数孊の未来は

英囜の数孊者KevinBuzzardによるプレれンテヌションのこの翻蚳では、次のxkcdコミックが絶望的に時代遅れになっおいるこずがわかりたす。



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数孊の未来は䜕ですか



  • 1990幎代に、コンピュヌタヌは人間よりもチェスを䞊手にプレむし始めたした。
  • 2018幎、コンピュヌタヌは人間よりもGoのプレむに優れおいたす。
  • 2019幎、人工知胜研究者のChristian Szegedyは、10幎埌には、コンピュヌタヌが人間よりも優れた定理を蚌明するようになるず私に語った。


もちろん、圌は間違っおいるかもしれたせん。たたは倚分圌は正しいです。



私はこれを信じおいたす。10幎埌、コンピュヌタヌは私たちが初期の倧孊院生のレベルで悲惚な定理を蚌明するのに圹立ちたす。数孊のどの分野ですか誰がこの研究分野に関䞎するかによっお異なりたす。



人工知胜の兞型的なパタヌンは次のずおりです。最初は非垞に愚かで、その埌突然賢くなりたす。自然な問題は、䜍盞遷移がい぀発生し、人工知胜が突然非垞にスマヌトになるのかずいうこずです。回答誰もこれを知りたせん。明らかなこずは、より倚くの人々がこの研究分野に関䞎しおいるほど、これはより早く起こるずいうこずです。



蚌拠ずは䜕ですか



優秀な孊生、研究数孊者、そしおコンピュヌタヌに蚌拠は䜕かず尋ねるず、圌らの答えは䜕ですか優秀な孊生ずコンピュヌタヌの答えは䞀臎し、次のようになりたす。

蚌明は、遞択されたシステムの公理、以前に蚌明された掚論芏則、および定理で構成される論理的な䞀連のステヌトメントであり、最終的にはステヌトメントが蚌明されるこずになりたす。
もちろん、研究数孊者の答えはそれほど理想的ではありたせん。数孊者にずっお、蚌明の定矩は、他の経隓豊富な数孊者が蚌明ず芋なすものです。たたは、Annals ofMathematicsたたはInventionesでの公開が認められおいるもの。



ただし、これには小さな問題がありたす。次のスクリヌンショットは、䞖界で最も暩嚁のある数孊ゞャヌナルの1぀であるAnnals ofMathematicsからのものです。



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2番目の蚘事は文字通り最初の蚘事ず矛盟したす。著者はこれに぀いお公然ず泚釈に曞いおいたす。私の知る限り、Annals of Mathematicsは、これらの䜜品に察する反論を発衚したこずはありたせん。経隓豊富な数孊者が正しいず考える䜜業はどれですかあなたがこの分野で働いおいる堎合にのみ、これに぀いお知るこずができたす。



出力珟代の数孊では、䜕かが蚌明であるかどうかに぀いおの意芋は時間ずずもに倉化したすたずえば、「ある」から「ない」に倉わる可胜性がありたす。



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この短い2019幎の蚘事は、Inventionesに掲茉された別の重芁な2015幎の蚘事が誀った補題に倧きく䟝存しおいるこずを指摘しおいたす。 2016幎に人々がこの重芁な仕事を研究するためにワヌクショップを組織しおいたずいう事実にもかかわらず、これは2019幎たで気づかれたせんでした。



数孊の基瀎に貢献したフィヌルズ賞受賞者のりラゞミヌル・ボ゚ボドスキヌは、次のように述べおいたす。「人々に信頌されおいる著者が、怜蚌するのは難しいが、他の正しい議論ず同様の技術的に耇雑な議論を曞いた堎合、この議論はほずんどありたせん。䜕でも詳现にチェックされたす。」



発明は、2015幎の論文に察する反論を発衚したこずはありたせん。



結論公開されおいる重芁な数孊が間違っおいるこずが刀明するこずがありたす。さらに、将来的には、公衚された蚌拠に察する反論が増えるこずは間違いありたせん。



たぶん、p-adic Langlandsプログラムでの私の仕事は、間違った結果に基づいおいたす。たたは、より楜芳的に、正しい結果を埗るためですが、完党な蚌拠はありたせん。



私たちの研究が再珟䞍可胜である堎合、それを科孊ず呌ぶこずができたすかラングランズのp-adicプログラムが人類によっお有甚なこずをするために䜿われるこずは決しおないだろうず私は99.9確信しおいたす。私の数孊の仕事が圹に立たず、100正しいこずが保蚌されおいる堎合、それは時間の無駄です。..。そこで私は研究をやめ、コンピュヌタヌで「有名な」数孊をテストするこずに集䞭するこずにしたした。



2019幎、Balakrishnan、Dogra、Mueller、Tuitman、Vonkは、2぀の倉数で特定の4次方皋匏のすべおの合理的な解を芋぀けたした。明瀺的に

$ y ^ 4 + 5x ^ 4-6x ^ 2y ^ 2 + 6x ^ 3 + 26x ^ 2y + 10xy ^ 2-10y ^ 3-32x ^ 2 2 -40xy + 24y ^ 2 + 32x-16y =0。$



この蚈算は、算術においお重芁な甚途がありたす。蚌明は、高速で参照されおいないアルゎリズムを䜿甚したマグマクロヌズド゜ヌスでの蚈算に倧きく䟝存しおいたす。すべおのコンピュヌティングをsageのようなオヌプン゜ヌスシステムに移怍するこずは困難です。ただし、これを行う予定はありたせん。



したがっお、蚌拠のいく぀かは隠されたたたです。そしおおそらくそれは氞遠に隠されたたたになりたす。これは科孊ですか



数孊のギャップ



  • 1993 . .
  • 1994 , .
  • 1995 , , . , , , . , , , .


レビュヌのために数孊的な蚘事を受け取ったレビュヌアは䜕をすべきですかレビュヌアの仕事は、「論文で䜿甚されおいる方法が、論文の䞻な結果を蚌明するのに十分匷力であるこずを確認するこず」であるず䞻匵されおいたす。



方法が匷力であるが、著者がそうではない堎合はどうなりたすかこれは、私たちの蚌拠が䞍完党なずきに状況が発生する方法です。これが、私たちの定理が実際に蚌明されおいるかどうかに぀いおの議論が生じる方法です。これは、私たちが生埒に数孊に぀いお教える方法ではありたせん。



もちろん、専門家はどの文献が信頌できるのか、どれが信頌できないのかを知っおいたす。しかし、私が信頌できる文献を芋぀けるには、専門家である必芁がありたすか



数孊の倧きなギャップ



展瀺物A



単玔な有限グルヌプの分類。専門家は、単玔な有限グルヌプの完党な分類があるず䞻匵しおいたす。私は専門家を信頌しおいたす。



  • 1983幎に、分類の専門家による蚌明が発衚されたした。
  • 1994幎に、専門家は間違いを発芋したしたしかし、パから象を吹き飛ばさないようにしたしょう
  • 2004幎には、1000ペヌゞ以䞊の䜜品が公開されたした。フィヌルド゚キスパヌトのAschbacherは、゚ラヌが修正されたず䞻匵し、12巻の完党な蚌拠を公開する蚈画を発衚したした。
  • 2005幎には、12巻のうち6巻のみが発行されたした。
  • 2010幎には、12巻のうち6巻のみが発行されたした。
  • 2017幎には、12巻のうち6巻のみが発行されたした。
  • 2018幎には、第7巻ず第8巻が発行され、発行は2023幎たでに完了する予定であるこずに泚意しおください。


プロゞェクトを率いる3人のうち1人が亡くなりたした。他の2぀は70を超えおいたす。



展瀺物B



アベリア衚面の朜圚的なモゞュヌル性。 1幎前、私の著名な倧孊院生のToby Geeず3人の共著者が、285ペヌゞのプレプリントを公開したした。その結果、完党に実圚するフィヌルド䞊のAbelianサヌフェスはモゞュヌル化される可胜性がありたす。



圌らの蚌拠は、3぀の未発衚のプレプリント2018幎に1぀、2015幎に1぀、1990幎代に1぀、2007幎のむンタヌネットメモ、ドむツ語の未発衚の論文、および埌に䞻な䞻匵が反駁された論文を匕甚しおいたす。さらに、13ペヌゞに次のテキストが衚瀺されたす。
, Arthur’s multiplicity formula GSp4, [Art04]. , , [GT18], , [Art13] [MW16a, MW16b]. , twisted weighted fundamental lemma, [CL10], . , [A24], [A25], [A26] [A27] [Art13], .
これは科孊だず正盎に蚀えたすか



リンク[CL10]は次のようになりたす。

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私の倧孊院生ず共著者が必芁ずする䜜品は公開されたこずがありたせん。ほずんどの堎合、ステヌトメントは正しいです。おそらく蚌明可胜です。



そしお、これらは[Art13]からの参照リンクです。

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昚幎、私はこれらのリンクに぀いおアヌサヌに尋ねたした、そしお圌はただ仕事の準備ができおいないず私に蚀いたした。もちろん、ゞム・アヌサヌは倩才です。圌は数々の暩嚁ある賞を受賞しおいたす。しかし、圌も75歳です。



展瀺物C



Gaitsgory –Rozenblyum。最近、無限のカテゎリヌが人気を博しおいたす。それらは時間ずずもにさらに重芁になりたす。フィヌルズの受賞者であるピヌタヌ・ショルツの䜜品は、無限のカテゎリヌに基づいおいたす。



JacobLurieが1000ペヌゞ以䞊の䜜品を曞いおいたす$\ infty、1$-分類され、私の仕事に倚くの詳现が含たれおいたす。 Gaitsgory – Rozenblyumは、$\ infty、2$-カテゎリ。ただし、時間を節玄するために倚くの匕数を省略したした。 「省略された蚌拠は他の堎所に衚瀺されたす。」



Gaitsgoryにどれだけ足りないのか聞いた。圌はそれが玄100ペヌゞであるず答えたした。私はルリヌにこれに぀いおどう思うか聞いた。圌は、「数孊者は、詳现を省略した堎合の快適さは倧きく異なりたす」ず答えたした。



数孊の動きが速すぎたせんか私が「専門家」である堎合、完党に実際のフィヌルド䞊のアベリアの衚面は朜圚的にモゞュヌル化されおいるず信じるべきですか正盎、もう自分のこずはわかりたせん。



私が先週行ったカヌネギヌメロン倧孊での䌚議で、Markus Rabeは、Googleがarxiv.orgからの数孊のプレプリントを翻蚳するプログラムに取り組んでいるず私に話したした。コンピュヌタ怜蚌に適した蚀語に。最近、私の孊生の蚘事に䟝存しおいる䜜品を芋たしたが、[Art13]の100ペヌゞの欠萜に぀いおは䜕も蚀及しおいたせん。



最埌の間違い



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これは非垞に興味深い䟋です。原䜜はJ.Functに掲茉されたした。アナル。 2013幎に。䜜業に倧きな゚ラヌがありたす反察方向の䞍平等。この゚ラヌは、2017幎にS. Gouezelが、コンピュヌタヌ化されたプルヌフチェックプログラムIsabelleを䜿甚しお議論を圢匏化したずきに発芋されたした。



Gouezelず元の䜜品の䜜者によっお新しい議論が提瀺されたす。新しい䜜品はレビュヌする必芁はありたせん。コンピュヌタヌは新しい匕数を100チェックしたした。この方法は、定理を蚌明するのに十分匷力であるこずが刀明したした。そしお、「蚌明」ずは、叀兞的な「玔粋な」蚌明の定矩を意味したす。これは、私たちが生埒に教えるものです。蚌明のすべおの詳现は、読者が利甚できたす。科孊は再珟可胜です。これが私たちが生埒たちに教える数孊です。これは数孊です。



これが私が数孊だず思う他の䟋です

  • 孊生たたは修士レベルの兞型的な蚌明
  • 䜕䞇人もの数孊者によっお十分に文曞化され、研究されおきた重芁な結果の兞型的な100幎前の蚌拠
  • Gonthier、Asperti、Avigad、Bertot、Cohen、Garillot、Le Roux、Mahboubi、O'Connor、Ould Biha、Pasca、Rideau、Solovyev、Tassi、ThéryoftheFeith-Thompsonの定理の正匏な蚌明。
  • 次の数孊者による正匏な著者の蚌明Hales、Adams、Bauer、Dat Tat Dang、Harrison、Truong Le Hoang、Kaliszyk、Magron、McLaughlin、Thang Tat Nguyen、Truong Quang Nguyen、Nipkow、Obua、Pleso、Rute、Solovyev、An Hoai Thi Ta 、Trung Nam Tran、Diep Thi Trieu、Urban、Ky Khac Vu、およびZumkellerによるKeplerの掚枬の蚌明。





ケビンが圌の䞻芁郚分であるマむクロ゜フトリサヌチのレオデモりラによっお開発されたリヌンでの数孊的蚌明の正匏な怜蚌に移ったので、これでプレれンテヌションのテキストは終わりです。残念ながら、䟋はスラむドに含たれおいたせんでした。



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著者は数孊的蚌明の正匏な怜蚌に倧いに熱心であり、私が匷くお勧めするこのトピックに関する非垞に興味深いXenaブログを持っおいたす。



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