point lhs, Point rhs) => lhs.x == rhs.x && lhs.y == rhs.y;
public static bool operator !=(Point lhs, Point rhs) => lhs.x != rhs.x || lhs.y != rhs.y;
}
2）パラメータtでポイントを取得するためのメソッド自体を書いてみましょう。また、階乗を計算する関数を作成する必要があります。
int factorial(int n)
{
int f = 1;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
f *= i;
}
return f;
}
Point curveBezier(Point[] points, float t)
{
Point curve = new Point(0, 0);
for (int i = 0; i < points.Length; i++)
curve += points[i] * factorial(points.Length - 1) / (factorial(i) * factorial(points.Length - 1 - i)) * (float)Math.Pow(t, i) * (float)Math.Pow(1 - t, points.Length - 1 - i);
return curve;
}
, , . , t , x. , .[2] . , c_n * x ^ n c_n * n * x ^ (n-1). .
3) .
Point derivative(Point[] points, float t)
{
Point curve = new Point(0, 0);
for (int i = 0; i < points.Length; i++)
{
Point c = points[i] * factorial(points.Length - 1) / (factorial(i) * factorial(points.Length - 1 - i));
if (i > 1)
{
curve += c * i * (float)Math.Pow(t, i - 1) * (float)Math.Pow(1 - t, points.Length - 1 - i);
}
if (points.Length - 1 - i > 1)
{
curve -= c * (float)Math.Pow(t, i) * (points.Length - 1 - i) * (float)Math.Pow(1 - t, points.Length - 2 - i);
}
}
return curve;
}
4) t .
float timeBezier(Point[] points, float x, float e = 0.0001f)
{
float t = 0.5f;
float h = (curveBezier(points, t).x - x) / (derivative(points, t).x - 1);
while (Math.Abs(h) >= e)
{
h = (curveBezier(points, t).x - x) / (derivative(points, t).x - 1);
t -= h;
}
return t;
}
. x, y . , . Unity, .
public Point[] points;
public GameObject prefab;
public int length;
private void Start()
{
for(int i = 0; i < length; i++)
{
GameObject block = Instantiate(prefab) as GameObject;
float t = timeBezier(points, points[0] + (points[points.Length-1].x – points[0].x) * i / length);
block.name = i.ToString();
block.transform.parent = transform;
block.transform.position = transform.position + new Vector3(curveBezier(points, t).x, curveBezier(points, t).y, 0);
}
}
z x, .
public Point[] px, pz;
public GameObject prefab;
public int length;
private void Start()
{
for(int i = 0; i < length; i++)
{
for(int j = 0; j < length; j++)
{
GameObject block = Instantiate(prefab) as GameObject;
float tx = timeBezier(points, px[0] + (px[px.Length-1].x – px[0].x) * i / length);
float tz = timeBezier(points, pz[0] + (pz[pz.Length-1].x – pz[0].x) * i / length);
block.name = i.ToString() + “ “ + j.ToString();
block.transform.parent = transform;
block.transform.position = transform.position + new Vector3(curveBezier(px, tx).x, (curveBezier(px, tx).y + curveBezier(pz, tz).y), curveBezier(pz, tz).x);
}
}
}
, , . , , Random() System. , , . – NextDouble(), float, 0 1 .
2.
[3]. , x, t.
1) x y x.
Point curveLagrange(Point points, float x) { Vector2 curve = new Vector2(x, 0);
for(int i = 0; i < points.Length; i++)
{
float dx = points[i].y;
for (int k = 0; k < points.Length; k++)
if (k != i)
dx *= (x - points[k].x) / (points[i].x - points[k].x);
curve.y += dx;
}
return curve; }
2) Start() .
for(int i = 0; i < length; i++)
{
GameObject block = Instantiate(prefab) as GameObject;
block.name = i.ToString();
block.transform.parent = transform;
block.transform.position = transform.position + new Vector3(curveLagrange(points, points[0].x + (points[points.Length - 1].x - points[0].x) * (float)i / (float)(length - 1)).x, curveLagrange(points, points[0].x + (points[points.Length - 1].x - points[0].x) * (float)i / (float)(length - 1)).y);
}
, .
( Unity).
for(int i = 0; i < size_x; i++)
{
for(int j = 0; j < size_z; j++)
{
GameObject block = Instantiate(prefab) as GameObject;
block.transform.parent = transform;
block.transform.position = transform.position + new Vector3(i, Mathf.PerlinNoise(i, j), j);
}
}
, , . , . , .
:
[1] – https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve
[2] – https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method
[3] – https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial