朝、紅茶やコーヒーに砂糖を入れてかき混ぜると、グラスの水面が漏斗の形をしているのがわかります。たとえば、この形式について人々が長い間考えてきたものについては、Habré に関する記事があり、これは放物面 (セクションで見ると放物線) であると主張しています。しかし、これが実際には放物線でないことは容易に理解できます。というか、まったく放物線ではありません。そして、それは何ですか？
水 (または他の液体) がガラスにどのような形で取り込まれるかを計算するには、粘度とガラス壁の影響を考慮する必要があります。したがって、ここでは粘性の非圧縮性流体に対してナビエ・ストークス方程式を使用する必要があります。ガラスは円柱形状であるため、ナビエ・ストークス方程式は円柱座標で記述する必要があります。z 軸はガラスの中心に沿って上を向き、r はこの軸からの距離です。一般に、円筒座標のナビエ・ストークス方程式は次のとおりです (Landau-Lifshitz Hydrodynamics)。
ここで、ro は液体の密度、nu は動粘度です。
このような連立方程式を分析形式で解くのは非常に難しいので、2 つの合理的な単純化を行います。まず、グラスの底は液体の形状に影響を与えないと仮定します。ガラスは十分な深さです。第二に、液体が円を描くように回転する速度は、液体がガラスの中心から壁へ、またはガラスの中心から上下に移動する速度よりもはるかに大きいと仮定します。それら。これらの速度は無視できます。このような単純化を考慮すると、システムの 3 番目の方程式は恒等式になり、残りの 2 つは次のようになります。
任意の点での液体内の圧力は、この点より上の液体柱に正比例し、よく知られた式を使用して計算されます。
g - , y - z, , , . , :
, omega , , :
, , , , . :
, , , . , , , , :
, :
, , ,
r. , :
, r:
:
:
r :
, . , :
:
:
. , , , , , :
.
R - ,
, :
, , , :
, :
C - . , :
:
では、実際に表面の形状を調べてみましょう。これを行うには、接線速度の値を y の方程式に代入します。
統合して以下を取得します。
ここで、C1 と C2 は、液体をスピンする量とガラスの深さに依存する定数です。回転流体プロファイルは次のようになります。
そして、それを 3 d で表すと、次のようになります。
これが朝に飲むお茶の本当の形のように見える場合は、コメントに書き込んでください。