👆🏼 🛵 🧔 偶然見つけた新しいクラスの素数 💆🏽 📪 🈹

みなさん、こんにちは！これはHabréに関する私の最初の投稿なので、自己紹介をします。私の名前はKostyaです。私は、C ++開発者であり、少しミュージシャンであり、MLエンジニアの初心者であり、数学が大好きです。ご想像のとおり、この投稿は私の数学の趣味に関するものです。

UPD：結論が追加されました。少し後で、循環数を生成するために使用される他の素数と他の数体系の例を追加し、その結果、循環素数を追加します。

背景：約14年前、循環数の現象に遭遇し、その中に形成されるパターンに魅了され、説明することを約束しました。最初は素朴な分析を試みた結果、非常に平凡な結果が得られましたが、2016年には、有理分数1/7が収束する等比数列で表されることがわかりました。正直、その時は等比数列だとは理解もしていませんでしたが、視覚的には認識していました。 2018年に、私はすべてのスキルと勤勉さを活かして、できるだけ多くの循環数のパターンを見つけることにしました。たくさん見つけましたが、今、私が最も重要だと思うものを共有したいと思います。皮肉なことに、偶然に見つけたのは、新しいクラスの素数です。

私は完全なレプテンド素数、素数、より正確には、そのような素数の数体系を研究していました。ここで、1 / P（Pは素数）は周期的な分数を与え、その周期は次のようになります。循環数。

ここで、おそらく循環数の定義そのものを与える必要があります。

巡回数は、その巡回置換がその数と連続する数の積である整数です。

最も有名な循環番号は142857で、これは「エニアグラム」+2番目のリンクの疑似科学的概念によって普及しています。しかし、私はまた、人気のある科学の本、特にペレルマンの面白い数学で彼に会いました。ポアンカレの仮説を証明した天才ではなく、1世紀前に生き、科学の普及に携わったヤコフ・イシドロヴィッチ・ペレルマン。やや幼稚ですが、面白い本「算数の面白さ。数の世界のなぞなぞと好奇心」でした。

この数の巡回置換を検討してください。

142857 * 2 = 285714

142857 * 3 = 428571

142857 * 4 = 571428

142857 * 5 = 714285

142857 * 6 = 857142

, 142857 2 6, 142857. .

, 1/7 . 1/7, . .

1/7 . ! , , - , .

, , , 7 . - .

, full reptend prime, «The Philisophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View on the Theory and Practice of Calculation».

200 , . « », 1/7 .

«History of the Theory of Numbers» , full reptend prime.

«The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers» repunit.

«The Book of Numbers» , .

, , , , . .

, 142857, 1428571, . . , 1428571 1, — 7.

, 142857, ( 10 ). , .

7 , 142857: 1428571, 71428571, 7142857142857, 571428571428571, 1428571428571428571428571, 28571428571428571428571428571, 7142857142857142857142857142857.

: 7, 8, 13, 15, 25, 29, 31.


2	34
4	41
7	104
5	273
5	304
1	355
7	440
7	571
1	823
7	2215
5	2523
4	4379
2	4510
4	7553
4	7679
7	9536

23 , 10¹⁰⁰⁰.

. Full reptend prime

, , , , .

full reptend prime long prime. . , , full reptend .

full reptend

P — , , 1/P, N , P-1, , P N full reptend.

P full reptend N, P-1 .

P, , . P, - , P - full reptend prime.

P = 7 . 1/P = 0,(142857). 6, P-1. 1/P .. P-1/P:

2/P = 0,(285714)

3/P = 0,(428571)

4/P = 0,(571428)

5/P = 0,(714285)

6/P = 0,(857142)

, . . , . , . - 1/P. full reptend.

P 1/P. P. P = 2 2, P = 3 3, ..

( ⁿ) mod P = 1

P :

, , full reptend, 7, 17, 19, 23, 29. 2 5 , .

P = 3 : 1/3 = 0,(3). P = 11 , 2 : 1/11 = 0,(09).

P = 13 , 6, P-1. (P-1)/2, , . P 2nd reptend level prime. 2nd reptend level prime:

1/13 = 0,(076923)

2/13 = 0,(153846)

P = 13, P-1/P, , 1/13 2/13, .

3/13 = 0,(230769) — 1

4/13 = 0,(307692) — 1

5/13 = 0,(384615) — 2

6/13 = 0,(461538) — 2

7/13 = 0,(538461) — 2

8/13 = 0,(615384) — 2

9/13 = 0,(692307) — 1

10/13 = 0,(769230) — 1

11/13 = 0,(846153) — 2

12/13 = 0,(923076) — 1

2nd reptend level prime : .

.. : 769230769, 769230769230769230769,769230769230769230769230769230769.

: 1538461.

, , full reptend prime, . P = 7 2 , full reptend, 3 5 — .

7 . 12, . , 17 19, 59 61.

, full reptend n-th repntend level . P N .

1/P:

$\ begin {equation} \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {s * r ^ n} {base ^ {length（n + 1）}} = \ frac {1} {P} \ end {方程式}$

s — , 1/P:

$\ begin {equation} s = [\ frac {1} {P} * base ^ {length}] \ end {equation}$

full reptend prime , 1 . :)

length , s, . length .

r , 1/P. 1/P P-1, full reptend , P-1.

, , , . P= 7, .. full reptend .

: [3, 2, 6, 4, 5, 1]. . base mod P. , :

$\ begin {equation} \ begin {cases} r_0 = 1 \\ r_n = r_ {n-1} *（base \ mod P）\\ \ end {cases} \ end {equation}$

$\ begin {equation} r_ {length} = base ^ {length} \ mod P \ end {equation}$

, : P— ; base — ; length — , .

$\ begin {equation} \ frac {1} {P} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {[\ frac {1} {P} * base ^ {length}] *（base ^ {長さ} \ mod P）^ n} {ベース^ {長さ（n + 1）}} \ end {方程式}$

P = 7 c s, :

$\ begin {equation} \ frac {1} {7} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 3 ^ n} {10 ^ {n + 1}} \ end {equation}$

s = 1, 0,(142857), .. length = 1. r = 3, , length = 1.

$\ begin {equation} \ frac {1} {7} = 0.1 + 0.03 + 0.009 + 0.0027 + 0.00081 + .. \ end {equation}$

3 10. :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14*2^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + 0.00000112 + .. \end{equation}$

2 100. s = 14, 0,(142857), .. length = 2. r = 2, , length = 2. , , , .

length 1:

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142*6^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428*4^n}{10^{4(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14285*5^n}{10^{5(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142857*1^n}{10^{6(n+1)}} \end{equation}$

, s :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428571*3^n}{10^{7(n+1)}} \end{equation}$

s - , . . .

, , , s P N — .

P = 17:

$\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5*15^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {17} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {58 * 14 ^ n} {10 ^ {3（n + 1）}} \ end {方程式}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {17} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {588 * 4 ^ n} {10 ^ {4（n + 1）}} \ end {方程式}$

89 . 1/89 = 0,0112359.. — , . , :

$\ begin {equation} \ frac {1} {89} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 11 ^ n} {10 ^ {2（n + 1）}} \ end {方程式}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {89} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci（n）} {10 ^ {n + 1}} \ end {equation}$

, — 109.

1/89 : (-1)ⁿ⁺¹. , , .

$\ begin {equation} \ frac {1} {109} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {9 * 17 ^ n} {10 ^ {3（n + 1）}} \ end {方程式}$ $\ begin {equation} \ frac {1} {109} = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {フィボナッチ（n）*（-1）^ {n + 1}} {10 ^ {n +1}} \ end {方程式}$

, , .

-

s , , .

, P = 7, 142857, 1428571. , , 1/P, 1/P .. P-1/P. , , 71428571.

, . , . , , , , , .

, s, , , , . - .

P = 7. 1/P, P-1/P, , s : 2, 5, 7, 71, 571, 2857, 28571.

, - .

- P N. , full reptend prime .

,

, . P N, . , P, , .

- :

, P, , . , 142857. 40 5SMYBH ( 5, 28, 22, 34, 11, 17).

, , H5SMYBH 40 , , : 70217142857.

, . , , , .

P=7 N=10:

1) 1428571

2) 71428571

3) 7142857142857

4) 571428571428571

5) 1428571428571428571428571

6) 28571428571428571428571428571

7) 7142857142857142857142857142857

8) 2857142857142857142857142857142857

9) 42857142857142857142857142857142857142857

40 :

1) MCYB

2) Ra2YB

3) 13NYIMYBH

4) 277Sb5SMYB

5) 1D8TJS2CYBH5SMYB

6) GP98QAT0SMYBH5SMYB

7) 2NbRO471EIMYBH5SMYBH

8) PdGa11UDOPSMYBH5SMYBH

9) 3WAEQ3OR61AQVH5SMYBH5SMYBH

P=7 N=10 :

1) H5SMYBH

2) - 77 , 5SMYBH, B:

5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYB

1) 70217142857

– 12 , 123 .

2) 3262280440470765442418939358741703168874849426...

...28571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571

- , .

,

P = 7 N = 10. :

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N*4

i — . i = 0 , full reptend prime. .

, , .

N = 3, 10, 17, 31, 38, 59:

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N

N = 5, 19, 26, 33, 47, 61:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 12:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 40 , N = 10.

N = 24, N = 12.

, , N.

, 40 , . , , - , 40, , 40 .

12 24 . , , , 12.

, , , full reptend.

, , , 40 10 .

P = 5, . P = 17 , , base, base*2, base*4, .

, , .

, , . . .

, , . . : , , , , .

#1: 40 . 1/7₄₀=0.(5SMYBH)₄₀, H5SMYBH₄₀, 70217142857. 7142857, 40 .

#2: 10 . 571428571428571. 40 1D8TJS2CYBH5SMYB₄₀. , YBH5SMYB , .

,

, . . , .

, . , .

, full reptend prime .

. , , github. .

, full reptend prime. .

, , , .

, 2019 , \ .

, , arxiv.org – . , . – :

, arxiv ? ? 6- , .

ご清聴ありがとうございました！私の最初の記事が疲れていなかったことを願っています。あと少しありますが、すべてが数学に関するものではありません。

偶然見つけた新しいクラスの素数

. Full reptend prime

full reptend

-

,

,

,

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