修正コード。新しいコーディング理論の始まり

情報セキュリティの問題は、システム加入者の情報相互作用における多くの理論的および実際的な問題の調査と解決を必要とします。私たちの情報セキュリティの原則は、情報の完全性、機密性、および可用性を確保するという3つの側面からなるタスクを策定します。ここで紹介する記事は、さまざまな州のシステムおよびサブシステムのフレームワーク内でのソリューションの特定の問題の検討に専念しています。以前、著者は5つの記事で、州の基準によってメッセージの機密性を確保する問題を検討しました。コーディングシステムの一般的な概念も以前に私から与えられました。

前書き

基礎教育では数学者ではありませんが、大学で読んだ学問分野との関連で、細心の注意を払って理解する必要がありました。長い間、私は主要大学の古典的な教科書、5巻の数学的百科事典、特定の問題に関する多くの薄い人気のあるパンフレットを読み続けましたが、満足は得られませんでした。深い読解力も生じませんでした。



すべての古典的な数学は、原則として、無限の理論的ケースに焦点を合わせており、特別な分野は、有限の構造と数学的な構造のケースに基づいています。アプローチの違いは巨大であり、良い完全な例の欠如または欠如はおそらく主な欠点であり、大学の教科書の欠如です。初心者向け（1年生向け）の解決策が書かれた問題本はめったになく、存在するものは説明が抜けて罪を犯します。一般的に、私は中古の技術書店に恋をしました。そのおかげで、図書館は補充され、ある程度は知識の店になりました。たくさん読む機会がありましたが、「行かなかった」。



この道は私を疑問に導きました、私の前に白紙の紙と消しゴム付きの鉛筆だけを持っている、本の「歯ぎしり」なしで私はすでに自分で何ができるでしょうか？それはかなりの量であり、必要なものではないことが判明しました。偶然の自己教育の困難な道は過ぎ去った。問題はこれでした。まず最初に、エラーを検出して修正するコードの作業を作成して説明できますか？たとえば、ハミングコード、（7、4）コードなどです。



ハミングコードは、データの保存と交換の分野の多くのアプリケーション、特にRAIDで広く使用されていることが知られています。さらに、ECCメモリ内にあり、シングルエラーとダブルエラーをオンザフライで修正できます。

情報セキュリティー。コード、暗号、stegメッセージ

参加者間のメッセージ交換による情報の相互作用には、さまざまなレベルで、ハードウェアとソフトウェアの両方のさまざまな手段によって保護を提供する必要があります。これらのツールは、OSI / ISOモデルに関する国際協定で採用されている特定の理論（図Aを参照）およびテクノロジーのフレームワーク内で開発、設計、および構築されています。



情報通信システム（ITS）の情報セキュリティは、個人（ユーザー）の規模で、また企業、協会、部門、および州全体の両方で、管理上の問題を解決する上で実質的に主要な問題になりつつあります。 ITKS保護のすべての側面の中で、この記事では、通信システムでの情報の抽出、処理、保存、および送信中の情報の保護について検討します。



主題分野をさらに明確にするために、情報の保護、提示、および使用に対する2つの異なるアプローチ、つまり構文と意味を考慮した2つの可能な方向に焦点を当てます。この図では、略語を使用しています。codec– codec –デコーダー。 shidesh-デコーダー-デコーダー;スクリーチ-コンシーラー-エクストラクター。





図A-情報の相互作用を保護する問題を解決することを目的とした理論の主な方向性と相互関係の図メッセージ



の表示の構文機能を使用すると、保存、処理中、特に通信チャネルを介して情報を転送するときに、表示の正確性と正確性（エラーなし、整合性）を制御および保証できます。ここで保護の主な問題はコドロジーの方法によって解決されます、その大部分はコードを修正する理論です。



セマンティック（セマンティック）セキュリティメッセージは暗号化の方法によって提供されます。暗号化によって、潜在的な侵入者を情報コンテンツの習得から保護することができます。この場合、違反者はメッセージとそのキャリアをコピー、盗用、変更、置換、または破壊することはできますが、送信されているメッセージの内容と意味に関する情報を取得することはできません。メッセージ内の情報の内容は、違反者がアクセスできないままになります。したがって、さらに検討する対象は、ITCSの情報の構文的および意味的な保護です。この記事では、修正コードの単純だが非常に重要な実装で構文的アプローチのみを検討することに限定します。



私はすぐに情報セキュリティの問題を解決する際に境界線を引きます：コドロジーの

理論チャネルと環境のエラー（メッセージの構文の保護と分析）から情報（メッセージ）を保護し、エラーを検出して修正するように設計されています。

暗号学の理論は、侵入者によるセマンティクスへの不正アクセスから情報を保護するように設計されています（セマンティクスの保護、メッセージの意味）。

ステガノロジーの理論は、メッセージの情報交換の事実を保護するだけでなく、著作権、個人データを保護するように設計されています（医療の秘密の保護）。



一般的に、行きましょう。定義上、そしてそれらのかなりの数がありますが、コードがあることを理解することさえ容易ではありません。著者は、コードはアルゴリズム、表示、その他のものであると書いています。ここではコードの分類については書きません。（7、4）コードはブロックであるとだけ言います。



ある時点で、コードが特別なコードワードであり、それらの有限のセットであり、通信チャネルの送信側でメッセージの元のテキストと特別なアルゴリズムに置き換えられ、チャネルを介して受信者に送信されることに気づきました。置換はエンコーダーデバイスによって実行され、受信側でこれらのワードはデコーダーデバイスによって認識されます。



当事者の役割は変更可能であるため、これらのデバイスは両方とも1つにまとめられ、省略されたコーデック（エンコーダー/デコーダー）と呼ばれ、チャネルの両端にインストールされます。また、言葉があるのでアルファベットもあります。アルファベットは2文字{0、1}、ブロックバイナリコード。自然言語のアルファベット（NL）は、一連の記号です。つまり、書くときに口頭で話す音を置き換える文字です。ここでは、音節または結節状の書物での象形文字の書面については詳しく説明しません。



アルファベットと単語はすでに言語であり、自然な人間の言語は冗長であることが知られていますが、これが意味することは、言語の冗長性が存在する場所では、冗長性があまりよく整理されておらず、混沌としていることを意味します。情報をコーディング、保存する場合、アーカイバー、モールスコードなど、冗長性​​が低下する傾向があります。



リチャード・ヘミングは、冗長性が排除されていないが合理的に編成されている場合、通信システムでエラーを検出し、送信されたテキストのコードワードでエラーを自動的に修正できることを他の人よりも早く認識したと思われます。彼は、128個の7ビットバイナリワードすべてを使用して、コードを形成するコードワード（16個の7ビットバイナリワードのサブセット）のエラーを検出できることに気付きました。それは素晴らしい推測でした。



ハミングが発明される前は、デコードされたテキストを読み取ることができなかった場合、または必要なものがまったくないことが判明した場合にも、受信側でエラーが検出されていました。同時に、メッセージの送信者に特定の単語のブロックを繰り返すように要求が送信されましたが、これはもちろん非常に不便であり、通信セッションの速度が低下しました。これは何十年も解決されていなかった大きな問題でした。

（7、4）ハミングコードの構築

ハミングに戻りましょう。 （7、4）コードのワードは7ビットから形成されますj=$$、j = 0（1）15、4-情報および3-チェック記号、つまりメッセージ情報を持たないため、本質的に冗長です。これらの3つのチェック桁を各単語の4つの情報記号の線形関数で表すことができ、エラーの事実と単語内のその位置を確実に検出して修正を行うことができました。 （7、4）コードは新しい形容詞を取得し、線形ブロックバイナリになりました。 シンボル値を計算するための線形関数依存関係（ルール（*））$(i_1,i_2,i_3,i_4,p_1,p_2,p_3)$





$$次のとおりです。$p_i$



$$$p_1 + i_2 +i_3 + i_4 = 0, → p_1 = i_2 + i_3 + i_4,$

$$$p_2 + i_1 + i_3 + i_4 = 0, → p_2 = i_1+ i_3 + i_4, (*)$

$$ エラーの修正は非常に簡単な操作になりました。エラーのあるビットで文字（0または1）が判別され、0 x1または1x 0の反対の文字に置き換えられまし た。コードを構成する単語はいくつありますか？ （7、4）コードに対するこの質問への答えは非常に簡単です。情報桁は4桁しかないため、記号で埋めるとその種類は$p_3 + i_1 + i_2 + i_4 = 0, → p_3 = i_1+i_2 + i_4.$





$$ = 16のオプションの場合、他の可能性はありません。つまり、16ワードのみで構成されるコードは、これらの16ワードが言語全体の記述全体を表すことを保証します。 これらの16語の情報部分には、＃ （$2^4$





$$）： 0 = 0000; 4 = 0100; 8 = 1000; 12 = 1100; 1 = 0001; 5 = 0101; 9 = 1001; 13 = 1101; 2 = 0010; 6 = 0110; 10 = 1010; 14 = 1110; 3 = 0011; 7 = 0111; 11 = 1011; 15 = 1111。 これらの4ビットワードのそれぞれを計算し、ルール（*）に従って計算される3つのチェックビットを右側に追加する必要があります。たとえば、0110に等しい情報ワードNo. 6の場合、次のようになります。$i_1,i_2,i_3,i_4$













$$$i_1=0, i_2=1, i_3=1,i_4=0$あり、チェックシンボルを計算すると、この単語に対して次の結果が得られます。



$$$(_1 = 0, _2 = 1, _3 = 1)$

$$$_1=i_2 +i_3 +i_4 =1 + 1 + 0(mod2)=2(mod2)=0,$

$$$_2=i_1 +i_3 +i_4 =0 + 1 + 0(mod2)=1(mod2)=1,$

$$ この場合の6番目のコードワードは次の形式になります。$_3=i_1 +i_2 +i_4 =0 + 1 + 0(mod2)=1(mod2)=1.$



$$同様に、16個のコードワードすべてのチェックシンボルを計算する必要があります。コードワード用に16行のテーブルKを準備し、そのセルに順番に入力してみましょう（読者は鉛筆を手に持ってこれを行うことをお勧めします）。表K-コードワードj、j = 0（1）15、（7、4）-ハミングコード$_6=(i_1,i_2,i_3,i_4,p_1,p_2,p_3)=(0110011).$







テーブルの説明：16行-コードワード; 10列：シーケンス番号、コードワードの10進表現、4つの情報シンボル、3つのチェックシンボル、コードワードのW重みは、ゼロ以外のビットの数に等しい（≠0）。4つのコードワード-行は塗りつぶしによって強調表示されます-これはベクトル部分空間の基礎です。実際には、これですべてです。コードが作成されます。



したがって、テーブルにはすべての単語（7、4）、つまりハミングコードが含まれています。ご覧のとおり、それほど難しくはありませんでした。次に、ハミングがこのコード構築に導いたアイデアについて説明します。私たちは皆、モースコード、海軍セマフォアルファベット、およびさまざまなヒューリスティック原理に基づいて構築された他のシステムに精通していますが、ここ（7、4）コードでは、厳密な数学的原理と方法が初めて使用されます。物語は彼らについてだけになります。

コードの数学的基礎。高等代数

R.ヘミングがそのようなコードを開くというアイデアをどのように思いついたのかを伝える時が来ました。彼は自分の才能について特別な幻想を抱いておらず、各単語の1つの間違いを検出して修正するコードを作成するという自分自身のタスクを適度に策定しました（実際、2つの間違いも検出されましたが、修正されたのは1つだけでした）。質の高いチャンネルでは、1つの間違いでもまれなイベントです。したがって、ヘミングの計画は、通信システムの規模では依然として壮大でした。発表後、コーディング理論に革命が起こりました。



1950年でした。ここでは、他の著者からは見たことのない簡単な（理解できると思いますが）説明をしますが、結局のところ、すべてがそれほど単純ではありません。すべてを深く理解し、なぜこれがこのように行われるのかを自分で理解するには、数学の多くの分野からの知識と時間がかかりました。その後、この修正コードに実装されている美しくてかなり単純なアイデアを理解することができました。私がここで書いているすべての行動の計算技術と理論的正当化を扱うことに費やした時間のほとんど。



コードの作成者は、長い間、2つのエラーを検出して修正するコードを考えることができませんでした。ヘミングが使用したアイデアはそこでは機能しませんでした。私は見なければなりませんでした、そして新しいアイデアが見つかりました。とても興味深い！魅了します。新しいアイデアを見つけるのに約10年かかりましたが、その後、ブレークスルーがありました。任意の数のエラーを示すコードは、比較的迅速に受信されました。



ベクトルスペース、フィールド、およびグループ。結果の（7、4）コード（表K）は、ベクトル部分空間（16次、次元4）の要素であるコードワードのセットを表します。次元7のベクトル空間の一部$$ワードのうち、16のみがコードに含まれていますが、理由によりコードに含まれています。 第一に、それらはすべての後続のプロパティと特異点を持つサブスペースであり、第二に、コードワードは次数128の大きなグループのサブグループであり、さらに、有限の拡張ガロアフィールドGFの付加的なサブグループです（$2^7=128.$



$$）拡張度n = 7および特性2。この大きなサブグループは、小さなサブグループによって隣接するクラスに分解されます。これは、次の表Dによく示されています。この表は、上部と下部の2つの部分に分かれていますが、1つの長いものとして読み取る必要があります。隣接する各クラス（テーブルの行）は、コンポーネントの同等性によるファクターグループの要素です。表D-ガロアフィールドGFの添加剤グループの分解（$2^7$



$$）オーダー16のサブグループのコセット（テーブルDの行）に。$2^7$



表の列は半径1の球体です。左側の列（繰り返し）は単語（7、4）のハミングコードのシンドロームであり、次の列は隣接するクラスのリーダーです。因子グループの要素の1つ（25番目は塗りつぶしで強調表示されています）のバイナリ表現とその10進表現を開きましょう。



$$$0·x^6+0·x^5+1·x^4+1·x^3+0x^2+0x+1=1·2^4+1·2^3+1·2^0=16+8+1=25$



テーブルDの行を取得する手法。クラスのリーダーの列の要素が、テーブルDの列のヘッダーの各要素と合計されます（合計は、バイナリ形式mod2でリーダーの行に対して実行されます）。すべてのクラスリーダーの重みはW = 1であるため、すべての合計は、列見出しの単語と1つの位置でのみ異なります（行全体で同じですが、列で異なります）。表Dには、すばらしい幾何学的解釈があります。 16個のコードワードはすべて、7次元のベクトル空間の球の中心で表されます。列内のすべての単語は、1つの位置で上の単語とは異なります。つまり、半径r = 1の球の表面にあります。



この解釈は、任意のコードワードで1つのエラーを検出するという考えを隠します。私たちは球を扱います。エラー検出の最初の条件は、半径1の球が接触または交差してはならないことです。これは、球の中心が互いに3以上の距離にあることを意味します。この場合、球は交差しないだけでなく、互いに接触しません。これは、決定の明確さの要件です。どの球が、デコーダーによって受信側で受信された誤った単語に起因する必要があります（128 -16 = 112のコード1ではありません）。



次に、128ワードの7ビットバイナリワードのセット全体が16個の球に均等に分散されます。デコーダーは、エラーの有無にかかわらず、この128個の既知の単語のセットからのみ単語を取得できます。第3に、受信側はエラーや歪みなしでワードを受信できますが、常に16個の球の1つに属し、デコーダーによって簡単に判別されます。後者の状況では、コードワードが送信されたという決定が行われます。デコーダーによって決定された球の中心は、テーブルD内のワードの位置（行と列の交点）、つまり列番号と行番号を検出しました。



ここで、コードのワードとコード全体に対して要件が発生します。任意の2つのコードワード間の距離は、少なくとも3でなければなりません。つまり、コードワードのペアの差です。たとえば、Ci = 85 =$$$(i_1,i_2,i_3,i_4,p_1,p_2,p_3)$= 1010101; j= 25 =$$$(i_1,i_2,i_3,i_4,p_1,p_2,p_3)$= 0011001は3以上である必要があります。 85-25 = 1010101 --0011001 = 1001100 = 76、差分ワードW（76）= 3の重み（表Dは、差分と合計の計算を置き換えます）。ここで、バイナリワードベクトル間の距離は、2ワード内の一致しない位置の数として理解されます。これはハミング距離であり、距離のすべての公理を満たすため、理論上および実際に広く使用されるようになりました。



備考。 （7、4）コードは、線形ブロックのバイナリコードであるだけでなく、グループコードでもあります。つまり、コードの単語は、加算によって代数グループを形成します。これは、任意の2つのコードワードを一緒に追加すると、再び1つのコードワードを与えることを意味します。これだけが通常の加算演算ではなく、2を法とする加算です。



表E-ハミングコードの作成に使用されたグループの要素（コードワード）の合計



単語自体を合計する操作は連想的であり、コードワードのセット内の各要素には反対の要素があります。つまり、元の単語を反対の単語と合計するとゼロの値になります。このゼロコードワードは、グループの中立要素です。表Dでは、これはゼロの主な対角線です。残りのセル（行/列の交点）は、行と列の要素を合計することによって得られるコードワードの数字-10進表現です。ワードを場所に並べ替えると（追加する場合）、結果は同じままです。さらに、ワードの減算と加算は同じ結果になります。さらに、シンドローム原理を実装する符号化／復号化システムが考慮される。

コードアプリケーション。コーダー

エンコーダはチャネルの送信側にあり、メッセージの送信者によって使用されます。メッセージの送信者（作成者）は、自然言語のアルファベットでメッセージを作成し、デジタル形式で提示します。（ASCIIコードおよびバイナリでの文字の名前）。

標準のキーボード（ASCIIコード）を使用して、PC用のファイルにテキストを生成すると便利です。各文字（アルファベットの文字）は、このエンコーディングのビットのオクテット（8ビット）に対応します。（7、4）-ハミングコードの場合、情報シンボルが4つしかないため、キーボードシンボルを文字にエンコードする場合、2つのコードワードが必要です。文字のオク​​テットは、形式の自然言語（NL）の2つの情報ワードに分割されます

$$$i<4> = <i_1, i_2, i_3, i_4>$..。



例1。 NLで「数字」という言葉を転送する必要があります。 ASCIIコードテーブルを入力します。文字は、c –11110110、および–11101000、f-11110100、p-11110000、および-111000000オクテットに対応します。または、ASCIIで-「数字」という単語をコード化します= 1111 0110 1110 1000 1111 0100 1111 0000 1110 0000



テトラッド（各4桁）に分解します。したがって、「数字」NLという単語のコーディングには、（7、4）ハミングコードの10コードワードが必要です。四つ組は、メッセージワードの情報ビットを表します。これらの情報ワード（テトラッド）は、通信ネットワークチャネルに送信される前に、コードワード（各7ビット）に変換されます。これは、ベクトル行列の乗算、つまり生成行列による情報ワードによって行われます。利便性のための支払いは非常に費用と時間がかかりますが、すべてが自動的に機能し、最も重要なことは、メッセージがエラーから保護されていることです。

（7、4）ハミングコードまたはコードワードジェネレーターの生成マトリックスは、コードの基本ベクトルを書き出し、それらをマトリックスに結合することによって取得されます。これは、線形代数の定理に従います。空間（部分空間）の任意のベクトルは、基底ベクトルの線形の組み合わせです。この空間で線形に独立しています。これはまさに必要なことです-情報4ビットのものから任意のベクトル（7ビットコードワード）を生成するために。



（7、4、3）ハミングコードまたはコードワードジェネレータの生成マトリックスの形式は次のとおりです。





右側は、部分空間の基礎のコードワードの10進表現であり、テーブルKのシリアル番号

です。マトリックスのi行は、ベクトル部分空間の基礎となるコードワードです。情報メッセージ



のワードをコーディングする例（コードの生成マトリックスは、基底ベクトルから構築され、テーブルKの一部に対応します）。ASCIIコードテーブルでは、文字q = <11110110>を取ります。



メッセージの情報ワードは次のようになります。



$$$i_{k1} = <1111>, i_{k2} = <0110>$..。



これらは文字（c）の半分です。前に定義した（7、4）コードの場合、次の形式で8文字の情報メッセージワード（c）に対応するコードワードを見つける必要があります。



$$$i_{k1} = <1111>, i_{k2} = <0110>$..。



このレターメッセージ（q）をコードワードuに変換するには、レターメッセージiの各半分に、コードの生成行列G [k、n]（テーブルKの行列）を掛けます







。順序番号が15と6の2つのコードワードを取得しました。



表示下の結果No.6-の詳細な形成-コードワード（情報ワードの行と生成マトリックスの列の乗算）。合計（mod2）



<0110>∙<1000> = 0∙1 + 1∙0 + 1∙0 + 0∙0 = 0（mod2）;

<0110>∙<0100> = 0∙0 + 1∙1 + 1∙0 + 0∙0 = 1（mod2）;

<0110>∙<0010> = 0∙0 + 1∙0 + 1∙1 + 0∙0 = 1（mod2）;

<0110>∙<0001> = 0∙0 + 1∙0 + 1∙0 + 0∙1 = 0（mod2）;

<0110>∙<0111> = 0∙0 + 1∙1 + 1∙1 + 0∙1 = 0（mod2）;

<0110>∙<1011>= 0∙1 + 1∙0 + 1∙1 + 0∙1 = 1（mod2）;

<0110>∙<1101> = 0∙1 + 1∙1 + 1∙0 + 0∙1 = 1（mod2）。



表Kの15番目と6番目のワードを乗算した結果として受信されます。これらのコードワードの最初の4ビット（乗算結果）は、情報ワードを表します。彼らは次のように見えます：$$$i_{k1} = <1111>, i_{k2}= <0110>$、（ASCIIテーブルでは、文字tの半分にすぎません）。コーディングマトリックスの場合、1、2、4、8の番号の単語のセットが、テーブルKの基底ベクトルとして選択されます。テーブルでは、それらは塗りつぶしによって強調表示されています。次に、このテーブルKの場合、コーディングマトリックスはG [k、n]の形式を受け取ります。



乗算の結果、Kコードテーブルの15ワードと6ワー​​ドが取得されました。

コードアプリケーション。デコーダ

デコーダーは、メッセージの受信者がいるチャネルの受信側にあります。デコーダーの目的は、送信時に送信者に存在していた形式で送信されたメッセージを受信者に提供することです。受信者はテキストを使用して、テキストからの情報をさらに作業に使用できます。



デコーダーの主なタスクは、受信したワード（7ビット）が送信側で送信されたものであるかどうか、ワードにエラーが含まれているかどうかを確認することです。この問題を解決するために、デコーダーが受信した各ワードについて、チェックマトリックス[nk、n]を掛けることにより、短ベクトル症候群S（3ビット）が計算されます。



コードである、つまりエラーを含まない単語の場合、シンドロームは常にゼロ値S = <000>を取ります。エラーのあるワードの場合、シンドロームはゼロではありませんS≠0。シンドロームの値により、受信側で受信したワードのビットまでのエラーの位置を検出してローカライズすることができ、デコーダーはこのビットの値を変更できます。コードのチェックマトリックスで、デコーダーはシンドローム値と一致する列を見つけます。この列の順序番号は、エラーによって破損したビットと同じです。その後、バイナリコードの場合、デコーダはこのビットを変更します。つまり、反対の値に置き換えるだけです。つまり、1はゼロに置き換えられ、ゼロは1に置き換えられます。



問題のコードは体系的ですつまり、情報ワードのシンボルは、コードワードの最上位ビットの行に配置されます。情報ワードの回復は、その数がわかっている最下位（チェック）ビットを単純に破棄することによって実行されます。さらに、ASCIIコードの表は逆の順序で使用されます。入力は情報のバイナリシーケンスであり、出力は自然言語のアルファベットの文字です。したがって、（7、4）コードは体系的、グループ、線形、ブロック、バイナリです。



デコーダーの基礎は、チェックシンボルの数に等しい行数と、ゼロを除く3文字の列を除くすべての可能な列を含むチェックマトリックスH [nk、n]によって形成されます。$$$2^3 – 1 = 7$..。パリティチェックマトリックスは、テーブルKのワードから構築され、コーディングマトリックスに直交するように選択されます。それらの積はゼロ行列です。チェックマトリックスは、乗算演算で次の形式を取り、転置されます。特定の例として、チェック行列H [nk、n]を以下に示します。











生成行列とチェック行列の積がゼロ行列になることがわかります。



例2.ハミングコードの単語をエラーなしでデコードします（e <7> = <0000000>）。

チャネルの受信側で、テーブルKからワード＃7→60および＃13→105を受信すると、

u <7> + e <7> = <0 1 1 1 1 0 0> + <0 0 0 0 0 0 0>、

エラーがない場合、つまり、e <7> = <0 0 0 0 0 00>の形式になります。





その結果、計算されたシンドロームの値はゼロになり、コードの単語にエラーがないことが確認されます。



例3。チャネルの受信側で受信されたワード内の1つのエラーの検出（表K）。



A）7番目のコードワードを送信する必要があるとします。



u <7> = <0 1 1 1 1 0 0>で、単語の左から3分の1でエラーが発生しました。次に、mod2と通信チャネル

u <7> +<7> = <0 1 1 1 1 0 0> + <0 0 1 0 0 0 0> = <0 1 01を介して送信された7番目のコードワードを合計します。 1 0 0>、

ここでエラーの形式はe <7> = <0 0 1 0 0 00>です。



コードワードの歪みの事実を確認するには、受信した歪みワードにコードのチェックマトリックスを掛けます。この乗算の結果はベクトルになりますコードワード症候群と呼ばれます。



元の（エラーのある7番目のベクトル）データに対してこのような乗算を実行してみましょう。





このような乗算の結果、チャネルの受信側で、ベクトル症候群S <nk>が得られ、その次元は（n – k）です。シンドロームS <3> = <0,0,0>がゼロの場合、受信側で受信されたワードはCコードに属し、歪みなく送信されたと結論付けられます。症候群がゼロに等しくない場合S <3>≠<0,0,0>、その値はエラーの存在と単語内でのその位置を示します。歪んだビットは、シンドロームと一致する行列[nk、n]の列位置の番号に対応します。その後、歪んだビットが修正され、受信したワードがデコーダーによってさらに処理されます。実際には、受け入れられた単語ごとに、シンドロームが即座に計算され、エラーが発生した場合は自動的に排除されます。



したがって、計算中、シンドロームS = <110>は両方の単語で同じです。チェックマトリックスを見て、症候群に一致する列を見つけます。これは左から3番目の列です。そのため、左から3桁目にエラーが発生しており、例の条件と一致しています。この3番目のビットは反対の値に変更され、デコーダーが受信したワードをコード形式に戻しました。エラーが見つかり、修正されました。



以上が、従来の（7、4）ハミングコードの動作と動作です。



重要なのはそれらではなく、コーディングの理論を根本的に変えたアイデアとその実装、そしてその結果、通信システム、情報交換、自動制御システムであるため、このコードの多数の変更と近代化はここでは考慮されません。

結論

このペーパーでは、情報セキュリティの主な規定とタスクを検討し、これらの問題を解決するために設計された理論に名前を付けます。



対象とオブジェクトの情報の相互作用を環境エラーや侵入者の行動から保護するタスクは、コドロジーに属します。



（7、4）ハミングコードは詳細に検討されており、コーディング理論の新しい方向性、つまり修正コードの合成の基礎を築きました。



コード合成で使用される厳密な数学的方法の適用が示されています。

コードの効率を説明するために例を示します。

文献

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