線形変換については、そのような不思議な事実があります。それらのいくつか、つまり不均一なスケーリングと変換は、何らかの理由で「通常の」ベクトルと法線を区別します。「法線」ベクトルを行列で変換する場合、何らかの理由で法線を逆転置行列で変換する必要があります。これを理解する方法は？

簡単な計算の助けを借りて、逆転置行列がその接平面に対する法線の垂直性を維持することを確認できます。ある程度、この証明で十分ですが、その背後にあるジオメトリについてのより深く、より興味深い話を見逃しています。これは私が次のいくつかの記事で伝えたい話です。

単位とスケーリング

記事の核心を掘り下げる前に、簡単に説明します。古き良き均一スケーリング（すべての軸にわたる1つの要素）を検討してください。より無害な変換を考えるのは難しいです-それはすべてのベクトルに同じ数を掛けるだけです。

しかし、よく調べてみると、ここではまったく些細なことではないことが起こっています。一部の数量には、長さ、面積、体積などの物理的な「寸法」または「単位」が含まれています。スケーリングする場合、これらの値は単位に応じて変化します。一部の値は一般に「無次元」であり、スケーリングしても変化しません。

例として、3次元空間でスケーリングするときのユニットのすべての可能な動作をリストしましょう。スケールファクターを次のように表します。 $a>0$ ..。次に：

無次元の数は変化しません、言い換えれば、それらは乗算されます $a^0$ ..。
長さは $a$ ..。
面積は $a^2$ ..。
ボリュームは乗算されます $a^3$ .

: , :
$1\over{a}$ .
$1\over{a^2}$ .
$1\over{a^3}$ .

, , . 3D- , , , .

, ( ) , : , ( ), , - . , -3 3. , $k$ - , $a^k$ .

( $\pm 4$ , . , 3D.)

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, . , . , Geometric Algebra for Computer Science. .

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$k$ -

, . $v=(x, y, z)$ , , $v$ :

v = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}

$v=x{\bf e_x}+y{\bf e_y}+z{\bf e_z}$

${\bf e_x}$ , ${\bf e_y}$ , ${\bf e_z}$ , $y$ , $z$ . $B$ :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B=p{\bf e_{yz}}+q{\bf e_{zx}}+r{\bf e_{xy}}$

${\bf e_{xy}}$ — , $xy$ . ${\bf e_{yz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . , , . " " $(p, q, r)$ , .

:

T = t e_{x y z}

$T=t{\bf e_{xyz}}$

, 3D , : "" $(xyz)$ . — ${\bf e_{xyz}}$ .

, : ( 1), ( 2) ( 3). 0. , , , $\wedge$ . , , :

e_{x} \land e_{y} = e_{x y}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y} = {\bf e_{xy}}$

, , . , ( ).

, "" . , , . , .

, , .

e_{x} \land e_{y} \land e_{z} = e_{x y} \land e_{z} = e_{x y z}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y}\wedge{\bf e_z} = {\bf e_{xy}}\wedge{\bf e_z}={\bf e_{xyz}}$

" ", , , .

, . . $a$ :

(a u) \land v = u \land (a v) = a (u \land v)

$(au)\wedge v=u\wedge (av) = a(u\wedge v)$

, . $u, v$ :

u \land v = - (v \land u)

$u\wedge v=-(v\wedge u)$

. -, : $v\wedge v=0$ . , . , $u\wedge v=0$ $u$ $v$ . , $u\wedge v\wedge w=0$ $u, v, w$ .

3 . , .

$k$ -

, , — , — . ?

, , - . $a>0$ , $a, a^2, a^3$ . , , .

, :

v \mapsto M v

$v\mapsto Mv$

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} a x \\ a y \\ . a z \end{matrix}] = a v

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ ay \\. az \end{bmatrix} = av$

$v$ , $x, y, z$ , , $a$ , , .

? ( ), . . , , :

\begin{aligned} B & = u \land v \\ (u \land v) & \mapsto (M u) \land (M v) \\ = (a u) \land (a v) \\ = a^{2} (u \land v) \\ = a^{2} B \end{aligned}

$\begin{aligned} B &= u \wedge v \\ (u \wedge v) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \\ &= (au) \wedge (av) \\ &= a^2 (u \wedge v) \\ &= a^2 B \end{aligned}$

! , $a$ , $a^2$ , .

, . , - $a^3$ . :

\begin{aligned} T & = (u \land v \land w) \\ (u \land v \land w) & \mapsto (M u) \land (M v) \land (M w) \\ = (a u) \land (a v) \land (a w) \\ = a^{3} (u \land v \land w) \\ = a^{3} T \end{aligned}

$\begin{aligned} T &= (u \wedge v \wedge w) \\ (u \wedge v \wedge w) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \wedge (Mw) \\ &= (au) \wedge (av) \wedge (aw) \\ &= a^3 (u \wedge v \wedge w) \\ &= a^3 T \end{aligned}$

. , ?

, . 3 $x$ , . :

M = [\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

: $x$ 3, $y, z$ . , : , $x$ , $yz$ — .

? . , "" . $x$ , . : , $yz$ , , , $x$ , .

, . , , :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B = p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}$

$M$ , . $M$ :

\begin{aligned} e_{y z} = e_{y} \land e_{z} & \mapsto (M e_{y}) \land (M e_{z}) = e_{y} \land e_{z} = e_{y z} \\ e_{z x} = e_{z} \land e_{x} & \mapsto (M e_{z}) \land (M e_{x}) = e_{z} \land 3 e_{x} = 3 e_{z x} \\ e_{x y} = e_{x} \land e_{y} & \mapsto (M e_{x}) \land (M e_{y}) = 3 e_{x} \land e_{y} = 3 e_{x y} \end{aligned}

$\begin{aligned} {\bf e_{yz}} = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_y}) \wedge (M{\bf e_z}) = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} = {\bf e_{yz}} \\ {\bf e_{zx}} = {\bf e_z} \wedge {\bf e_x} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_z}) \wedge (M{\bf e_x}) = {\bf e_z} \wedge 3{\bf e_x} = 3{\bf e_{zx}} \\ {\bf e_{xy}} = {\bf e_x} \wedge {\bf e_y} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_x}) \wedge (M{\bf e_y}) = 3{\bf e_x} \wedge {\bf e_y} = 3{\bf e_{xy}} \end{aligned}$

: $\bf e_{yz}$ , $\bf e_{zx}$ $\bf e_{xy}$ 3, $x$ .

, $M$ $B$ :

B \mapsto p e_{y z} + 3 q e_{z x} + 3 r e_{x y}

$B \mapsto p \, {\bf e_{yz}} + 3q \, {\bf e_{zx}} + 3r \, {\bf e_{xy}}$

, , $B$ , :

[\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] = [\begin{matrix} p \\ 3 q \\ 3 r \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ 3q \\ 3r \end{bmatrix}$

, , . : $M$ .

: $M$ :

M^{- T} = [\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M^{-T} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

, — $M$ .

$\det M$ . ( $M$ , $\det M$ ). $M$ . , , !

— , . .

$n\times n$ . $i$ - $j$ - :

$n\times n$ $i$ $j$ . $(n-1)\times (n-1)$ .
.
$(-1)^{i+j}$ , $i+j$ . !

$n\times n$ , .

, ? $p \, {\bf e_{yz}}$ . $yz$ , , $M$ $y$ $z$ . $1,1$ $M$ $2\times2$ , $M$ $y$ $z$ . , , $yz$ !

- , ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ , , $M$ . , , $M$ . , , .

( , . ${\bf e_{xz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . .)

, , $n$ $(n-1)$ - . , $k$ - $(n-k)$ - , $n-k$ .

. . : 3D. , $(p, q, r)$ — $(x, y, z)$ !

. , . , $B$ :

B \land v = 0

$B\wedge v=0$

$v$ , $B$ , . , , , $B$ $v$ .

\begin{matrix} (p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}) \land (x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}) = 0 \\ (p x e_{y z x} + q y e_{z x y} + r z e_{x y z}) = 0 \\ (p x + q y + r z) e_{x y z} = 0 \\ p x + q y + r z = 0 \end{matrix}

$\begin{gathered} (p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}) \wedge (x \, {\bf e_x} + y \, {\bf e_y} + z \, {\bf e_z}) = 0 \\ (px \, {\bf e_{yzx}} + qy \, {\bf e_{zxy}} + rz \, {\bf e_{xyz}}) = 0 \\ (px + qy + rz) {\bf e_{xyz}} = 0 \\ px + qy + rz = 0 \\ \end{gathered}$

. , , (, ${\bf e_{yz}} \wedge {\bf e_y} = 0$ ). $\bf e_{xyz}$ , , . . , $\bf e_{xyz}$ .

$(p, q, r)$ $(x, y, z)$ ! , $n\cdot v = 0$ $n=(p, q, r)$ .

, $(p, q, r)$ ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ ${\bf e_x}, {\bf e_y}, {\bf e_z}$ . , . , . .

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: , , -3 3. , $k$ - $k$ 0から3。しかし、スケールが負のベクトル単位はどうでしょうか。それらは存在しますか？もしそうなら、彼らは何ですか？

では次のエピソード、私たちはより深く行くと、さらに私たちの幾何学的な話を複雑にします。

法線と逆転置、パート1：外代数

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