科学の不完全性: クルト・ゲーデルはどのように生き、何を証明しましたか?

「現代の論理におけるクルト・ゲーデルの業績は、ユニークで記念碑的です。間違いなく、これは科学者の記念碑以上のものであり、その光は永遠に空間と時間に広がり続ける導きの星です。」 



ジョン・フォン・ノイマン

死の前夜、オーストリア・ハンガリー帝国は人類に多くの偉大な心を与えました。エルヴィン・シュレーディンガー、ジークムント・フロイト、シュテファン・ツヴァイクなどの有名人は、おそらく、物理学、精神分析学、または古典文学の世界から無限に離れた人々を含む、誰にでも知られています。クルト・ゲーデルの数学への貢献の規模は、物理学の分野におけるアインシュタインの貢献の規模に匹敵しますが、クルト・ゲーデルの仕事に精通している人は多くありません。結局のところ、相対性理論と量子論が、人類が宇宙の法則をまったく異なる角度から見るのに役立ったのであれば、ゲーデルの定理により、科学者は科学的方法論と人間の心の原理についての考えを再考することを余儀なくされました。

生き方としての論理

クルト・フリードリヒ・ゲーデルは、1906年4月28日、オーストリア・ハンガリー帝国の都市ブルノ（現在のチェコ共和国ブルノの法定都市）で、大規模な繊維工場を経営するオーストリアの商人ルドルフ・アウグスト・ゲーデルの家族に生まれました。クルトは幼少期から言語に優れた能力を示しましたが (幼い頃から英語とフランス語を習得し、母国語のドイツ語よりも劣ることはありませんでした)、言語学者としての彼のキャリアは彼にとって魅力的ではありませんでした。1923 年に学校を卒業した後、若者はウィーン大学に入学し、最初の 2 コースは物理学の研究に専念しましたが、その後数学に切り替えました。数学の」。





若いクルト・ゲーデル、1925年



帰納科学部の教授であるモーリッツ・シュリックのリーダーシップの下で創設されたウィーンの新ポジティビストの哲学サークルは、科学者としてのクルト・ゲーデルの形成に少なからぬ影響を与えました。哲学者で論理学者のルドルフ・カルナップ、社会学者で経済学者のオットー・ノイラート、哲学者のハーバート・ファイグル、数学者で機械工学者のリヒャルト・フォン・ミーゼス、そして20世紀初頭の多くの著名な科学者がウィーン学団に参加しました。サークル。 





ドイツ・オーストリアの哲学者、ウィーン学団の創設者モーリッツ・シュリック



1926 年以来、クルト・ゲーデルはウィーン学団の「木曜日」セミナーを 1 回も欠席することはなく、創設者が主催するすべての国際会議に参加しました。この若者は、数理論理学や証明論などの分野に特に興味を示しました。しかし、1928 年にボローニャで開催された第 8 回国際数学者会議への訪問は、ゲーデルのさらなる科学的キャリアにおいて重要な役割を果たしました。そこでゲーデルは幸運にも、公理系の完全性と一貫性に関するダフィット・ヒルベルト自身の講演を聞くことができました。 .この問題の研究は、クルトの将来の科学的研究の基礎を形成しました.1930年に、ゲーデルは彼の論文「論理計算の完全性について」を見事に擁護し、同時に数学史上最大の発見の1つを作りました.



この種の心の人は、根っからの唯物論者である必要があるように見えるかもしれませんが、そうではありません。多くの同僚とは異なり、ゲーデルは生涯の終わりまで有神論者であり続けましたが、既存のどの宗派にも属していませんでした。科学者はかつて、彼自身の世界観の根底にある 14 の基本原則と信念を定式化しました。

1. 世界はインテリジェントです。
2. 原則として、特定のテクニックに従うことにより、人は精神的能力をより高いレベルに発達させることができます。
3. 問題を解決するための体系的な方法があります。
4. 高次のものを含め、他の世界や他の知的な存在があります。
5. 私たちが住んでいる世界は、私たちが住んでいる、または以前に住んでいた唯一の世界ではありません。
6. 事前に学習できることの量は、現時点でわかっていることよりも計り知れません。
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一部の人にとっては、ゲーデルの独特な「科学的信仰」は、矛盾していたり​​、混沌としているようにさえ見えるかもしれません。しかし、主要な原理を理解すればすべてがうまくいき、その後、偉大な数学者が周囲の現実の基礎をレンガごとに構築しました。彼は常に最前線で、ある理論または別の理論を論理的に実証する可能性を常に考え、相容れない概念をその地位に関係なくおとなしく拒否しました。



この点で、科学界で一般的に認められているチャールズ・ダーウィンの進化論の教えに対するゲーデルの態度は非常に示唆的であり、数学者はそれを完全に支持できないと判断しました。



「生物の複雑さは、それらを構成する「物質」の複雑さ、またはそれらが発達する法則の複雑さによって決定されるべきです。」



ゲーデルは、生物であるそのような複雑なシステムが基本的な構成要素から自発的に発生する可能性や、原始的なものからより完全な形態の生命体が発生する可能性を否定しました。確かに、論理の観点からは、単純なものを複雑なものに変えるという考え方自体が常識に矛盾しています。このルールにはいくつかの例外がまだ存在しますが、世界が非常に複雑に構造化および組織化されており、その法則自体が生きている母親の一貫した秩序と複雑化に寄与している場合、または誰かが意図的に進化プロセスを指示および制御する場合、そのような変形は可能になります。それは、より高い力が存在することの間接的な証拠にすぎません。



世界を論理的に理解したいという生来の欲求が、必ずしも科学者に利益をもたらすとは限らないことは注目に値します。マーク・ザハロフの作品を称賛する人は、おそらく映画「ザ・セイム・ムンチャウセン」のシーンを覚えているだろう.5月32日には、男爵が彼自身の離婚手続きを妨害し、文書に存在しない日付を記入した.偉大な数学者自身も同様の状況に陥りそうになった.もしミュンヒハウゼンが真実への愛のために苦しめられたなら (映画の陰謀によると、彼の天文学的発見は余分な 1 日だった)、クルト・ゲーデルは彼の非の打ちどころのないことにほとんどがっかりした.論理。





ミュンヒハウゼン男爵のように、クルト ゲーデルは有罪判決のためにほとんど苦しんでい



た.これは、1940 年に起こった。上級研究用。アメリカ市民権を取得するための規則に従って、各申請者は口頭試験のようなものに合格する必要があり、米国憲法の主要な条項に関する知識を証明する必要がありました。ゲーデルは、アメリカ合衆国の最高の規範的法律行為の研究に細心の注意を払ってアプローチしましたが、彼が読んだものを分析した後、科学者は予期しない結論に達しました。世界で」…全国的な投票によって独裁政権を樹立することは絶対に合法です。



そのような共鳴的な発見は、ほとんどクルト・ゲーデル市民権を失うところだったが、科学者の保証人の1人である親しい友人であるアルバート・アインシュタインは、少なくとも宣誓の瞬間まで政治的議論を延期するように数学者を説得することができた.彼は忠告に耳を傾け、試験に合格しましたが、後でこのトピックに戻ることはありませんでした。興味深いことに、四半世紀後、アメリカの経済学者でノーベル賞受賞者のケネス・ジョセフ・アローは、「独裁者の必然性定理」としても知られる集団的選択としての民主主義の不可能性に関する定理を定式化して、同様の結論に達しました。





アルバート・アインシュタインは、アインシュタイン賞のメダルとクルト・ゲーデルとジュリアン・シュウィンガーを提示1951年



にも、彼自身の利益の上のロジックと合理主義を置くクルト・ゲーデルのようなおそらく唯一の人、科学者たちは根本の構造についての見解を再考作っ発見を作ることができます数と科学全体の完全な形式化を求める多くの仲間の数学者たちの希望の塵に一夜にしてしまいました. そして今、あなたはクルト・ゲーデルの考え方と彼にとってどのような論理を意味していたのかについてより良い考えを持っているので、科学者の主な知的発案 - 不完全性と矛盾性の定理についての物語に進むことができます.既存の正式なシステムの根本的な制限の本質を明らかにします。

宇宙の定式化

そのかなりの年齢にもかかわらず、紀元前300年頃に書かれた古代ギリシャの科学者ユークリッドの「始まり」は、今日に至るまで、数学的理論、および一般的な科学理論の論理的表現のモデルとなっています。ルネ・デカルト、アイザック・ニュートン、ベネディクト・スピノザを含む人類の偉大な精神の多くは、「要素」の構造を作品の基礎として採用していました。すべての学校または大学の教科書。





古代ギリシャの数学者ユークリッド、古典幾何学の「父」



それにもかかわらず、ユークリッドの記念碑的な作品は、同時代の人々でさえ指摘されているように、決して完璧ではありませんでした。数理科学のさらなる発展に伴い、「要素」の明らかにされた欠点の数は増加するだけでしたが、それは非常に自然なことでした。 、そしてユークリッドの原文、ちなみに、それは多くの欠点がないわけではなく、そのルーツは古代の伝統にあります。たとえば、うらやましいほどの頑固さを備えた古代ギリシャの数学者は、実無限の概念を避けました。 、そのため、「要素」のすべての幾何学模様は、平面の限られた領域に関連して説明されていました。これにより、一方では、それらの定式化が不必要に面倒になり、同時に、たとえば平行線公理の場合のように、さらなる推論の範囲が大幅に制限されました。



19世紀の終わりに、ユークリッドの「要素」のすべての問題と矛盾は、1899年に記念碑的な作品「幾何学基礎論」を発表したDavid Hilbertによって解決されました。ドイツの数学者の成功は、同時代の多くの人々にインスピレーションを与え、数理科学の完全な形式化に向けた復讐を促しました。



この考えは、過去数十年にわたって宙に浮いていました。1889 年に、イタリアの数学者ジュゼッペ ピアノはユークリッドのアプローチを使用しましたが、幾何学ではなく算術に関連して、自然数の 5 つの基本的な公理を定式化しました。

1. 自然数 N の集合には、ユニットと呼ばれる自然数 1 があります。
2. 各自然数 n の直後には、一意に決定された自然数 n ' が続き、n の次と呼ばれます。
3. 単位、つまり自然数 1 は、自然数に直接続くことはありません。
4. 各自然数は、最大 1 つの自然数の直後に続きます。
5. 1 を含むセット N の任意のサブセット M と、その後に続く次の数字を含む M の各数字とともに、セット N と一致します。

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ペアノの公理は、一貫した論理推論によってすべての基本的な算術定理を導き出し、証明することができるので、徹底的であるのと同じくらい単純であることが判明しました。ペアノの研究により、科学者は数理科学の他の分野の公理化への統一されたアプローチを開発することを考えました。しかし、ドイツの論理学者、数学者、哲学者のゴットロープ・フレーゲは、さらに進んで、数学的対象の基本的な性質を公理的に肯定するだけでなく、それ自体を推論する方法を形式化することを提案しました。フレーゲは、この方向での彼の研究結果を 2 巻の「算術の基本法則」で概説し、最初の本は 1893 年に出版され、2 番目の本はわずか 10 年後に出版されました。しかし、フレーゲが成し遂げた途方もない仕事にもかかわらず、彼の最後の仕事には非常に重大な欠陥がありました。





ドイツの論理学者、数学者、哲学者ゴットロープ・フレーゲ



「算数の基本法則」の第2巻が出版される少し前に、科学者はイギリスの同僚であるバートランド・ラッセルから手紙を受け取りました。見落とされた。フレーゲが提案した形式体系は、ゲオルク・カントールの素朴集合論に関する部分にパラドックスを含んでいた 。非公式言語では、その本質は次のように表現できます。



それ自身の要素ではない集合を「普通」と呼ぶことに同意しましょう。これは、たとえば、Habr の視聴者に起因する可能性があります。このセットは、ポータルのすべての読者のコレクションですが、読者自体ではありません。 「珍しい」複数は、それ自体が要素であるような複数になります。これらには、すべてのセットのセットが含まれます。一般に、すべての既存のセットが含まれるため、それ自体がそれ自体の要素でなければなりません。



では、すべての普通のセット (ラッセルのセットと呼ぶ) で構成されるセットを想像して、それが普通のセットを指すのか、異常なセットを指すのかを調べてみましょう。それは、定義上、すべての通常のセットで構成されているため、通常ではあり得ません。つまり、この場合、それ自体を含める必要があります。私たちの前に異常な群衆がいることがわかりました。ただし、この場合、定義上、通常のセットのみで構成する必要があるため、要素としてそれ自体を含めることはできません。しかし、もし多数がそれ自身の要素でなければ、それは普通のことになる.矛盾が生じます。





英国の論理学者で数学者のバートランド・ラッセル



は、本が出版されるまでの数日間、ラッセルのパラドックスを形式体系を完成させることで解決しようと全力を尽くしましたが、すべての試みは失敗しました。その結果、数学者は第 2 巻にあとがきを付け加えざるを得ませんでしたが、その中で彼は実際、完全な知的敗北を認めまし



た。何年もかろうじて完成した作品、一夜にして崩壊？バートランド・ラッセルから受け取った手紙のおかげで、私はうらやましい立場に置かれました...」 



その後、数学者は多くの時間と労力を費やして、自分の理論の枠組みの中でパラドックスを解決しようとしましたが、すべて無駄でした。フレーゲにとって、これは非常に強力な打撃であり、彼はその日の終わりまで本を 1 冊も書くことはありませんでした。



パラドックスは、ラッセル自身が型理論の助けを借りて解決した ... すぐに、科学者は、当時知られていた矛盾から解放された、数学のすべての分野をカバーする独自の形式体系を発表しました。彼の作品は、1910 年から 1913 年にかけて出版された、Alfred North Whitehead との共著である Principia Mathematica の 3 巻に具体化されました。その後、David Hilbert はこの作品を「数学を公理化するための数多くの努力の頂点」と表現しました。



しかし、ラッセルの研究結果はギルバート自身にとって十分なものではありませんでした。1922 年までに、数理科学とその包括的な形式化を実証するためのはるかに野心的な計画が頭の中で熟していました。ヒルベルトのアイデアは、いわゆる「ゲッティンゲン プログラム」の形で形になりました。これは、それらを証明するために必要な基本的な仮定と研究のリストです。簡単に言えば、その本質は次のように要約できる。



数学は、一次公理のシステムから派生した一連の結果であり、次のとおりです。

1. 完全 - 数学的記述は、数学自体のルールを使用して明確に証明または反証できます。
2. 一貫性 - 数学の規則に違反することなく、同時に証明および反論することはできません。
3. 決定可能 - いかなる数学的ステートメントについても、それが反fu or可能であるか証明可能であるかを明確に確立することが可能です。

ヒルベルト自身は、リストされた仮定の妥当性を完全に確信していました.科学者によると、数学はアプリオリに完全で、一貫性があり、解決可能であり、証明する必要があります.





ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルト



しかし、科学者の野心は、単なる数の科学をはるかに超えて広がっていた. ヒルベルトの論文「自然と論理の認識」の中で、ヒルベルトは次のように書いている.



「主要なアイデアは、広大な科学分野で公理と呼ばれるいくつかのステートメントを定式化することである.純粋に論理的な方法です。」



数学者は、自然科学を含む考えられるすべての分野が公理化と形式化の対象であると真剣に信じていました。そして、統合されたアルゴリズムによる認知の方法論の開発は、科学の発展に前例のない刺激を与える可能性があります。「宇宙からの普遍的なマスター キー」が科学者の兵器庫に現れた場合、人類が征服できる高さを想像してみてください。これは、科学的発見の計算を可能にする一種の高度な方法論です! 私たちの時代には、これは「銀河ヒッチハイク ガイド」の「偉大な思想家」のようなものの作成につながる可能性があります 。さらに、質問に答えるだけでなく、まだ知られていない宇宙の法則を計算することもできます。あらかじめ。この世界に理性の壁はなく、人類は真の全知全能を獲得する。

欲求不満

しかし、宇宙を形式化するというヒルベルトの野心的な計画は、決して実現する運命にはありませんでした。1930 年 9 月 7 日、ケーニヒスベルク (現在のカリーニングラード) で開催されたウィーン学団が主催する定期的な数学会議で、24 歳のクルト ゲーデルは「論理計算の完全性について」という報告を行い、その中で彼は 2 つの基本定理に反論したヒルベルトのアイデア。



ゲーデルの定理は、その主要な形式で形式演算の基本的な制限を扱っていました。ただし、実際にはすべての形式体系は基本的な算術概念をある程度使用しているため、ゲーデルの定理は科学の他の多くの分野でも有効であることが判明しました。このため、各定理の 2 つのステートメントを以下に示します。

ゲーデルの第一定理（不完全性定理）

算術の場合:正式な算術が一貫している場合、その中には還元不可能で反fuできない式があります。



一般化:すべての一貫した公理理論には、この理論自体では証明も反論もできないステートメントが含まれています。

ゲーデルの第二定理 (矛盾定理)

算術の場合:正式な算術が一貫している場合、算術の一貫性を実質的に主張する式は、その中で推論できません。



一般化:公理理論の一貫性は、この理論自体によって証明することはできません。



このパフォーマンスは事前に計画されたものではなく、科学界で爆発する爆弾の効果を生み出し、ゲーデルを一夜にして世界の有名人にしました。実際、数学者は「ゲッティンゲン計画」の枠組み内のすべての研究が無駄であり、それに対するそれ以上の研究が無意味であることを証明したため、これは驚くべきことではありません.



1 年後、両方の定理の証明を含む「Principia Mathematica とその関連システムにおける根本的に解決できない条項」というタイトルの記事が、オーストリアの科学雑誌「Monatshefte für Mathematik und Physik」(「Monthly of Mathematics and Physics」) に掲載されました。そして、第 2 の定理の証明は一般的なアイデアの形でのみ与えられましたが、それは非常に論理的で明白であるため、その信頼性について疑う人はいませんでした。



David Hilbert の功績によると、科学者はゲーデルの科学的研究の価値を最初に認識し、数学の基礎を定式化する彼のプログラム全体には根本的な修正が必要であることに同意したと言わなければなりません。さらに、両方の定理の完全な証明が最初に示されたのは、1938 年に出版された「数学基礎」の第 2 巻でした。本の序文で、その著者は、目標を達成するためには、悲しいかな、有限の方法だけでは不十分であり、必要な論理的手段の数に超限帰納法を追加すると述べました .



ゲーデルの定理が出現してから 90 年が経過しましたが、科学者は、数学自体と基礎科学のさらなる発展の両方に対する影響を評価する際に、明確な意見を述べていません。今日に至るまで、多くの人がバートランド・ラッセルの立場を共有しています。バートランド・ラッセルは、ハンブルクの説明によれば、根本的に何も変わっていないと言いました。ゲーデルの研究は現代の数理論理学の形成に多大な影響を与えましたが、それでもなお、この分野の外で、数学者は以前と同じ方法で定理を演し証明し続けています。



興味深いことに、ゲーデル自身もラッセルの意見を概ね共有していました。彼は、数理科学の基礎が不誠実に破壊されたという非難を無視して、彼の定理は、論理の法則が以前は分割されずに支配していた領域での人格と人間の直感の役割の再評価につながるだけであると答えた.そして揺るぎないままだった



科学知識の明確な形式化とアルゴリズム化というユートピア的な考えについては、実際、ゲーデルの作品は大胆な十字架を付けていますが、多くの科学者はそのような概念は原則的に無意味であると考えています。メインフレームがどれほど魅力的に見えても、新しい定理を無限に生成して証明することはできますが、ロシアとフランスの数学者Alexander Chenesによって発明された「数学的スパム」という形容語は、そのようなスーパーコンピューターのコンピューティング製品に最も適しています。





アレクサンダー シェン、LIRMM CNRS の上級研究員、高等経済学院の准研究員



結局のところ、特定の定理の定式化とその証明だけでなく、一般的な数学と科学の両方にとって重要です。主なもの、その意味は、異なるエンティティ間の関係を確立し、どの方向に進むべきか、および得られた知識の実際の適用を理解することを可能にします。そのような理解がなければ、形式化されたルールに基づいて生成された異種の定理や発見の価値はゼロになる傾向があります。



ゲーデルの定理により、科学者は、自分自身の精神的能力に関する人の限られた知識について考えさせられました。結局のところ、彼の作品は、人間の思考が形式的な計算の枠組みに決して制限されていないという間接的な確認と見なすことができますが、これまで知られていなかった「非計算」領域も含まれており、その現れは直感と突然の洞察です。



この観点の最も一貫した支持者の 1 人は、2020 年のノーベル賞受賞者である英国の物理学者で数学者のロジャー ペンローズでした。彼の作品になじみがないかもしれませんが、ペンローズ モザイクについて聞いたことはあるでしょう (またはそのバリエーションの 1 つを子供の頃に遊んだことでしょう)。





英国の物理学者で数学者のロジャー ペンローズは、彼が発明したモザイクで舗装された床に立っています。1989



年に、ロジャー ペンローズは非常に面白い人気のある科学作品「王の新しい心」を出版しました。ハンス・クリスチャン・アンデルセンの物語「王の新しいドレス」は、残酷な欺の犠牲になった君主の物語であるが、彼の品位を落とさないように、いかなる形でもそれを認めたくなかった.この本の中でペンローズは、人間の意識は純粋にアルゴリズム的ではなく、その中で発生するプロセスは、量子物理学の仮定 (特に、フォン・ノイマン還元のような現象) の関与によってのみ完全に説明できるという意見を表明しました。 )。その後、ペンローズは、神経科学者のスチュワート・ハメロフと共に、意識のOrch-ORモデルに基づいた量子ニューロコンピューティングの理論を開発しました.この理論は、ロジャー・ペンローズによる次の著書『心の影』で詳しく説明されました。



ペンローズの推論の重要な結果は、いわゆる「強力な人工知能」を作成するためのコンピューティング技術の開発のこの段階での基本的な不可能性です. 、人のように。現代のコンピューターとアルゴリズムができることはすべて、人間の脳の形式的論理的活動のより詳細で効果的なモデル化にすぎないため、本格的な「生きた」AIの出現を期待するべきではありません。コンピューティング能力の複数の増加：そのような結果は、意識の働きの構造と原則に関する見解の根本的な改訂後にのみ達成されます。おそらく、遠い将来、人類はこの問題を解決できるようになるでしょう。しかし、彼らは覚えているだろうかクルト・ゲーデルのような壮大な科学的ブレークスルーを成し遂げたのは誰ですか?クルト・ゲーデルは、自分の周りの世界だけでなく、自分自身に対しても違った見方をすることに成功した人物でしょうか?



PS



One は、クルト・ゲーデル、彼の作品、彼の世界観について延々と語ることができます。記事や本全体では十分ではありません。素晴らしい科学者の考え方と遺産を知りたい人は、アメリカの数学者でSF作家のルーディ・ラッカーの作品「無限と意識」から始めることをお勧めします。作家の公式ウェブサイトのドメイン 。ここでは、詳細な説明と、不完全性と矛盾の定理の証明だけでなく、最も重要なこととして、クルト ゲーデルとのコミュニケーションに関する著者の個人的な印象を見つけることができます。これは、この驚くべき人物が生き、呼吸したものをよりよく感じ、理解するのに役立ちます。

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